• 8. Следствия из теоремы об ортогонально-перспективном расположении аффинных полей 40
• 9. Теорема Польке — Шварца (первая теорема существования) . 43
• 10. Эллипс как кривая, аффинная. окружности 44

$11. Оси эллипса. Эллипс как ортогональная проекция окружности 49

Глава III

О полноте изображений

• 12. Основные плоскости и изображение элементов пространства . 51
• 13. Понятие о полных изображениях 54
• 14. Приемы решения позиционных задач на полных изображениях. 57
• 15. Примеры ошибочных изображений (сверхполные изображения) 70
• 16. Неполные изображения. Коэффициент неполноты. 72
• 17. Изображение системы точек общего положения. 72
• 18. Приведенные изображения. Относительно полные и неполные изображения 74
• 19. Отыскание коэффициента неполноты данного изображения. Точечный базис изображения 76
• 20. О задачах на построение инциденций на изображении (позиционные задачи). 83
• 21. Изображение многогранников. 93

Глава IV

Параметрическое исчисление полных изображений

• 22. Метрическая определенность и параметраж полных изображений 96
• 23. Аффинная определенность изображений в параллельной проекции 99
• 24. О метрической определенности изображений плоских фигур. Области существования. 101
• 25. Примеры 115
• 26. О метрической определенности изображений пространственных фигур. Основные положения и теоремы 122
• 27. Примеры Вторая. теорема существования 128
• 28. Изображение пространственных сопряженных систем. Высоты тетраэдра. 139
• 29. Изображение высот тетраэдра. 143

Глава V

Параметрическое исчисление неполных изображений

• 30. Параметраж неполных изображений 146
• 31. Применение неполных изображений 147

Глава VI

Условные изображения в ортогональной проекции

• 32. Видимый контур и очертание тела в параллельной проекции . 156
• 33. Видимый контур и очертание шара 157
• 34. О метрической определенности полных изображений в ортогональной проекции 160
• 35. Изображение шара и связанные с ним задачи. 167
• 36. Сечение шара плоскостями 170
• 37. Полные изображения, содержащие очертания шара 177
• 38. Шар, описанный около тетраэдра. Многогранники, вписанные в шар 178
• 39. Многогранники, описанные около шара. 182
• 40. Неполные изображения в ортогональной проекции. 189

Глава VII

Практические выводы и примеры

• 41. Анализ примеров 193
• 42. Заключительные замечания. 211

Литература. 213

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга является откликом на многочисленные устные и письменные выступления преподавателей, указывавших на те трудности, которые возникают при выполнении чертежей в условиях аудиторных занятий. Изучение этого вопроса привело автора к ряду выводов, послуживших основанием для составления предлагаемого пособия. Вопросы, освещенные в нем, обсуждались в кабинете методики математики Института методов обучения Академии педагогических наук, в Институте усовершенствования учителей и других педагогических организациях и встретили сочувственное отношение. Это побудило автора передать свой труд в печать. Считая его, однако, требующим дальнейшей разработки, автор будет благодарен за все советы и указания, которые ему пожелают сделать читатели и педагоги- практики.

При подготовке книги к печати большая работа была проделана А. В. 3 а н с о х о в ы м, редактировавшим книгу по линии издательства, и Н. А. Меделяновским, выполнявшим чертежно-графическую часть. Следует также отметить содействие выходу книги в свет со стороны редактора математики Учпедгиза А. Н. Барсукова.

Всем указанным лицам я приношу свою искреннюю благодарность.

Москва, 14 марта 1945 г.

Н. Четверухин.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

С момента выхода первого издания этой книги (Учпедгиз, М., 1946) прошло уже более 10 лет. За это время появилось большое количество работ, посвященных вопросам изображения фигур на проекционном чертеже и геометрическим построениям в пространстве. Журнал «Математика в школе» в 1956 г. (Ns 4, 5 и 6)

опубликовал ряд статей, в которых был обобщен опыт работы учителей средней школы по этим вопросам.

