1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА "ГЕОМЕТРИЯ 6-9"

1.1. Основные цели курса

С 1995 года в школах, работающих по модели "Экология и диалектика" вводится новый курс "Геометрия 6", который является первой частью разрабатываемого нами курса "Геометрия 6-9".

Общеобразовательное и развивающее значение курса. Курс "Геометрия 6-9" имеет важное общеобразовательное значение и должен обеспечить всех учащихся необходимым базовым уровнем математической подготовки в области геометрических знаний, умений и представлений. Этот курс должен способствовать достижению всеми учащимися общекультурного уровня развития, давать возможности использования полученных знаний и умений для изучения смежных дисциплин (при этом взаимосвязи изучаемого материала геометрии и этих дисциплин должны быть четко определены), гарантировать возможность продолжения общего среднего образования, а также получение высшего образования в соответствии с потребностями, интересами и способностями учащихся.

Оценка качества усвоения учебного материала с позиций стандартов математического образования. Традиционно сложившаяся в школе система получения геометрических знаний, умений и представлений складывается из: а) некоторой (достаточно расплывчатой) геометрической подготовки в начальной школе, которая* в настоящее время значительно меняется как по содержанию изучаемого материала, так и по методам обучения; б) пропедевтического геометрического материала 5 -6 классов; в) систематического курса планиметрии в 7-9 классах; г) систематического курса стереометрии в-10-11 классах.

В настоящий период развития школьного образования пересматриваются не только программы курсов, но и сама структура школы. Это прежде всего касается внедрения проекта "Экология и диалектика", который исходит из следующей (идеальной) структуры математического образования.

1. Начальная школа, работающая по специально разработанной программе (по которой уже создается второе поколение учебников по математике), предусматривает достаточно широкое знакомство учащихся с элементами геометрических знаний, умений, представлений. Отметим, что пока трудно фиксировать уровень геометрической подготовки этой категории учащихся, он сложится не скоро и может быть достаточно

различным по своим результатам. Ясно одно - начальная школа может и должна способствовать становлению геометрической культуры учащихся и минимум этих представлений должен быть четко зафикси* рован.

2. Особое место отводится в модели "Экология и диалектика" обучению в 5 классе. Это два курса: "Число и окружающий мир" и "Геометрия окружающего мира". Курс "Геометрия окружающего мира" призван, во-первых, развивать общие геометрические представления учащихся, во-вторых, подготовить их к дальнейшему систематическому изучению геометрии, в-третьих, показать роль геометрических знаний в познании мира. Отметим, что наш курс "Геометрия 6-9" на первых порах может заменить курс "Геометрия окружающего мира" 5-го класса (при соответствующей методике изучения) и превратиться в непрерывный курс "Геометрия 5-9".

3. Курс "Геометрия 6-9", который, опираясь на геометрические представления, полученные учащимися с 1 по 5 классы, должен обеспечить на уровне стандартов математического образования овладение всеми учащимися основными знаниями и умениями, зафиксированными в существующих временных стандартах математического образования традиционной школы (1-11 классы), а также обеспечить основы развивающего и непрерывного образования.

4. Продолжение геометрического образования в старших классах происходит в соответствии с интересами учащихся и профилем обучения.

Таким образом, наш курс "Геометрия 6-9" содержит весь сложившийся веками запас обязательных для завершения базового образования геометрических знаний и умений. Правда, методика построения этого курса совершенно иная. Это дает возможность сравнивать знания и умения учащихся (традиционные и новые) на уровне стандартов образования. При этом учащиеся могут продолжить геометрическую подготовку в 10—11 классах по специально разработанным программам и учебникам, а могут (в отдельных случаях) закончить ее и в 9-м классе. Оценка по базовому курсу "Геометрия 6—9" может войти в аттестат о среднем образовании с соответствующими пояснениями.

Индивидуальное развитие учащихся. Курс "Геометрия 6.-9" должен быть направлен на всестороннее индивидуальное развитие учащихся с учетом их способностей и возможностей. С этой целью учебник по геометрии должен содержать:

теоретический материал с четко выделенным обязательным объемом изучаемых вопросов, являющихся обязательными для усвоения

всеми учащимися (он выделяется сплошной чертой на полях учебника с левой стороны);

дополнительный теоретический материал, позволяющий обеспечить развивающее обучение;

заданный материал, гарантирующий прочное усвоение базовых знаний;

систему проблемных вопросов, творческих задач и исследовательских заданий, позволяющих учащимся удовлетворять свои потребности в более глубоком познании геометрического материала, а также задачи межпредметного содержания;

исторические материалы, связанные с изучением соответствующих тем курса, и тл.

