Глава V. Первоначальное знакомство с основными геометриче­скими телами.

16. Призма 35

17. Пирамида 88

18. Шар. 40

19. Цилиндр 44

20. Корпус 46

Глава VI. Простейшие геометрические работы во дворе и в поле.

21. Приготовление приборов 48

22. Построение прямой линии и прямого угла 50

Глава VII. Рисование график и диаграмм.

23. Рисование график. 52

24. Рисование диаграмм 63

Упражнения и задачи. 64

ЧАСТЬ П. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ФИГУРЫ Глава VIII. Общие понятия.

25. Тело, его объем и поверхность. Линия в точка 60

Глава IX. Прямая линия.

26. Основные свойства прямой 71

27. Измерение прямой линии 72

28. Метрическая система единиц измерения 74

29. Сложение отрезков прямых линий 76

Глава X. Угол.

30. Построение угла, равного данному. 77

31. Сложение углов  78

32. Различные виды углов. 78

33. Прямой угол и перпендикуляр. 79

84. измерение углов транспортиром и астролябией 81

35. Свойство смежных углов 86

36. Вертикальные углы. 88

37. Углы, расположенные вокруг одной прямой и вокруг одной точки 89

88. Аксиома и теорема 90

Упражнения и задачи. 91

Глава XI. Треугольник.

89. Различные виды треугольников. 92

40. Свойство сторон треугольника 93

41. Свойства равнобедренного треугольника 95

42. Признаки равенства треугольников 97

43. Признаки равенства прямоугольных. треугольников 103

44. Симметрия. 104

45. Рисование геометрических фигур при помощи циркуля и линейки 106

46. Перпендикуляр и наклонные 109

Упражнения и задачи 110

Глава XII. Параллельные прямые.

47. Образование параллельных прямых 111

48. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей 112

49. Построение параллельных прямых. 114

50. Сумма углов треугольника. 117

Упражнения и задачи 119

Глава XIII. Четырёхугольники.

51. Различные виды четырёхугольников. 121

52. Свойства параллелограмма 122

53. Свойства прямоугольника 124

54. Свойства ромба и квадрата 125

55. Свойства пучка параллельных прямых. 127

56. Свойства трапеции. 129

57. Проекция 131

Упражнения к задаче 134

Глава XIV. Многоугольники.

58. Виды многоугольников. Свойства их диагоналей и углов 136

59. Правильные многоугольники. 137

60. Центр симметрии 140

Глава XV. Измерение площадей прямолинейных фигур.

61. Измерение площади прямоугольника 141

62. Измерение площади квадрата 143

63. Квадратные метрические меры. 144

64. Площадь параллелограмма. 145

65. Площадь треугольника 147

66. Площадь трапеции 147

67. Площадь ромба 149

68. Площадь многоугольника 150

69. Теорема Пифагора 152

Упражнения и задачи. 155

ОТДЕЛ ВТОРОЙ.

ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ. СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР.

Глава XVI. Отношение и пропорция.

70. Отношение 158

71. Масштаб. 162

72. Пропорция и пропорциональные линии 163

Глава XVII. Подобные фигуры.

73. Подобные многоугольники 165

74. Признаки подобия треугольников. 166

75. Числовые зависимости между элементами прямоугольного тре­угольника 172

76. Подобные многоугольники 175

77. Периметры и площади подобных фигур 176

78. План. 180

Упражнения п задачи. 185

Глава XVIII. Основы тригонометрии.

79. Тригонометрическая величина. синус 185

80. Косинусе 191

81. Тангенс. 193

82. Зависимость между sin, сое и 199

Глава XIX. Окружность и прямая.

83. Окружность и точка 202

84 Хорда и диаметр. 204

86. Касательная 208

86. Кривизна. 210

Упражнения в задачи 212

Глава XX. Окружность н угол.

87. Центральные углы. 213

88. Вписанные углы. 217

Глава XXI. Окружность и многоугольник.

89. Вписанные и описанные многоугольники 221

90. Вписанные и описанные правильные многоугольники 222

Глава XXII. Измерение длины окружности.