Проблема изображения фигур и использование этих изображений имеет весьма существенное и притом двоякое значение для преподавания геометрии. С одной стороны, изображения геометрических фигур и изучаемых закономерностей делают преподавание геометрии наглядным, а усвоение ее более конкретным и практически ценным. В этом случае роль геометрических изображений иллюстративная и их можно поэтому назвать иллюстрирующими чертежами. С другой стороны, изображения фигур могут применяться как средство решения какой- либо геометрической задачи. Тогда мы имеем дело с чертежами решающими.

В обоих случаях для изображения геометрических фигур пользуются методом проектирования и полученные чертежи называют «проекционными чертежами». Однако различие в назначении и применении проекционных чертежей вносит существенные изменения в предъявляемые к ним требования. Для иллюстративных чертежей наибольшее значение имеет их наглядность и простота выполнения. Для решающих чертежей необходима достаточная полнота и точность соответствующего изображения, позволяющие реализовать решение задачи.

В настоящей книге рассматриваются способы построения и применения иллюстративных чертежей в практической деятельности преподавателя. Обоснование предлагаемых методов изображения потребовало развития ряда теоретических положений. Эти последние оказались полезными в различных областях применения проекционных изображений (в том числе и в технике), но их разработка и исследование были вызваны к жизни проблемами педагогического характера.

Что же касается решающих чертежей и их применения в преподавании геометрии, то этим вопросам была посвящена другая работа автора «Стереометрические задачи на проекционном чертеже» (изд. 3, Учпедгиз, М., 1955).

Автор будет весьма благодарен читателям за все те замечания и советы, которые они пожелают ему сделать после ознакомления с настоящей книгой.

Н. Четверухин.

Москва, 20 февраля 1957 г.

ВВЕДЕНИЕ

В преподавании геометрии большое значение имеет наглядность изучаемого материала и его конкретизация путем моделирования или применения других изобразительных средств.

Чаще всего преподаватель иллюстрирует свое изложение при помощи изображений, выполняемых мелом на классной доске. Специфические особенности и трудности построения таких изображений подробно проанализированы в главе I этой книги. Коротко дело заключается в следующем. Преподаватель, сопровождающий изложение материала чертежами геометрических фигур, не может применять для этой цели какую-нибудь из известных проекций начертательной геометрии, так как это потребовало бы от него специальных построений и даже решения конструктивных задач, связанных с избранным способом проектирования. Течение учебного процесса и порядка изложения естественно не могут быть нарушены такого рода сторонними для него построениями и задачами. Последние по большей части неизвестны и непонятны для учащихся, да и времени на это не имеется. Отсюда ясно, что выполнение иллюстративных чертежей в какой-либо определенной проекции, в процессе преподавания по большей части невозможно. На практике преподаватель находит выход в произвольном выполнении изображений, заботясь главным образом о том, чтобы они создавали наглядность и помогали учащимся понять и мысленно представить соответствующие геометрические закономерности. Однако такая практика, не опирающаяся на теорию, приводит к многочисленным ошибкам. Часто преподаватель сам не замечает и не подозревает, что его чертежи неверны. Такими же они окажутся и в тетрадях учащихся. Пользование неверными чертежами приводит к тому, что еще слабая интуиция учащихся не укрепляется, а, наоборот, направляется в неправильную сторону при частом употреблении таких чертежей.

Таковы те трудности, которые встречает преподаватель геометрии в своей практической работе. Стремления автора настоящей книги были направлены к тому, чтобы найти удовлетворительное решение этой задачи.

Основная мысль работы, обосновывающая такую возможность, заключается в следующем. Обычные методы теории проекций оказались непригодными в данном случае потому, что они предполагают предварительный выбор проектирующего аппарата и положения объекта, а это делает задачу построения изображения определенной и не допускающей произвола при ее решении. В результате появляется необходимость производить построения, не имеющие отношения к излагаемому материалу.