Курс должен преподаваться так, чтобы никому не пришло в голову ограничиться уровнем "минимальной планируемой подготовки учащихся", чтобы учебный материал стимулировал учебную деятельность учащихся, способствовал мотивации обучения.

Формирование общей картины мира. В модели "Экология и диалектика", курс "Геометрия 6-9" должен способствовать осознанию всеми учащимися общей картины мира, его устройства, возможностей его изучения с использованием геометрических знаний. Материал курса "Геометрия 6-9" развивает знания учащихся, полученные ими в курсе "Геометрия окружающего мира" в 5-м классе и на этой базе позволяет совместно с курсами "Окружающий мир" и "Закономерности окружающего мира" продолжить познание окружающего мира.

Формирование мыслительной деятельности учащихся. Курс "Геометрия 6—9" имеет большие возможности _вдля формирования мыслительной деятельности всех учащихся. При этом традиционно, в погоне за объемом получаемых знаний, этот эффект явно не срабатывал. Курс "Геометрия 6-9" ставит своей целью целенаправленное формирование умственного развития учащихся через отработку конкретных приемов умственной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, затем абстрагирования, сравнения, обобщения и аналогии. Все сказанное должно приводить к формированию дедуктивного мышления (в его индивидуальных проявлениях), без которого не возможно формирование полноценной человеческой личности.

Процесс формирования приемов мыслительной деятельности осуществляется через специально подобранную систему упражнений. При этом направленность этой системы упражнений на формирование аналитико-синтетической деятельности определяется не только содержанием этих упражнений, но и структурированием вопросов, задач и заданий, которые распределены по шести группам (см. обращение к

читателю в начале курса "Геометрия 6"), каждая из которых имеет свои четко обозначенные цели. Например, система упражнений начинается с двух групп вопросов: Q] - упражнения на формирование умений правильно делать выводы из условия задачи (получать следствия) - это разновидность синтетической деятельности; Щ - упражнения на выяснение причин наличия того или иного свойства объекта, т.е. выявления признаков объекта - это одна из основ аналитической деятельности и тд.

Умение рассуждать и доказывать. Есть очень важное качество личности человека - умение отстаивать или доказывать свою точку зрения. Так вот, данный курс геометрии должен привить правильное представление о доказательстве личностью чего-либо. Традиционно мы доказывали очень много теорем, но, к сожалению, это было чаше разучиванием или запоминанием "чужого доказательства". Целью нашего курса является показ необходимости и потребности доказательства вообще, формирование умений владения основными методами (приемами) доказательств, а также стремление к самостоятельному поиску и проведению доказательств. В течение последних десятилетий мы убедились в том, что раннее введение строгого дедуктивного изложения геометрического материала мало эффективно даже для способных к математике учащихся. Вместе с тем полное отсутствие элементов дедукции также не дает желаемого результата. Мы выбираем так называемый "локально-дедуктивный стиль" изложения, позволяющий на доступном уровне приучать учащихся к точности, ясности и краткости выражения своих мыслей, к учению отстаивать и обосновывать свои позиции.

В курсе "Геометрия 6-9" мы не стремимся к доказательству очень большого числа георем, а также допускаем, что некоторая часть учащихся может не воспроизводить часть доказательств. Но доказательства, которые мы проводим, идут с полным обоснованием (в рамках структуры и стиля учебника), на которые нацеливает и само оформление этих доказательств.

Наглядность и обучение. Говоря о роли геометрических знаний в формировании логических рассуждений, в развитии дедуктивного мышления, следует постоянно помнить о наглядности изучаемого материала, о практической и теоретической целесообразности его изучения. Курс "Геометрия 6-9" выдвигает на первое место эти положения. Логика выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости, а не наоборот. Вместе с тем, как уже указывалось, логика составляет основу рассуждений и практических действий.

Реализацией этого принципа изложения учебного материала является большое число рисунков, помогающих усвоению материала, а также показ динамики развития построения, наблюдения, рассуждения, так как один рисунок, на котором изображены все этапы решения (построения или доказательства), не дает нужного эффекта.

