Предисловие

Основной вопрос, который возникает перед каждым, кто изучает математику на любом уровне, будь это школьник младших или старших классов или студент вуза, это вопрос о том, как научиться решать задачи.

Иногда встречается такой ответ: чтобы научиться решать задачи, их надо решать, и чем больше, тем лучше. Этот ответ лишь частично правильный. Действительно, чем больший опыт решения задач, тем более вероятно при решении новой задачи найти какие-то связи с ранее уже решенными или свести новую задачу к подзадачам, среди которых окажутся уже решенные.

Очень важно, какие задачи решаются. Если одни стандартные по готовым, известным правилам (алгоритмам), не вызывающие необходимости поиска решения, не требующие особых размышлений (вроде «Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой /г»), то они не приведут к развитию мышления и умению решать задачи. Этому развитию способствуют нестандартные задачи, требующие поиска решения, сведения к стандартным, процесс решения которых бросает вызов интеллекту и этим самым развивает его.

Важно, разумеется, и как решаются задачи. Если, решив задачу, не бросить «взгляд назад» на выполненный процесс поиска, не осознать, какие приемы поиска использованы, не выяснить возможности других способов решения, то польза от таких упражнений невелика. Решение одной задачи должно помочь в решении других, особенно нестандартных задач.

Предлагаемая книга ориентирована на решение двух вопросов: какие задачи решать и как их решать в одной весьма интересной и довольно сложной области геометрических задач, связанной с комбинацией геометрических тел,—вписанные и описанные шары?

В массовой школьной практике эти задачи или вовсе не решаются, или же решаются наиболее простые из них. Однако наибольший интерес представляют не эти простые задачи, особенно если речь идет об учащихся, интересующихся математикой, об углубленном изучении математики.

Данное пособие — оригинально не только своим содержанием, но и структурой.

В первой главе рассматривается необходимый для решения задач на вписанные и описанные шары набор основных геометрических мест в пространстве. Следует отметить, что изучение этих геометрических мест способствует и развитию пространственных представлений.

Вторая глава посвящена упражнениям на комбинации шара с другими телами вращения (цилиндром, конусом и усеченным конусом), третья — более сложным задачам на комбинации многогранников и шара.

В каждом параграфе выделяются основные задачи на доказательство в виде 50 теорем. После этого приведены несколько задач с подробными решениями, в которых применяются данные теоремы. Эти решенные задачи служат образцами для решения других, предлагаемых читателю для самостоятельного решения. Всего задач с решениями — 70, задач-упражнений — 275, из них 45 выделены в дополнении «Задачи повышенной трудности». К ним даны ответы.

Несколько слов об авторе. Федор Семенович Войтович длительное время работал учителем математики (а вместе с тем несколько лет и директором) средней школы, а последние многие годы работает преподавателем кафедры методики преподавания математики Могилевского педагогического института. Всю свою жизнь он занимается решением задач и обучением этому искусству других. Его фамилия неоднократно упоминалась в перечне решающих задачи, которые предлагались журналом «Математика в школе».

Предлагаемая книга и отражает опыт ее автора в решении и обучении решению задач. Разумеется, книга предназначена не просто для чтения, а для серьезной работы с нею. Она может быть использована не только школьниками, но и учителями, особенно для проведения внеклассных и факультативных занятий, а также студентами педагогических вузов, готовящихся стать учителями математики.

Я уверен в том, что всем, кто поработает с этой книгой, она принесет большую пользу.

Должен признаться, что внимательное ознакомление с рукописью книги мне уже принесло пользу и побудило к написанию этого краткого предисловия.

А. А. СТОЛЯР, доктор педагогических наук, профессор

Глава I ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА В ПРОСТРАНСТВЕ

1. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК, ЛИНИЙ, ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение 1. Геометрическим местом точек (линий, поверхностей) называется множество всех точек (линий, поверхностей), обладающих некоторыми свойствами, и только этих точек (линий, поверхностей).

Таким образом, геометрическое место точек (линий, поверхностей) — это геометрическая фигура.

Геометрические места могут обладать одним, двумя и более свойствами. Один и тот же геометрический объект можно рассматривать как различные геомет

рические места точек или как геометрические места линий (поверхностей). Например, плоскость, перпен

дикулярная к данному отрезку MN и проходящая через его середину О, есть (рис. 1):

а) геометрическое место точек (г. м. т.), равноудаленных от концов М и N данного отрезка MN;

б) геометрическое место (г. м.) прямых, перпендикулярных отрезку MN и проходящих через его середину О;

в) г. м. лучей, перпендикулярных отрезку MN и исходящих из середины О этого

отрезка;

г) г. м. концентрических окружностей с центрами в середине О отрезка MN, плоскости которых перпендикулярны MN вместе с точкой О;

д) г. м. центров окружностей, касающихся прямой MN* в точке О, вместе с точкой О;

е) г. м. центров окружностей, проходящих через точку О, плоскости которых перпендикулярны прямой MN, вместе с точкой О;

ж) г. м. центров шаров, касающихся прямой MN в точке О, вместе с точкой О и т. д.