Отсюда естественно напрашивается вывод о необходимости перестроить процесс выполнения изображений, отнеся элементы предварительного выбора к самому изображению и сведя задачу к определению по этому изображению соответствующего аппарата проектирования. Так как на практике решения этой последней задачи обыкновенно не требуется, то дело сводится лишь к учету расходуемых параметров изображения с тем, чтобы последнее оставалось верным, т. е. представляло бы собой какую- либо проекцию изображаемого объекта.

Такой учет параметров приходится начинать с позиционных свойств ¹ изображенной фигуры, а именно: установить, определяет ли данное изображение все эти свойства вполне или же некоторые из них не вытекают из него и могут быть выбраны произвольно. Отсюда возникает необходимость исследовать изображение с точки зрения его полноты (или неполноты), выражая результат в численном виде (коэффициент неполноты). Этим вопросам посвящена глава III книги ².

В следующих главах, IV и V, речь идет о метрической полноте или неполноте изображения, или иначе метрической определенности изображения. При этом рассматривается вопрос о том, в какой мере данное изображение определяет не только позиционные, но и метрические свойства изображаемого объекта.

В главе IV исследуются полные изображения с точки зрения их метрической определенности. Соответствующий коэффициент называется параметрическим числом. Это число показывает, что данное изображение не вполне определяет метрические свойства объекта и имеется некоторый запас параметров, которые могут быть израсходованы при дальнейшем выполнении изображений. В то же время следует параметрировать все операции, выполняемые на чертеже, чтобы иметь точное представление о возможности свободного выбора неиспользованных параметров. Наконец, необходимо принимать во внимание области существования параметров с тем, чтобы выполняемое изображение было действительной проекцией оригинала.

¹ Под позиционными свойствами мы разумеем те, которые связаны только с расположением фигур и их элементов в пространстве. Свойства же, связанные с измерением каких-либо геометрических величин (длин, углов, площадей и т. п.), мы будем в дальнейшем называть метрическими.

² Глава П посвящена изложению некоторых сведений из теории проекций,

Понятно, что чем больше неполнота данного изображения, тем больше число параметров, которыми мы располагаем для дальнейших построений. Это увеличивает параметрическое число изображения. Так, для неполного изображения имеет место формула:

p = p-^k, где через р, р и k обозначены соответственно параметрические числа полного и неполного изображений и коэффициент неполноты неполного изображения.

Таким образом, при выполнении иллюстративных чертежей выгодно пользоваться неполными изображениями как имеющими больший запас свободных параметров, которые могут быть использованы при построении изображения. Этому вопросу посвящена глава V.

Наконец, в главе VI рассматриваются полные и неполные изображения в случае ортогонального проектирования. Ортогональное проектирование необходимо при изображении шара, так как только при этом проектировании очертанием шара является окружность и мы получаем привычное, наглядное изображение шара. Поэтому изображения, содержащие очертание шара, выполняются обыкновенно_ в ортогональной проекции и являются менее произвольными (р = 3).

Вследствие этого к ним в меньшей степени применим принцип произвольного выбора элементов. Как видно из примеров, разобранных в главе VI, в этих построениях приходится иногда обращаться к неизбежным конструкциям метрически определенных изображений.

Стремясь вооружить преподавателей необходимыми сведениями для самостоятельного выполнения верных изображений, автор подытожил практические и педагогические выводы в заключительной, VII, главе своей работы, в которой разобраны примеры применения параметрического метода построения изображений к обычному материалу педагога средней школы. Изучив эти примеры, заимствованные по своей тематике главным образом из «Сборника задач по стереометрии» Рыбкина, преподаватель сможет самостоятельно работать над выполнением верных изображений. При этом не надо забывать, что работа эта требует тщательной подготовки и продумывания каждого чертежа, а иногда и значительной затраты времени. Без этого нельзя добиться верных, наглядных и легко выполнимых в классной обстановке чертежей.