91. Приближенное измерение длины окружности. 228

92. Приближенное вычисление длины окружности. 229

93. Вывод формулы для измерения длины окружности. 231

94. Измерение длины дуги 234

Упражнения и задачи. 235

Глава XXIII. Площадь круга.

95. Измерение площади круга. 236

96. Измерение площадей сектора и сегмента 240

Упражнения и задачи 243

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ. СВОЙСТВА ТЕЛ. Глава XXIV. Плоскость, точка и прямая»

97. Плоскость и точка 245

98. Плоскость и прямая линия. 247

99. Двугранный угол и перпендикулярные плоскости. 250

100. Параллельные плоскости и параллельные прямые. 252

Глава XXV. Многогранные углы. Многогранники.

101. Многогранные углы 254

102. Многогранники. 255

Глава XXVI. Призма.

103. Различные виды призм. 257

104. Измерение поверхности призмы 259

105. Измерение объема призмы. 261

Упражнения и задачи 266

Глава XXVII. Пирамида.

106. Различные виды пирамид. 207

107. Измерение поверхности пирамиды. 268

108. Измерение объема пирамиды. 269

109. Усеченная пирамида 272

Упражнения и задачи 274

Глава XXVIII. Круглые тела.

ПО. Цилиндр. Измерение его поверхности и объема 275

111. Конус. Измерение поверхности и объема конуса 277

112. Шар. Измерение поверхности и объема. шара 280

Упражнения и задачи 284

Заключение 287

ПРЕДИСЛОВИЕ.

„Для того, чтобы определить отношение площади циклоиды к площади производящего круга, Галилей взвесил две пластинки: одну, имеющую форму круга, а другую—описанной им циклоиды, и нашел, что последняя была в три раза тяжелее первой. Отсюда Галилей заключил, что площадь циклоиды равна тройной площади производящего круга.

О. Конт. — Курс положительной философии, т. I, стр. 148.

Что без исключения доступно всякому ученику, это — конкретное. Величайшая услуга, которую мы можем ему оказать, это не бросить его сразу в мир абстракций, но так направлять его труд и усилия, чтобы он сам вошел в этот мир. Когда индивидуальные случаи, на сравнение которых будет призвано его внимание, станут достаточно многочисленными, абстракции зародятся и расцветут сами собою, и это будут идеи, которые войдут в плоть и кровь, а не слова, которые только слегка касаются его.

„Только благодаря интуиции математический мир остается в соприкосновении с реальностью. Нужно помнить, что свойства, найденные логическим путем, принадлежат реальным объектам, и потому нужно прибегать к опыту, к интуиции.

„Обе способности, интуитивная и логическая, имеют каждая свою собственную ценность. Дело идет не о том, чтобы устранить из геометрии логические рассуждения, а о том, чтобы наряду с логическими доказательствами дать место и наглядному доказательству.

Н. Н. Вододхммч. — К вопросу о реформе преподавания математики, стр. 23.

Предлагаемый „Курс Опытной Геометрии" ставит себе целью изложить в популярной форме элементарный курс геометрии в объеме, необходимом для применения геометрических знаний в практической жизни. В основу этого курса положен индуктивно-лабораторный метод. Причины, которые заставили меня остановиться именно на этом методе, читатель найдет в вышеприведенных цитатах:

Учебник составлен по определенному плану. Книга состоит из четырех частей.

Первая часть представляет собой небольшой подготовительный концентр, в котором учащиеся непосредственными опытами конкретно воспринимают основные геометрические элементы: линию, плоскую фигуру, тело. В основу линий кладется прямая линия, в основу плоской фигуры—прямоугольник, в основу тел—прямоугольная призма (параллелепипед).

Знакомство с этими величинами идет двумя путями: „синтезом" (составляются из основных единиц прямая линия, прямоугольник и прямоугольная призма) и „анализом" (разрезываются прямая линия, прямоугольник и прямоугольная призма на основные единицы). Попутно с этим учащиеся образуют из прямоугольника ряд более сложных фигур (треугольник, параллелограммы, трапеции и т. д.) и знакомятся с более сложными геометрическими телами.

В этом концентре главное внимание уделено конкретному усвоению идеи измерения линии (линейными единицами), площади (квадратными единицами) и объема (кубическими единицами).