* Прямая и окружность называются касательными, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Приведем примеры основных геометрических мест в пространстве.

I. Г. м. т., удаленных от данной точки О на данное расстояние R, есть сфера радиуса R с центром в точке О.

II. Г. м. т., удаленных от данной прямой на данное расстояние, есть цилиндрическая поверхность вращения*, для которой данная прямая есть ось.

III. Г. м. т., удаленных от данной плоскости на данное расстояние, есть две плоскости, параллельные данной и отстоящие от нее на данное расстояние.

IV. Г. м. т., равноудаленных от данных двух точек М и V, есть плоскость а, перпендикулярная к отрезку MN и проходящая через его середину (см. рис. 1).

V. Г. м. т., равноудаленных от данных двух прямых, зависит от взаимного расположения прямых:

а) г. м. т., равноудаленных от данных двух пересекающихся прямых а и Ь, есть две взаимно перпендикулярные плоскости аир, перпендикулярные плоскости прямых а и b и проходящие через биссектрисы углов, образуемых прямыми а и Ь;

б) г. м. т., равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть плоскость, перпендикулярная плоскости данных прямых, параллельная этим прямым и равноотстоящая от них.

VI . Г. м. т., равноудаленных от данных двух плоскостей, тоже зависит от взаимного расположения этих плоскостей:

а) г. м. т., равноудаленных от данных двух пересекающихся плоскостей аир, состоит из двух взаимно перпендикулярных плоскостей у и 6, делящих пополам двугранные углы, образованные данными двумя плоскостями (рис. 2);

б) г. м. т., равноудаленных от данных двух параллельных плоскостей р и у, есть плоскость а, параллельная данным и равноотстоящая от них.

В частности, г. м. т., равноудаленных от граней двугранного угла, есть полуплоскость, делящая данный двугранный угол на два равных двугранных угла.

Определение 2. Полуплоскость, делящая двугранный угол пополам, называется его биссектором.

* При вращении около данной прямой другой прямой, параллельной (пересекающейся) с первой, образуется фигура, называемая цилиндрической (конической) поверхностью вращения. Первая прямая (ось вращения) называется осью, а вторая — образующей цилиндрической (конической) поверхности.

VII. Г. м. т., равноудаленных от трех неколлинеарных точек Л, В и С, есть прямая, перпендикулярная

плоскости данных трех точек и проходящая через центр окружности, проведенной через эти точки (рис. 3). Эта прямая есть линия пересечения трех плоскостей, проходящих через середины отрезков АВ, ВС, СА

и перпендикулярных этим отрезкам соответственно.

Следствия: а) г. м. т., равноудаленных от всех точек данной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости данной окружности и проходящая

через ее центр — ось окружности;

б) г. м. центров сфер, проходящих через данную окружность, есть ось этой окружности (см. рис. 3).

Если три точки лежат на одной прямой, то г. м. т., обладающих указанным свойством, нет.

VIII. Г. м. т., равноудаленных от данных трех пря

мых, зависит от взаимного положения прямых:

а) г. м. т., равноудаленных от данных трех попарно пересекающихся в точках А, В, С прямых, состоит из

четырех прямых т, п, р, q, пер

пендикулярных плоскости первых трех и проходящих через центры вписанной О и трех вневписанных* О_а, Оь, О_с в треугольник АВС окружностей (рис. 4);

* Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон этого треугольника и продолжений двух других его сторон.

Рис. 4

б) г. м. т., равноудаленных от трех данных пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости прямых а, Ь, с, есть прямая т, перпендикулярная плоскости а первых трех прямых и проходящая через точку их пересечения.

в) г. м. т., равноудаленных от данных трех прямых, две из которых а и b параллельны, а третья с пересекает их, есть две прямые т и п, перпендикулярные плоскости первых трех прямых и проходящие через точки пересечения биссектрис углов, образованных данными прямыми (рис. 5);

г) г. м. т., равноудаленных от данных трех параллельных между собой и лежащих в одной плоскости прямых, не существует.

д) г. м. т., равноудаленных от данных трех пересекающихся в одной точке и не лежащих в одной плоскости прямых, состоит из четырех прямых, проходящих через точку пересечения трех первых прямых и образующих с данными прямыми равные углы.

Докажем существование этого неочевидного г. м. т.