ГЛАВА Z ПРОБЛЕМА ИЗОБРАЖЕНИЯ ФИГУР В УСЛОВИЯХ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

• 1. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПОСТРОЕНИИ ИЗОБРАЖЕНИИ

Преподаватели многих дисциплин и в особенности преподаватели стереометрии и начертательной геометрии на своих уроках или лекциях широко пользуются наглядными изображениями фигур, играющими определенную роль в педагогическом процессе. Эти наглядные изображения не только облегчают понимание и усвоение учащимися рассуждений и выводов преподавателя, объясняющего теорему или решающего задачу, но, что особенно важно, они вызывают у учащихся пространственное представление изучаемых соотношений и придают последним конкретную геометрическую форму. В такой форме материал запоминается прочнее и с большей пользой. С другой стороны, верный чертеж помогает найти правильное решение задачи; наоборот, неверное изображение может толкнуть учащегося на неправильный путь. Особенно же велико значение изображений пространственных фигур в воспитании пространственного воображения у учащихся, в выработке у них более тонкого, более развитого пространственного мышления, столь необходимого в условиях современной сложной техники.

Отсюда ясно, что педагогический процесс предъявляет к изображениям ряд требований, которые вызываются специфическими задачами и условиями преподавания. Нельзя игнорировать эти требования без ущерба для дела. Казалось, можно было бы воспользоваться для построения изображений хорошо и детально разработанными методами начертательной геометрии. Однако эти методы, вызванные к жизни проблемами преимущественно технического характера, не предназначены для применения в педагогической работе и не приспособлены к условиям, в которых протекает педагогический процесс.

Чтобы сделать более ясным это различие, попытаемся сформулировать те требования, которым должны удовлетворять изображения, выполняемые преподавателем в его педагогической 8

работе. В самой общей форме они могут быть сведены к следующим трем:

1. Изображение должно быть верным. *, т. е. должно представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры (оригинала).

2. Изображение должно быть наглядным, т. е. вызывать пространственное представление оригинала.

3. Изображение должно быть простым для выполнения, т. е. оно не должно содержать каких-либо построений, не имеющих отношения к теме педагогического процесса. В частности, оно должно быть свободно от тех конструкций, которые связаны с выбором проектирующего аппарата.

Что касается первого из этих условий, то оно является общим для изображений, где бы они ни применялись. Различие заключается лишь в степени строгости и точности выполнения этого условия. Так, в технике предъявляются особенно строгие требования к соблюдению в чертежах правил проектирования, так как без этого было бы невозможно точно восстановить по чертежам изображенный на них оригинал. В живописи или в рисунке правила перспективы соблюдаются «в принципе», но техническое выполнение этих правил более свободно, и точности построений обыкновенно здесь не требуется. В педагогической работе особенно важно соблюдение принципиальной верности изображений, так как отход от этого имеет пагубное влияние на пространственное представление учащихся. В этом часто бывают повинны не только преподаватели, поставленные в трудные условия классной работы, но и авторы, учебники которых нередко пестрят неверными изображениями ^{1 2}.

Глаз человека видит предметы такими, как если бы они были спроектированы из его оптического центра. Отсюда ясно, что изображения, дающие наиболее естественное представление о предмете (оригинале), должны быть построены по правилам проекции, приближающейся к аппарату человеческого зрения. Такой проекцией является центральная проекция (перспектива) при условии, что глаз наблюдателя совпадает с центром проекции. Однако этому условию нельзя удовлетворить в обстановке классного преподавания, когда изображение (мелом на доске) рассматривается учащимися из разных точек. Поэтому целесообразнее выбрать нейтральную точку зрения, не зависящую от расположения учащихся в аудитории ³. К тому же следует учесть, что мы обыкновенно смотрим на предмет спереди, т. е. видим его расположенным фронтально. Следовательно, можно остановиться

¹ Мы предпочитаем пользоваться термином верное изображение вместо правильное, так как слово «правильный» часто употребляется в математике в других смыслах (например, «правильная призма» и т. д.).

