• 17. Исследование структуры задачи на построение. 59
• 18. Геометрические места в пространстве 76

Глава четвертая.

Геометрия кругов.

• 19. Степень точки относительно окружности 80
• 20. Радикальная ось. 81
• 21. Радикальный центр 84
• 22. Пучки окружностей 86
• 23. Нулевые окружности и ортогональные траектории. 88
• 24. Примеры 90
• 25. Связки окружностей. 92
• 26. Примеры 97
• 27. Пучок окружностей, диаметрально пересекающих две данные окруж

ности 100

Глава пятая.

Метод геометрических преобразований. Стр.

• 28. Симметрия 102
• 29. Применение симметрии к геометрическим построениям 103
• 30. Вращение 105
• 31. Применение преобразования вращения к геометрическим построе* ниям 106
• 32. Параллельное перенесение 109
• 33. Применение параллельного перенесения к задачам на построение ПО
• 34. Гомотетия 114
• 35. Применение гомотетии к геометрическим построениям. 116
• 36. Подобие окружностей 119
• 37. Теорема Монжа (о подобии окружностей) 121
• 38. Системы окружностей, имеющих общую ось подобия 125
• 39. Инверсия 129
• 40. Теорема об антипараллельных прямых 130
• 41. Инверсия прямой и окружности 131
• 42. Неизменность углов в инверсии 133
• 43. Инверсия с отрицательной степенью. 134
• 44. Инвариантные окружности в инверсии 136
• 45. Изогональные и касательные окружности. 138
• 46. Проблема Аполлония о касании окружностей 141

Литература. 144

ВВЕДЕНИЕ.

Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности, столь необходимые будущим строителям нашей великой Родины.

Значение отдельных моментов решения задачи на построение должно быть отмечено. Так, в „анализе" учащиеся приучаются к тщательному изучению задачи, которое должно установить связи искомых элементов с данными и указать пути решения. Это первый и важнейший момент решения задачи на построение. Затем выполняется самое „построение". Учащийся, имея в своем распоряжении заданные элементы и руководствуясь выводами анализа, должен произвести синтез, приводящий его к построению искомой фигуры. Следующий этап решения— „доказательство". Он может показаться излишним, обеспеченным соответствием построения с данными анализа. Но это не всегда так. Надо убедиться в том, что найденные необходимые условия являются достаточными и что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. Поэтому учащийся приучается давать себе отчет в логической строгости конструкции, ее соответствии поставленной задаче.

Наконец, в последней части, завершающей процесс решения, производится „исследование", т. е. выясняется вопрос об условиях существования решения, о числе решений и т. п. В задачах более сложных „исследование" затрагивает иногда настолько тонкие вопросы и требует такой математической строгости рассуждений, что становится для учащихся как бы первым опытом, первым подходом к научному изучению математических проблем.

Уже из этого перечисления основных моментов в процессе решения конструктивной задачи видно, что мы имеем здесь весьма ценное орудие математического образования, математического развития учащихся. Последние находят в задачах на построение разностороннее применение своих способностей. Кажущаяся простота проблемы только усиливает интерес к ней и желание найти решение, которое, однако, может потребовать большого умственного напряжения и изобретательности.

Ознакомление учащихся с методами геометрических построений вооружает их теоретически и практически, вносит ясность, ориентирует в разнообразных вопросах конструктивной геометрии. Однако при этом необходимо остерегаться механического применения методов геометрических построений как универсальных рецептов к решению задач. Это нанесло бы вред, убивая инициативу ученика и приучая его к пользованию шаблонами. Изучение методов геометрических построений должно, напротив, усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи. С этой точки зрения мы и подходим к задачам учителя. Последний должен владеть теоретической стороной дела, хорошо понимая вместе с тем практическое значение методов построения.

Первая глава этой небольшой книги, написанной в соответствии с программой педагогических институтов, посвящена вопросам обоснования конструктивной геометрии. Преподавателю необходимо разобраться в этой стороне дела, которая усложняется участием в геометрических построениях материальных инструментов (линейки, циркуля, угольника и т. п.). Возникает вопрос: что же такое геометрические построения — графическое искусство или абстрактная геометрическая дисциплина? Или, быть может, здесь неизбежно слияние тогой другого?

В главе, посвященной этим вопросам, мы постарались показать, что конструктивная геометрия является частью геометрии как абстрактной математической дисциплины. В то же время конструктивная геометрия отражает чертежно-графическую практику. Все чертежные операции могут быть представлены в абстрактно-геометрической форме. Таково происхождение этой теоретической дисциплины, обязанной, в свою очередь, содействовать разрешению практических проблем. Вместе с тем мы должны здесь отметить отставание школьных программ от быстро растущих потребностей жизни (гл. I. § 7).