Интуиция и геометрическое воображение. Формулируя цели обучения математике, много говорят о важности математической интуиции (и интуиции вообще) и геометрического воображения в формировании личности учащихся. Курс "Геометрия 6—9" должен активно развивать эти качества личности, сделать так, чтобы они распространялись на всю деятельность учащихся.

Есть еще одно удивительное качество личности, называемое любознательностью (или любопытством). Так вот, мы пытаемся использовать все средства, чтобы пробудить это чувство и различные его проявления. С этой целью появляются значки [£] и QJ которые заставляют задуматься над изучением материала и фиксируют особо важные факты.

Все сказанное во всех пунктах целей изучения данного курса должно обеспечить самое главное - любовь к предмету, к учению, к получению знаний, открытию и познанию нового.

12. Основная стратегия изучения курса "Геометрия 6-9” ~ "Я в пространстве."

Курс геометрии в средней школе традиционно состоит из двух основных разделов: планиметрии, изучающей плоские фигуры и их свойства, и стереометрии, изучающей пространственные фигуры и их свойства. Такой подход к построению школьного курса геометрии имеет как положительные, так и отрицательные стороны.

Перечислим некоторые отрицательные моменты:

геометрия - наука, опирающаяся на наглядность, возникшая из опыта человека, из его наблюдений за окружающим миром, в котором нет ни одного плоского объекта, изучаемого планиметрией. Таким образом, изучение планиметрии происходит без использования каких бы то ни было моделей;

при раздельном изучении планиметрии и стереометрии очень много повторов, очень много дублирования;

раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многих общих закономерностей геометрии, ему представляется, что это две различные науки;

приложения планиметрии достаточно искусственны или упрощены, они не в достаточной мере отражают связь геометрии с окружающим миром, тем более, что многое об окружающем мире изучается достаточно рано, параллельно с курсом геометрии 5-9 классов;

многие задачи, связанные с изменениями геометрических величин или с измерениями на местности, развертками или конструированием многогранников и тл„ решаются традиционно в таком возрасте, когда это совершенно не естественно, не интересно и не нужно;

в настоящее время многие учащиеся завершают или прерывают математическое образование в 9 классе, а изучением пространства и всех окружающих нас объектов традиционно начинают заниматься с 10 класса. Это приводит к тому, что базовое образование не дает необходимого эффекта для развития личности ученика, не готовит его к жизни, к практической деятельности.

Некоторые положительные стороны традиционного изучения геометрии состоят в следующем:

учащимся трудно изображать пространственные объекты, а соответствующих средств наглядности не достаточно;

раздельное изучение геометрии идет долго - 7 лет, и ученик, медленно работающий, может более успешно обучаться.

Наш опыт показывает, что убедительно побеждают плюсы совместного изучения свойств геометрических фигур плоскости в пространстве. Обратим внимание на то, что за последнее время в различных вариантах учебников для начальной школы, во-первых, все больше геометрического материала вообще, во-вторых, среди этого материала все больше появляются свойства фигур в пространстве. Было бы странно отбросить все эти попытки (эксперименты подтверждают их успешность) и перейти к изучению свойств плоских фигур.

Возникает некоторая методическая линия курса - плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур.

Все, о чем мы говорим, что мы делаем, относится к пространству. Все примеры, если это возможно, должны быть связаны с пространством. Плоскость - частный случай пространства.

13. Принцип непрерывности в изложении учебного материала

Так как курс "Геометрия 6-9" опирается на фундамент начального математического образования, а там уже встречалось большое число

геометрических фигур и их свойств, то всю эту информацию можно и нужно использовать. При этом следует четко понимать, где этот материал дан с опережением, без определений и подробных пояснений, где уже некоторые факты четко и точно сформулированы и тд.

Вместе с тем мы понимаем, что в разных школах, у разных учащихся исходный материал может быть усвоен по-разному, обоснования, и рассуждения могут быть разными по форме и по содержанию, объем изученного материала также может быть разным и тд.

Для решения подобных вопросов мы используем следующую методическую линию - изложение материала в учебнике идет вне зависимости от исходного уровня знакомства с ним учащихся.

Это несколько противоречивое заявление действительно имеет место. Его следует понимать чисто практически:

а) если что-то уже изучено, то проверь уровень усвоения и иди дальше;

б) если что-то раньше сделано не так, надо сделать так, как в структуре данного учебника;

в) если какой-то материал встречается впервые, то он так и изучается, как в первый раз.