Для того, чтобы геометрические образы были более яркими, вводятся и простейшие геодезические работы в поле.

Для того, чтобы подчеркнуть идею функциональной зависимости, в эту часть включены графики и диаграммы, в которых при помощи геометрических величин иллюстрируются зависимости между различными величинами, входящими в состав разнообразных явлений.

При желании этот подготовительный концентр можно значительно сократить, перенеся помещенный в нем материал в соответствующие места систематического курса.

В остальных трех частях излагается систематический курс геометрии, а именно: во второй части рассматриваются свойства прямолинейных фигур; в третьей части заканчивается планиметрия (изучаются подобные фигуры и свойства простейшей криволинейной фигуры — окружности); в последней, четвертой части рассматриваются свойства тел (стереометрия).

Систематический курс начинается с главы 8-й, в которой, пользуясь материалом, конкретно воспринятым в подготовительном концентре, даются определения основных геометрических элементов: точки, линии, поверхности и тела. С 9-й главы начинается систематическое изложение свойств всех этих элементов, причем, как я уже говорил, в основу положен индуктивный метод, то есть учащиеся сначала должны сами при помощи опыта, на отдельных конкретных случаях, подметить искомую зависимость, и только после этого дается логическое доказательство. Для того, чтобы придать курсу более практический характер, параллельно с основной теорией дается применение ее к геодезической практике: рядом с измерением длины отрезка рассматривается провешивание и измерение прямой в поле; рядом с измерением углов транспортиром указывается измерение их астролябией; признаки равенства треугольников сопровождаются решением некоторых землемерных задач при помощи построения равных треугольников;, при проектировании отрезков рассматривается нивелировка, как частный вид проектирования. В эту часть включена симметрия осевая (в связи с задачами на построение) и центральная (построение правильных многоугольников). Вторая часть заканчивается измерением площадей прямолинейных фигур, при чем случай несоизмеримости сторон, как при измерении площадей, так и во всем дальнейшем курсе, в виду его отвлеченности, не рассматривается.

В третьей части заканчивается планиметрия. В отделе о подобии фигур одним из наиболее трудноусваиваемых понятий является понятие об отношении; вот почему я уделил ему много внимания, придавши ему, насколько возможно, конкретный характер. Здесь учащиеся решают две основные задачи: чисто опытным путем по двум данным отрезкам находят их отношение, а затем по данному отношению строят самые отрезки. Из признаков подобия треугольников рассматривается только первый и второй. Третий признак я выпустил, так как он имеет очень малое применение. Эти признаки подобия дают возможность решить несколько интересных задач из землемерной практики. Признак подобия многоугольников излагается в связи с построением плана астролябией. Далее вводится в курс простейшая кривая линия — окружность, при чем, в виду практического интереса, дается элементарное понятие о кривизне кривой. Планиметрия заканчивается выводом формул для измерения длины окружности и площади круга.

В последней, четвертой, части изучается стереометрия, в которой отдел общих свойств линий и плоскостей, расположенных в пространстве, как имеющий малое практическое применение, значительно сокращен. Я оставил в нем только статьи о признаках параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

В этой части главное внимание обращено на измерение поверхностей и объемов многогранников и круглых тел, при чем при выводе правила для измерения объема пирамид лемма Кавальери о равновеликости трёхгранных пирамид теоретически не доказывается, а устанавливается опытом. Формула для измерения объема усеченной пирамиды дается в готовом виде. Правило для измерения поверхности шара выводится непосредственным превращением „развертки" шара в равновеликий ей прямоугольник.

При изложении своего курса геометрии я стремился к тому, чтобы приучить учащихся не только заучивать памятью одну теорему за другой, нанизывая их длинной вереницей, не имеющей ни начала, пи конца; я стремился научить их видеть, наблюдать и исследовать геометрические факты, пользуясь разными органами чувств, приучить их читать не только в напечатанных книгах, по и в живой, окружающей их книге природы. Насколько мне удалось все это—судить, конечно, не мне.

Ал. Астряб.

ПРЕДИСЛОВИЕКНОВОМУ ИЗДАНИЮ.

В данное издание внесены следующие изменения.

Во-первых, всюду сохранена только метрическая система мер.

