§7. Тригонометрические функции угла.

§8. Различные определения и интерпретации тригонометрических функций.

§9. Аргумент тригонометрической функции.

§10. Тригонометрические функции от некоторых частных значений аргумента.

§11. Четность и нечетность тригонометрических функций.

§12. Нахождение угла (дуги) по данному значению его тригонометрической функции.

§13. Соотношения между тригонометрическими функциями, тригонометрические тождества.

Глава II. Аппарат тригонометрии.

§14. Теоремы сложения.

§15. Обобщение теорем сложения.

§16. Формулы приведения.

§17. Тригонометрические функции кратных дуг; полином Чебышева.

§18. Формулы деления аргумента.

§19. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

§20. Тригонометрические многочлены и их преобразование.

§21. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

§22. Примеры выполнения различных тригонометрических преобразований.

§23. Рационализирующие подстановки.

§24. Введение вспомогательных углов и тригонометрические подстановки.

§25. Вычисление некоторых тригонометрических сумм и произведений.

Глава III. Исследование тригонометрических функций числового аргумента.

§26. Области определения и множества значений тригонометрических функций.

§27. Периодичность тригонометрических функций.

§28. Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций.

§29. Промежутки монотонности тригонометрических функций, наибольшие и наименьшие значения.

§30 Непрерывность тригонометрических функций.

§31. Графики тригонометрических функций.

§32. Простейшие тригонометрические неравенства.

§33. Неравенства, содержащие аргумент и его тригонометрические функции.

§34. Гармонические колебания.

§35. Примеры исследования функций и построений графиков.

§36. Трансцендентность тригонометрических функций.

Глава IV. Обратные тригонометрические функции.

§37. Аркфункции.

§38. Тригонометрические операции над аркфункциями.

§39. Соотношения между аркфункциями.

§40. Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

§41. Формулы сложения.

§42. Примеры преобразования сумм аркфункций.

§43. Некоторые свойства полиномов Чебышева.

Глава V. Уравнения и неравенства.

§44. Тригонометрические уравнения.

§45. Об особых случаях решения уравнений.

§46. Соотношения между двумя дугами, имеющими одинаковое значение данной тригонометрической функции.

§47. Решение уравнений посредством подстановок.

§48. Рационализирующие подстановки.

§49. О преобразовании формул общего решения тригонометрического уравнения.

§50. Различные частные приемы решений тригонометрических уравнений.

§51. Тригонометрические уравнения, содержащие параметры.

§52. Некоторые системы тригонометрических уравнений и методы их решения.

§53. Уравнения, содержащие неизвестные под знаками аркфункций.

§54. Примеры решения некоторых трансцендентных уравнений.

§55. Приемы решения тригонометрических и некоторых других трансцендентных неравенств.

§56. О приближенном решении трансцендентных уравнений.

Глава VI. Вычисление элементов геометрических фигур; применения тригонометрии.

§57. Общие понятия.

§58. Соотношения между основными элементами треугольника.

§59. Тригонометрические тождества и неравенства, имеющие место для углов треугольника.

§60. Элементы различных измерений.

§61. Соотношения между различными элементами треугольника.  

§62. Ряд равных отношений.

§63. Общий принцип Торопова решения треугольников.

§64. Основные случаи решения треугольников.

§65. Неосновные случаи решения треугольников.

§66. О применениях тригонометрии к геометрии.

§67. О задачах на решение многоугольников.

§68. Применение тригонометрии к стереометрическим задачам.

§69. Понятие о геодезических задачах.

§70. О применениях тригонометрии к физике, механике, технике.

§71. Вычисления при помощи тригонометрических таблиц.

Глава VII. Элементы сферической тригонометрии.

§72. Основные понятия.

§73. Соотношения между основными элементами сферического треугольника.

§74. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.

§75. Решение прямоугольных треугольников.

§76. Понятие о решении косоугольных сферических треугольников.

§77. Формулы эксцесса и площади сферического треугольника.

§78. О различных применениях сферической тригонометрии.

Глава VIII. Аналитическая теория тригонометрических функций.

§79. Определение тригонометрических функций при помощи степенных рядов.

§80. Вычисление значений тригонометрических функций аналитическими средствами.

§81. Аксиоматический метод в тригонометрии.

§82. Теорема единственности.

§83. Различные конкретные определения тригонометрических функций.

§84. О различных способах построения теории тригонометрических функций.

Глава IX. Элементарные трансцендентные функции над полем комплексных чисел.

§85. Показательная функция над полем комплексных чисел и ее связь с тригонометрическими функциями.

§86. Тригонометрические функции от комплексного аргумента.

§87. Логарифмическая функция.

§88. Обратные тригонометрические функции от комплексного аргумента.

§89. Степенная, общая показательная и общая логарифмическая функции.