Этот принцип непрерывности поможет учителю справиться с трудностями, связанными с отсутствием у него предыдущих учебников, а ученику дает возможность быстро и целенаправленно повторить уже знакомый материал. Учитель, естественно, должен вносить коррективы в предлагаемое планирование учебного времени. Представьте, чтр учащиеся уже в той или иной степени знакомы с измерениями отрезков и углов, что вполне возможно, тогда время, отводимое на изучение этих разделов, можно сократить и занять его решением задач или продвижением вперед.

У данного принципа есть еще одна очень важная деталь. Он работает не только по отношению к уже известному материалу, но и постоянно используется в данном учебнике, так как очень многие вопросы начинают изучаться в одной теме, а затем продолжаются в многих последующих. Например, свойства многогранников, эта проблема находит свое развитие практически во всех темах курса, и здесь следить за непрерывностью в получаемой информации особенно важно. Для управления этим процессом мы приводим предметный указатель, с помощью которого можно не только найти нужную информацию в учебнике, но и проследить путь развития, который проходит данная проблема или данное понятие.

1.4. Наглядность в изучении курса "Геометрия 6-9"

При изложении учебного материала, естественно, возникают проблемы: этого мы еще не'знаем, этого вообще никто не знает, это доказать сейчас невозможно, этого изобразить нельзя и тд. Все эти и другие проблемы и вопросы не замалчиваются, а наоборот, явно формулируются, обсуждаются и по возможности решаются. Как правило, в этих случаях учащимся рекомендуется соответствующая литература.

Курс "Геометрия 6-9" спланирован (особенно в первых главах) исходя из естественных вопросов взаимного расположения основных геометрических фигур: сначала изучается взаимное расположение точек и прямых, точек и плоскостей, затем взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей и взаимное расположение плоскостей й тд. Но несмотря на то, что, например, параллельность прямых изучае^тся систематически во третьей главе, в первой главе мы довольно часто говорим о параллельности прямых.

Можно сформулировать еще одну методическую линию нашего курса: обсуждаю то, что вижу, понимая, что вовсе не сразу будет получена полная ясность и информация об увиденном.

Таким образом, наглядность в изложении курса является приоритетной. Вместе с тем наглядность должна рождать потребность в обоснованности предлагаемых выводов. Необходимо сразу приступить к изготовлению и накапливанию средств наглядности (моделей фигур, таблиц, диапозитивов, фильмов, магнитных носителей и тд.).

В нашем учебнике много рисунков, которые помогают учащимся уяснить свойства фигур, понять идею доказательства, выдвинуть идею решения и тд.

Здесь также можно выделить еще одну методическую линию: рисунки способствуют пониманию и развитию, они даются в динамике тех приемов действий, которые выполняются учащимися в процессе рассуждений: вместе'с тем рисунки никогда не являются средством обоснования выводов, они помогают увидеть эти выводы и найти соответствующее доказательство.

15. Об использовании теоретико-множественных понятий и символов

В курсе "Геометрия 6-9" применяются простейшие понятия и обозначения теории множеств. Дело в том, что в настоящее время

теоретико-множественный язык вошел во всю без исключения математическую литературу, что привело к введению его элементов в школьную программу.

Употребление теоретико-множественного языка в геометрии способствует развитию общей культуры учащихся, облегчает запись многих геометрических фактов. Важно научиться правильно употреблять понятия и символы теории множеств наряду с традиционными оборотами. Например, с позиций теоретико-множественного языка предложения "точка X принадлежит прямой р” и "точка X лежит на прямой р" имеют одинаковый смысл и одинаковую запись: Х£р.

Как показывает опыт, чтение и запись текста с использованием обозначений (в учебнике приведены тренировочные задачи, в которых требуется прочесть символические записи, а также обратные задачи - записать с помощью обозначений различные предложения) не вызывают осложнений и даже нравятся учащимся, так как употребление обозначений сокращает запись. Но не следует увлекаться символическими знаками, так как при этом создаются искусственные сложности и при написании, и при чтении. Этот принцип соблюдается в учебнике, его следует придерживаться и при оформлении решений задач.

Так как в нашем курсе нет обозначений для геометрических фигур, то чаще всего записи с использованием символов идут внутри текста учебного материала, из которого часто бывает понятен смысл этой записи. Если записано АВ С CD или ABC\CD = 0, то не ясно,,о каких фигурах идет речь.