² Примеры таких изображений читатель встретит далее.

³ См. Н. Ф. Четверухин, Введение в высшую геометрию, § 85, М., 1935.

при этом он вынужден отказаться от изображения шара его очертанием и довольствоваться лишь тем или другим сечением шара. В большинстве же случаев авторы руководств изображают на одном и том же чертеже шар в ортогональной проекции, а остальные фигуры — в косоугольной. Чертеж 138 из учебника Киселева (Геометрия, ч. II, 1940) является типичным примером такого изображения (черт. 197а). Как он должен выглядеть, если сохранить ортогональную проекцию для всего изображения, показано на чертеже 1976. Вообще ясно, что при выборе для изображений фигур косоугольной проекции (кабинетной или какой-либо другой) приходится отказываться от изображения шара в виде круга.

• 42. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Как видно из предшествующего, в обстановке педагогического процесса является необходимость прибегнуть к параметрическому методу изображений. Этот метод наиболее отвечает специфическим условиям аудиторного преподавания (см. гл. I). Напротив, обычно рекомендуемые приемы построения изображений по правилам кабинетной или какой-либо другой проекции не всегда применимы и удобны в условиях педагогического процесса. Чаще всего преподаватель делает изображение произвольно, стараясь придать ему наибольшую наглядность. При этом он, не опираясь ни на какую теорию, впадает в ошибки и не может отличить верных чертежей от неверных. Изучение изложенного здесь параметрического метода может, как полагает автор, оказаться полезным в этом случае. Метод этот вполне доступен каждому педагогу-математику; требуется лишь дополнительно к ознакомлению с теорией проделать некоторое количество упражнений. Материалом для последних могут служить примеры и задачи, обычно предлагаемые в средней школе (в частности, из задачников Л. М. Лоповка, Н. Рыбкина, Б. Б. Романовского и др.). Кроме того, педагог, усвоивший изложенные в этой книге положения, без труда найдет обширный материал для упражнений из практики своего собственного школьного преподавания. Однако, как уже было упомянуто, овладение в совершенстве приемами построения стереометрических изображений дается лишь в результате серьезных занятий и упражнений. Необходима подготовка к каждому уроку.

В преподавании можно различить два совершенно различных по своим целям момента применения изображений пространственных фигур. Первый — изображения, сопровождающие объяснения учителя (иллюстрирующие чертежи); второй — изображение фигуры, заданной по условиям задачи, на котором должно быть найдено построением решение задачи (решающие чертежи).

В первом случае преподаватель, пользуясь параметрическим методом, может расширить свои возможности, применяя неполные изображения. При этом он стремится избегать решения посторонних задач. Во втором случае, наоборот, чертеж, предназначен для решения на нем задачи построением. Поэтому преподаватель должен позаботиться о полноте и даже метрической определенности изображения. Метод решения будет зависеть от выбранной проекции. Отсюда видно, что педагогу-математику, наряду с параметрическим методом построения изображений, нужно хорошо владеть и уметь применять классические методы начертательной геометрии. Особенно необходимы ортогональные проекции — как аксонометрические, так и некоторые другие (с высотными отметками, комплексные эпюры).

Учащиеся получат соответствующие сведения из курса черчения, если только программы стереометрии и черчения будут согласованы в этом отношении. Преподаватель геометрии со своей стороны должен позаботиться об овладении учащимися некоторым минимумом по вопросу о построении стереометрических чертежей. Во всяком случае, он может обосновать и развить на примерах позиционные задачи для полных изображений. Опыт показал, что упражнения в решении стереометрических задач на проекционных чертежах вполне доступны учащимся, развивают их пространственное представление, дают хорошую подготовку к практическим применениям.