Во-вторых, после многих глав добавлено небольшое число упражнений и задач, взятых в большинстве случаев из моего „Задачника по Начальной Геометрии".

В-третьих, внесены кое-какие изменения и в самый текст: переработана глава о графиках (§ 91), о нивелировке (§ 199) и т. д.

Ал. Астряб.

Заключение.

Вот и закончили мы с вами, читатель, наши беседы. В этой книге вы познакомились с разнообразными свойствами окружающих вас геометрических тел. Этими свойствами придется вам часто пользоваться в вашей будущей жизни, да и теперь вы нередко прибегаете к услугам геометрии. Если вы сомневаетесь- в этом, то это только оттого, что вы недостаточно внимательно вглядываетесь в окружающую жизнь. В самом деле:

Вот вы сидите у себя в комнате. Осмотритесь внимательно вокруг себя. Ваша комната представляет собою прямоугольный параллелепипед. Посмотрите на шкаф, на печь и двери с их украшениями, посмотрите на ваш письменный стол с его резными ножками, с чернильным прибором и лежащим возле него заостренным карандашом, разве все это не имеет знакомые вам геометрические формы?

В углу стоит этажерка. Присмотритесь к ее строго параллельным полкам, да, кстати, вспомните тот признак, по которому можно утверждать о параллельности этих плоскостей).

Посмотрите на стены, пол и потолок вашей комнаты. Какое- разнообразное положение имеют эти плоскости! Между ними вы найдете взаимно параллельные и перпендикулярные, горизонтальные и вертикальные. Пересекаясь, они дают двугранные и трёхгранные углы. Поищите их!

А вот кто-то приоткрыл вашу дверь. Исследуйте, останется ли она вертикальною и будет ли она по-прежнему перпендикулярною к плоскости пола). Обратите внимание на тот двугранный угол, который образует эта дверь со стеною. Найдите его линейный угол и проследите, как меняется он при непрерывном изменении двугранного угла, когда дверь открывается и закрывается).

*) Опытная Геометрия, § 328.

2) Опытная Геометрия, § 327.

3) Опытная Геометрия, § 324.

Подойдите теперь к окну и посмотрите внимательно на улицу. На противоположной стороне ее строится дом. У дома стоит инженер с рабочими и держит в руках план), по которому он строит этот дом. Вдумайтесь, сколько раз должен был инженер прибегать к геометрии, чтобы начертить этот план, а затем, пользуясь им, построить дом. Возьмите хотя бы такой вопрос: инженеру надо подсчитать, какой длины надо сделать стропила, чтобы при данной ширине дома получилась крыша желаемой высоты. Ну, как не использовать ему тут Пифагоровой теоремы? На крыше маляры заняты покраской ее. Как высчитают они количество потребной для этой работы краски? Ведь для этого надо измерить поверхность крыши, но и тут без геометрии никак не обойдешься.

Выйдите во двор. Ваш домашний пес, увидев вас, стремительно бросился к вам навстречу. Посмотрите, по какой линии побежит он: видимо, и собака хорошо усвоила на опыте аксиому о кратчайшем расстоянии между двумя точками)! Во дворе дети играют в мяч. Обратите внимание на ту линию, по которой летит мяч, когда дети перебрасывают его друг другу. Сравните эту линию с той, по которой течет из водовозной бочки вода. Это — одна и та же кривая —парабола. Свойства ее подробно изучает геометрия, ибо эта кривая имеет большое значение; ведь по параболе двигается и комета вокруг солнца!

А вот немного далее тянут воду из колодца. Какой он глубокий! А нельзя ли, хотя бы приблизительно, измерить глубину его? Конечно, можно. Сосчитайте, сколько полных оборотов делает вал, на который наматывается веревка, измерьте (на-глаз) диаметр этого вала. По этим данным геометрия дает вам возможность быстро вычислить и глубину колодца.

Пойдемте теперь в поле. Посмотрите, какой красивой линией тянутся телеграфные столбы. Вспомните тот способ, по которому легко узнать, стоят ли все эти столбы па одной прямой линии* * 8). По этим столбам так красиво тянется ряд параллельных проволок. Как высоки эти столбы! При желании можно измерить и высоту их.