В учебнике достаточно подробно говорится об использовании теоретико-множественных символов, правила использования просты:

слева от символов 6 и £ может стоять только обозначение точек;

при употреблении символов С и <Z слева и справа могут стоять обозначения любых геометрических фигур.

Важно понимать, что при определении любой геометрической фигуры мы исходим из того, что она является множеством точек. Именно так с помощью понятия "множество" даются определения многих геометрических фигур, а также выделяются и изучаются свойства этих фигур.

В нашем курсе используется немного понятий и символов, относящихся к теории множеств: знаки объединения и пересечения фигур, принадлежности и непринадлежности, включения и невключения, пустого множества. Кроме того, мы употребляем понятия "часть плоскости" или "часть пространства" - это также множества, а вернее.

подмножества, хотя понятие "подмножество" мы не используем. Применяются также понятия "граница фигуры (тела)", "область" и тл_ч которые сначала не расшифровываются, а используются в их наглядном виде. Позднее, по мере необходимости, они получат свои более полные и точные толкования.

1.6. Деятельность учащихся, связанная с определением понятий

В курсе геометрии (как и в курсе алгебры) приходится иметь дело с большим числом понятий, так как изучаются свойства большого числа фигур и различные отношения между ними. Для объяснения содержания новых понятий используются определения.

При определении любого нового понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известны. Но нельзя дать определения всем понятиям, так как в противном случае цепочка ссылок на ранее известные понятия была бы бесконечной. Поэтому некоторые понятия необходимо принимать без определений в качестве основных. Выбор понятий, принимаемых без определения, и их число зависит от автора, разрабатывающего данный курс. В чисто математических работах это число стараются свести к минимуму. Известно, что понятие множества является неопределяемым во всех математических курсах. Естественно, и мы не определяем данное понятие. Геометрические неопределяемые понятия в нашем курсе специально не выделяются (к ним относятся, например, "точка", "прямая", "принадлежать").

Умение определять фигуры, работать с определениями, требовательность к формулировкам определений является необходимыми элементами общей культуры каждого человека. Неверно считать, что с определениями i ы имеем дело только при изучении математики. Так, системы понятий в химии, физике, ботанике, для создания которых потребовались столетия, содержат определения многочисленных понятий и объектов; при этом учитываются многие требования, предъявляемые к определениям в математике.

Суть работы, связанной с определениями геометрических фигур, состоит в следующем:

а) все фигуры состоят из точек (в теме 2 "Точки и прямые" мы определим геометрическую фигуру как любое множество точек);

б) выявляя (выделяя) различные свойства той или иной фигуры (или отношений), мы должны научиться выделять характеристические свойства этой фигуры, которые могут быть заложены в ее определении (этот процесс сложен, и мы его будем отдельно пояснять, но умения

видеть свойства геометрических фигур и других объектов должны формироваться уже в 1-5 классах);

в) в формулировках свойств определяемых фигур могут участвовать: неопределенные понятия геометрии (точка, прямая, расстояние, плоскость и тд.); ряд общематематических понятий (множество, принадлежность, величина, число и тл.); геометрические понятия, уже получившие определения.

Этот подход реализован в нашем курсе достаточно полно. Тем самым по мере развития теории можно убедительно показать учащимся, что действительно все геометрические понятия могут быть определены в конечном счете с помощью очень небольшого числа понятий.

При определении геометрических фигур и основных отношений выделяются следующие этапы:

при первом знакомстве с некоторыми фигурами определений не дается, вся работа опирается на наглядное представление и ощущения;

есть немало понятий, определения которым не даются в силу объективных математических трудностей (например, "величина угла");

если определение в учебнике дано с достаточной полнотой (строгостью), то рядом стоит знак On, где п - порядковый номер определения в учебнике.

Формирование умений определять понятия не может носить локальный характер - это не цель одного урока и даже не нескольких уроков. Это работа должна пронизывать практически весь курс обучения, так как в каждой теме появляются новые особенности и

трудности.

Основной вид деятельности по определению понятий - это проведение бесед, а также выполнение специальной системы упражнений. Охарактеризуем некоторые особенности этой работы.

Система упражнений содержит задания, направленные на наглядное знакомство с понятиями, включающие в себя рассмотрение различных моделей и выполнение на них простейшие построений, что предусматривается как изучением теоретического материала учебника, так и предлагаемой в нем системой задач.

В системе упражнений содержатся задания, в которых следует выделять понятая, применяемые при определении данного понятия. Результатом выполнения этих упражнений является появление родословных различных геометрических понятий.