2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ КУРСА "ГЕОМЕТРИЯ 6" (продолжение)

2.8. Ломаная

Эта тема продолжает обсуждение вопросов взаимного расположения точек, отрезков и прямых. Главной особенностью изложения этого материала в нашем учебнике является рассмотрение ломаных и их свойств одновременно и на плоскости и в пространстве (в традиционном изложении о ломаных в пространстве или вообще не говорят, или говорят очень мало).

В разделе 6.1. "Понятие ломаной" вводится само понятие ломаной, а также изучаются различные виды ломаных.

Понятие ломаной достаточно наглядно и просто для понимания. Однако строгое определение этого понятия имеет ряд особенностей из- за сложности словесного описания конструирования ломаной. Вот, например, как выглядит это определение в учебнике А. Д. Александрова и др. [1]:

"Ломаной линией Или просто ломаной называется последовательность отрезков, таких, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго служит концом третьего и тд. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой."

Вы видите, что, во-первых, в этом определении использовано понятие последовательности, во-вторых, запомнить это определение сложно, да и оперирование с концами отрезков не очень удачно.

В учебнике А. Н. Колмогорова и др. [9] авторы выходят из положения другим способом: ^Простой ломаной А,А*.А_Я (и >2) называется объединение отрезков A^₃A_n.)A„, среди которых соседние по порядку не лежит наодной прямой, а не соседние не Имеют общих точек".

Такое определение также трудно для восприятия школьниками 5-б-х, да и 7-х классов. Вот почему мы не выделяем в тексте определение, а описываем понятие ломаной так, чтобы каждый ученик мог построить ломаную и объяснить, чем она отличается от других геометрических фшур. Понятия "вершина", "звено ломаной" также не определяются. Таким образом, учащимся может быть предложено начертить ломаную, обозначить ее, назвать ее вершины, звенья. Но вопросы: "Что называется ломаной? Что называется вершиной ломаной? Что называется звеном ломаной?" не задаются.

Мы различаем несколько видов ломаных: замкнутую, незамкнутую, простую, самопересекающуюся. Важно отметить, что самопересека- ющихся ломаных (не являющихся простыми) мы при изучении материала не используем, а поэтому, говоря о ломаной, мы имеем в виду простую ломаную. Учитывая особенности нашего курса, очень важно различать ломаные, все звенья которых лежат в одной плоскости и не лежат в одной плоскости, например, ломаные, звеньями которых являются ребра многогранников (пока в основном куба).

При изучении пространственных ломаных могут возникать множество не очень простых вопросов. Например, в учебнике помещен такой: "При рассмотрении различных ломаных на кубе (составленных из его ребер) могут возникнуть различные вопросы: какое наименьшее число звеньев могут иметь такие ломаные? Какое наибольшее число звеньев могут иметь такие ломаные?"

Эти два вопроса можно расшифровать серией мелких вопросов:

Какое наименьшее число звеньев может иметь незамкнутая ломаная, лежащая в одной плоскости?

Какое наименьшее число звеньев может иметь незамкнутая ломаная, не лежащая в одной плоскости?

Какое наименьшее число звеньев может иметь замкнутая ломаная, лежащая в одной плоскости?

Какое наименьшее число звеньев может иметь Замкнутая ломаная, не лежащая в одной плоскости?

Аналогично можно задать четыре подобных вопросов, если считать наибольшее число звеньев.

Первая серия вопросов довольно простая, но учащиеся могут испытать трудности при рассмотрении ломаных, не лежащих в одной плоскости. Так, ломаная замкнутая, лежащая в одной плоскости, имеет

Рис. 1

четыре звена - это контур грани (квадрата), а вот ломаная замкнутая, но не лежащая в одной плоскости, имеет шесть звеньев (рис. 1), и таких ломаных много (об этом мы скажем позднее).

Вторая серия вопросов сложнее. Не просто, видимо, увидеть самую длинную незамкнутую линию, правда после этого сразу видна самая длинная замкнутая, поэтому сложность ответов одинакова. Итак, рассмотрим подробнее эти вопросы.

ломаных. Всего имеется 48+24-72 семизвенных ломаных. Представляется, что такой результат должен произвести впечатление.