Три прямые (рис. 6) XX', YY', ZZ', пересекающиеся в одной точке О и не лежащие в одной плоскости, образуют три плоскости XOY, YOZ и ZOX, которые пересекаются в точке О и делят пространство на восемь октантов: первый октант OXYZ и центрально симметричный ему относительно О седьмой октант OX'Y'Z'-, второй октант OX'YZ и центрально симметричный ему относительно О восьмой октант OXY'Z'-, третий октант OX'Y'Z и симметричный ему пятый октант OXYZ'\ четвертый октант OXY'Z и симметричный ему шестой октант OX'YZ'. Каждый из перечисленных восьми октантов можно рассматривать как трехгранный угол с вершиной О. Докажем, что имеет место

Теорема 1. Плоскости, перпендикулярные к граням трехгранного угла и проходящие через биссектрисы

его плоских углов, пересекаются по одной прямой, каждая точка которой равноудалена от ребер трехгранного угла. Эта прямая является осью конической поверхности, описанной около трехранного угла.

Доказательство. Через биссектрисы OL и ОК плоских углов АОВ и ВОС трехгранного угла О АВС (рис. 7) проведем плоскости OO\L и ОО\К перпендикулярно плоскостям АОВ и ВОС соответственно.

Построенные плоскости пересекутся (почему?) по некоторой прямой 001. Поскольку произвольная точка М прямой 001 лежит в плоскости OOiL, то она равноудалена от прямых О А и ОВ (г. м. т. V, а), и поскольку она же (точка М) лежит в плоскости 00\К, то она равноудалена от прямых ОВ и ОС (на том же основании). Значит, точка М равноудалена от ребер ОА и ОС и посему лежит в плоскости, перпендикулярной третьей грани ОСА и проходящей через биссектрису ОР третьего плоского угла СОА. Последняя плоскость проходит через прямую 00\ в силу произвольного выбора точки М на прямой 00\.

Следствие. Около всякого трехгранного угла можно описать коническую поверхность и притом только одну. Существует шар (любого радиуса), касающийся ребер трехгранного угла. Можно сказать, что г. м. центров шаров, касающихся ребер трехгранного угла, есть ось конической поверхности, описанной около этого трехгранного угла.

Определение 3. Коническая поверхность называется описанной около многогранного угла (а многогранный угол — вписанным в коническую поверхность), если все ребра многогранного угла являются образующими конической поверхности.

Значит, оси четырех конических поверхностей, описанных около любых четырех из названных выше восьми октантов, никакие два из которых не являются центрально симметричными, образуют искомое г. м. т. А можно рассуждать и иначе.

Точно так же мы можем доказать, что (см. рис. 7) плоскости, перпендикулярные к граням трехгранного

угла и проходящие: одна через биссектрису одного из плоских углов данного трехгранного угла, а две другие — через биссектрисы углов, смежных с двумя другими плоскими углами данного трехгранного угла, пересекаются по одной прямой, которая является осью внеописанной конической поверхности. Их будет три. Эти три внеописанные конические поверхности в трехгранный угол ОАВС будут описанными коническими поверхностями около углов ОА'ВС, ОАВ'С, ОАВС', где лучи ОА', OB', ОС' противоположно направлены лучам ОА, ОВ, ОС.

Оси описанной и трех внеописанных конических поверхностей в один из трехгранных углов (октантов) и будут искомым г. м. т. Итак, существование г. м. т. VIII, д доказано и, значит, решена задача

1) Найти прямую, равнонаклоненную к ребрам трехгранного угла. (Таких прямых, как доказано выше, четыре.)

е) Г. м. т., равноудаленных от данных трех параллельных между собой и не лежащих в одной плоскости прямых а, Ь, с, есть прямая т , параллельная данным прямым и равноудаленная от каждой из них. Эта прямая т является осью круговой цилиндрической поверхности, описанной около прямых а, Ь, с.

Иное положение трех прямых в пространстве, не лежащих в одной плоскости, мы рассматривать не будем, ибо получаемые там г. м. т. сложны и не представляют для нас интереса.

IX. Г. м. т., равноудаленных от данных трех плоскостей, тоже зависит от их взаимного положения:

а) г. м. т., равноудаленных от каждой из трех данных пересекающихся в одной точке плоскостей, состоит из четырех прямых, равнонаклоненных к данным плоскостям и проходящих через точку их пересечения. Докажем существование этого неочевидного г. м. т.

Пусть даны три плоскости а = SAB, 0 = SBC, y = SCA, которые пересекаются в точке 3 (рис. 8). Каждый из восьми октантов, на которые разбивается пространство этими плоскостями, будем рассматривать как трехгранный угол с вершиной в точке 3. Вычленим один из этих октантов — трехгранный угол SABC.

Теорема 2. Биссекторы двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой, каждая точка которой равноудалена от граней трехгранного