 О содержании курса тригонометрии

      Возникновение тригонометрии обусловлено потребностями вычислительной практики, а именно, необходимостью создания аппарата для вычисления элементов различных геометрических фигур по достаточному количеству их заданных элементов. Еще в древней Греции, в связи с решением ряда вычислительных астрономических задач, тригонометрия достигла значительного развития. 

Основоположное значение в формировании тригонометрии как самостоятельной науки имели труды среднеазиатских ученых IX—XIII вв. Хотя тригонометрия и получила самостоятельное значение как научная дисциплина, располагающая собственными методами исследования, все же ее конечная цель усматривалась в выработке методов вычисления элементов «простейших» геометрических фигур: плоских и сферических треугольников. В основу учения о тригонометрических функциях неизменно полагались геометрические построения; установленные геометрически алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями позволили применять алгебраические методы к исследованию этих функций, к выполнению преобразований, к установлению различных соотношений между элементами геометрических фигур. Так сложился своеобразный характер тригонометрии, основывающейся на геометрии и вместе с тем широко применяющей алгебраические методы.

      Дальнейшее развитие науки показало, что значение тригонометрических функций заключается не только в выработке аппарата, для решения вычислительных геометрических задач; эти функции получили важное значение в механике и физике при исследовании периодических процессов. Таким образом, теория тригонометрических функций получила самостоятельное значение, и возникла потребность в аналитическом построении этой теории, не опирающемся на геометрию.

      Начала аналитической теории тригонометрических функций были положены трудами великого ученого, члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера.

      Поставив задачу определить тригонометрические функции независимо от евклидовой геометрической системы, великий русский математик Н. И. Лобачевский создал аналитическую теорию этих функций, в основу которой был положен аппарат степенных рядов.

      В настоящее время тригонометрия как самостоятельная наука не существует: вопросы, связанные с вычислением элементов геометрических фигур, относятся к геометрии, здесь тригонометрия выполняет «служебную» роль; с другой стороны, аналитическая теория тригонометрических функций включилась в ту главу математического анализа, которая посвящается общей теории элементарных функций. Несмотря на то, что в настоящее время тригонометрия перестала существовать как самостоятельная наука, она продолжает оставаться весьма важной самостоятельной учебной дисциплиной. В школьном курсе математики тригонометрия по справедливости имеет значительный удельный вес.

      Поскольку достаточно развитый аналитический аппарат, необходимый для построения аналитической теории тригонометрических функций, далеко выходит за пределы программы, школьный курс тригонометрии неизбежно строится на геометрической основе. Кроме того, геометрическая теория тригонометрических функций в большей степени соответствует практическим приложениям тригонометрии.

      В современном школьном курсе тригонометрии находят отражение две линии, а именно: функциональная и вычислительная. Первая линия, выражающаяся в исследовании тригонометрических функций как функций числового аргумента, имеет важное принципиальное значение, поскольку эти функции играют существенную роль в современном математическом анализе, физике, механике, технике. Вторая линия, выражающаяся в вычислении элементов геометрических фигур, имеет важное практическое значение, как дающая вычислительные средства, необходимые для геометрии, физики, техники, астрономии, геодезии и т. д..

      Правильное сочетание в школьном курсе обеих указанных линий есть задача методики математики. Заметим лишь, что нижеследующие две крайние точки зрения в равной мере являются порочными.

      Первая крайность выражается в игнорировании функциональной линии и в сведении тригонометрии лишь к «решению треугольников».

      Другая крайность выражается в игнорировании вычислительной линии.

      Решение треугольников, изучаемое в тригонометрии, имеет существенное значение и поскольку к вычислению элементов треугольников обычно сводится решение различных вычислительных планиметрических и стереометрических задач. Пренебрежительное отношение к разделу, дающему вычислительные средства для геометрии, физики, механики, астрономии и т. д., глубоко ошибочно.

      В соответствии с общими задачами специального курса элементарной математики педагогических институтов и университетов, специальный курс тригонометрии ставит своей целью углубление, развитие и научное обоснование школьного курса тригонометрии, а также знакомство с практическими приложениями тригонометрии. Специальный курс тригонометрии охватывает в расширенном изложении все вопросы школьного курса, а потому имеет, наряду с прочими разделами специального курса элементарной математики, весьма важное значение с точки зрения профессиональной подготовки учителя школы.

      В настоящей вводной главе в конспективном изложении указаны те сведения, которые будут считаться известными из прочих дисциплин, изучающихся в педагогических институтах и университетах, и которые послужат основанием для изложения курса тригонометрии в последующих главах.

      § 2. Основные понятия теории проекций

      Чтобы отрезку, ограниченному точками А и В, приписать направление, его граничные точки А и В задаются в определенном порядке; первая точка (пишется на первом месте) называется н а-чалом отрезка, вторая (пишется на втором месте) — его концом (черт. 1). Направленный отрезок называется вектором.