Важно понимать, что решением этой задачи проблема не заканчивается. Мы составляли ломаные только из ребер куба (как например, на рис. 4/1). Но ведь есть еще диагонали граней, диагонали самого куба (рис. 4,6). В этих случаях можно заняться подсчетом различных ломаных. Мы, конечно, не призываем обязательно проводить эту работу со всеми учащимися, но указать на ее возможность полезно, так как именно эта деятельность, являясь исследовательской, может увлечь ученика.

Вообще говоря, понятие ломаной может использоваться при изучении таких абстрактных понятий геометрии, как полуплоскость и полупространство. При достаточно строгом построении курса геометрии нам необходимо различать точки, которые лежат или не лежат в одной полуплоскости (полупространстве^ (именно так поступает А. В. Погорелов в своем учебнике [16, с.8]). Правда, это различие проводится не с помощью ломаной, а с помощью отрезков. В нашем курсе мы не вводим таких свойств, они проходят у нас на чисто наглядном уровне. Вот почему, когда в системе упражнений встречаются упражнения с таким содержанием, следует понимать, что они не отрабатывают свойств полуплоскостей иди полупространств, связанных с соответствующей аксиоматикой, а направлены на наглядное использование понятия ломаной и расположения ломаных на плоскости и в пространстве. Отметим, что эти упражнения являются подготовительной работой к введению в Дальнейшем понятий области, границ, поверхности и тд, где также используется понятие ломаной.

В заключение этого раздела мы говорим о том, что совершенно неожиданно ломаные находят свое использование при изображении созвездий на Картах звездного неба. С этим связано много разнообразных легенд, от внешнего вида этих ломаных произошли названия многих созвездий (эти истории можно найти в различной литературе, в частности, во многих номерах журнала "Квант").

.Кратко перескажем фрагмент из одного номера журнала [12]. Нет необходимости доказывать, какую роль сыграла астрономия в развитии человеческой культуры. Звёздное небо - это и часы, и календарь, и компас. По-новому осветила интерес к звездному небу космическая эра.

Любые занятия астрономией начинаются со знакомства со звездами с умения узнавать созвездия и наиболее яркие звезды. Изменение вида звездного неба на разных широтах и в разные времена года - все это нужно понять. Этой цели как нельзя лучше

служит книга Г. Рея "Звезды"¹. Г. Рей описывает созвездия целиком, он по-новому соединяет линиями звезды созвездий так, что получающиеся фигурки наиболее точно соответствуют названиям созвездий. Мы узнаем в созвездии Геркулеса - человека с дубинкой, а в созвездии Кита видим чудо-юдо рыбу кит. При этом в очертании созвездий включаются и слабые звезды, которые ускользают от внимания (рис.5).

Можно рассмотреть несколько дополнительных задач для использования при изучении этого раздела (по усмотрению учителя).

1. Дан куб ABCDAJ^CrD^ Как из точки А можно попасть в точку С,, следуя вдоль ребер, не проходя два раза через одну и ту же вершину? (Эта задача является упрощенным вариантом рассмотренных выше проблем подсчета звеньев ломаных, составленных из ребер куба.)

2. Жук ползает по ребрам куба. Сможет ли он последовательно обойти все ребра, проходя по каждому ребру ровно один раз.

3. Нарисуйте квадрат. Отмегьте на нем 9 точек: вершин, середины сторон и точку пересечения диагоналей. Сколько ломаных соединяет две противоположные вершины квадрата? При этом каждая

ломаная имеет вершинами только отмеченные точки, а ее звенья идут

по сторонам квадрата или параллельно им.

Решение. Из точки А можно пойти к точке В или в точке Н, в силу симметрии это будут равноправные возможности (рис. б). Пойдем, например, к точке В. Далее либо к точке С, либо к точке О и тл. Всего получится 6 различных ломаных, соединяющих точку А и точкой Е.

Пойдя в точку Н получим еще 6. Всего - 12 А В С ломаных.

4. У меня есть кусок фанеры прямоугольной формы, расчерченный на 64 клетки (рис. 1д). Я хочу сделать из этой фанеры шахматную доску. Как можно это сделать? При этом хотелось бы, чтобы разрезать фанеру пришлось на небольшое количество частей, лучше всего на две. Возможный разрез показан на рис. 7Д

При решении различных задач иногда интересно рассматривать ломаные с самопересечениями, тл. не простые (в теоретической част и курса такие ломаные практически не встречаются). Приведем несколько задач, где изучаются именно ломаные с самопересечениями звеньев.