Геометрия дает много очень простых способов для измерения этой высоты и в ясный солнечный день, и в случае пасмурной

*) Опытная Геометрия, §§ 262—253.

3) Опытная Геометрия, § 1

8) Опытная Геометрия, § 88.

погоды. Та же геометрия укажет вам и способы для измерения расстояния вон до той отдаленной деревушки, не подходя к ней) Всюду на поле идет сейчас дружная весенняя работа. Все поле поделено на участки, на которых люди с раннего утра до позднего вечера обрабатывают свои огороды. Но для того, чтобы поделить поле на участки и измерить площадь каждого из них, надо прежде всего обратиться за помощью к геометрии), которая недаром в переводе с греческого языка означает: „землемерие", ибо первоначальной своей задачей она ставила измерение площадей участков земли.

Вот вы подошли к полотну железной дороги. Присядьте здесь на минутку и подумайте, как люди построили эту дорогу. Сколько надо было затратить физической силы и материальных средств, сколько надо было иметь знаний и уменья, чтобы через бесконечные степи, непроходимые горы и реки проложить на тысячи верст этот стальной путь! Среди тех знаний, которыми приходилось пользоваться при постройке железной дороги, не последнюю роль играла и геометрия.

Измеряли ли инженеры уклон пути, прибегая к нивелировке), делали ли изыскания, подыскивая ту кривизну), которую надо придать железнодорожному пути, чтобы он прошел через намеченные пункты, делались ли выемки земли для насыпи и велся ли подсчет снятой земли, определялось ли количество насыпанного на полотно балласта, строились ли семафоры, водокачки и железнодорожные здания, — всюду, на каждом шагу прибегали строители за помощью к геометрии.

Не одни только инженеры прибегают к услугам геометрии И художник-скульптор), и ученый физик), и естествоиспытатель, посвятивший свою жизнь изучению природы), и астроном,

’) Опытная Геометрия, § 242.

2) Опытная Геометрия, §§ 252—253.

3) Опытная Геометрия, § 199.

*) Опытная Геометрия, §§ 279—280.

*) Художники, например, нашли, что идеальной фигурой человека будет такая, у которой размеры отдельных частей ее связаны особой пропорцией, носящей название „золотого деления". Золотым делением широко пользуются и архитектора при постройке художественных зданий.

6) В физике есть даже один большой отдел, носящий название „геометрическая оптика", в котором изучаются чисто геометрическими приемами световые явления, связанные с изменением направления светового луча.

7) Существует, например, наука—кристаллография, которая изучает свойства многогранников —кристаллов, из которых состоят многие вещества.

А. М. Астра, б. Курс геометрам.

пытливо всматривающийся в далекие небесные миры, — все они в изобилии пользуются материалом, собранным в геометрии.

Изучая геометрию, вы познакомились там с основными геометрическими величинам и (длиною линии, величиною угла, площадью фигуры, поверхностью и объемом тела). Несмотря на большое разнообразие этих величии (ну что, например, общего между радиусом шара и его объемом?), мы старались подметить между ними какую-либо зависимость и выразить ее математическою формулою. Во многих случаях это нам удалось сделать. Мы, например, знаем, как связывается площадь треугольника с его основанием и высотою, какова связь между объемом шара и его радиусом, какова зависимость между поверхностью цилиндра и его радиусом основания, и высотою. Эта функциональная зависимость между геометрическими величинами, выраженная алгебраическою формулою, имеет большое значение в геометрии, открывая широкое поле использования геометрией алгебраических и арифметических знаний.

Таким образом, вы видите, что геометрия—наука не одинокая. Она, давая другим наукам неисчерпаемый запас знаний, сама охотно пользуется знаниями, накопляемыми другими науками.

Если, наконец, вы вспомните, что, доказывая то или иное свойство геометрических фигур, вы приучались подчинять свою мысль строго-логическим законам, приучались „логически мыслить", то вы поймете, какое значение имеет геометрия в цикле тех наук, которые изучаете вы в школе, а потому не поминайте лихом время, затраченное на изучение ее, а постарайтесь, как можно скорее, приложить приобретенные вами знания к жизни.