Изложение методов геометрических построений мы заканчиваем рассмотрением проблемы Аполлония о касающихся окружностях. Для полного решения этой задачи приходится рассматривать инверсии с отрицательной степенью и мнимой базисной окружностью, ортого

нальные окружности которой образуют гиперболическую связку. Считаясь с трудностью такой концепции, трудностью распространения на нее обычных рассуждений и доказательств, мы предпочли заменить мнимую окружность действительной, а гиперболическую связку ортогональных окружностей эллиптической связкой диаметральных окружностей. Это позволяет провести все построения, основываясь лишь на действительных элементах плоскости. Заметим кстати, что во всем изложении мы предполагали, что имеем дело с обыкновенной эвклидовой плоскостью, чтобы не создавать для учителя затруднений в применении материала на уроках геометрии в школе. В тех случаях, когда являлась необходимость рассматривать несобственные элементы плоскости (например, § 41), сделаны соответствующие оговорки. Самое выполнение геометрических построений с ними не связано. Таким образом эти пункты предназначены лишь для учителя.

Несколько слов относительно выбора примеров и задач для преподавания в школе. Делались попытки дать рекомендуемый список (см., например, список упражнений, приведенный в статье Брауна „Математика и физика в школе", № 4, 1936 г.), однако более желательно, чтобы учитель владел основными методами геометрических построений настолько, что мог бы производить подбор и даже самостоятельную композицию несложных примеров и задач. В этом направлении построен § 17 главы III, в котором показано развитие задачи с помощью вариации данных, приводящее к различным геометрическим местам. В заключение отметим необходимость решения в школе стереометрических задач на построение, столь полезных для развития пространственного воображения учащихся. В школьных программах этот момент не получил сколько-нибудь серьезного отражения. В порядке постановки вопроса мы посвятили ему § 18 главы о геометрических местах, считая, однако, что приведенный в этом параграфе материал представляет собой лишь краткое введение в раздел геометрических построений в пространстве. Включение такого раздела в школьные программы представляется весьма желательным ^]).

1) Более подробно этот вопрос рассматривается в статье автора Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии* (.Известия Акад, педаг. наук РСФСР*, 1946, вып. VI).

См. также: Н. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, Учпедгиз, 1952.

Л. М. Л о п о в о к, Сборник стереометрических задач на построение, Учпедгиз, 1950.

Глава первая.

ОБОСНОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

• 1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ГРАФИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ.

Инженеры и техники в своей практической работе прибегают к помощи чертежа. При выполнении чертежа они пользуются теми или другими чертежными инструментами. Наиболее употребительными инструментами являются линейка, циркуль и угольник. Понятно, что задачи, которые приходится решать чертежнику, связаны с его инструментарием. Ему недостаточно убедиться в существовании решения или даже определить искомые элементы через численные данные. Он стремится с помощью своих инструментов фактически осуществить на чертеже построение искомой фигуры. В этом именно и состоит графическое решение задачи.

Так, пытаясь построить на чертеже отрезок, равный по длине заданной окружности, чертежник не сможет этого сделать с помощью своего инструментария. Точно так же он не будет в состоянии выполнить квадратуру какого-нибудь начерченного круга, т. е. построить равновеликий ему квадрат. Формулы C=2w и _<$=тгг² в этом случае не помогут ему. Он должен будет признать обе задачи для себя „неразрешимыми". Ограничивая свой инструментарий линейкой и циркулем, чертежник вообще не будет в состоянии решить какую-либо задачу степени выше второй ’).

Так, задача об удвоении куба, приводящаяся к кубическому уравнению х³ — 2а³ = 0, будет ему недоступна. Это означает, что с помощью своих инструментов (линейки и циркуля) он не сможет построить на чертеже отрезок, длина которого выражалась бы формулой:

х = а р/2,

где через а обозначена длина ребра данного куба. Еще меньше возможностей окажется у чертежника, если в качестве чертежного инструмента он будет применять лишь одну линейку. Он должен будет отказаться от проведения параллелей или перпендикуляров, не будет в состоянии разделить данный отрезок пополам. Лишь те задачи первой степени, решение которых сводится к проектированиям и пересечениям (так называемые „визуальные¹¹ задачи), будут ему доступны.

!) „Степенью* задачи на построение называют степень уравнения, к которому приводится решение задачи в аналитической форме.

Все это с достаточной ясностью показывает, что самая постановка задач, возможность их решения, существенно зависит от состава инструментария, который может быть использован чертежником для выполнения построений. Так обстоит дело в чертежной практике. Но абстрактная математика является отображением материальной действительности. Поэтому вполне естественно, что математическая теория геометрических построений (конструктивная геометрия) должна отражать свойства и особенности графической практики.

Наша задача заключается в том, чтобы выразить сущность конструктивной геометрии в терминах абстрактной математики. Тогда геометрические построения становятся одной из глав геометрии.

То своеобразное, что отличает конструктивную геометрию, заключается в том, что не всякая задача, решенная математически, является задачей, решенной „конструктивночто не всякая точка, прямая или какая-нибудь геометрическая фигура, математически вполне определенная, может быть „построена". Поэтому, рассматривая точки, прямые, окружности и другие фигуры обыкновенной эвклидовой геометрии на плоскости мы должны указать, какие из них являются „построенными" или какие из них „могут быть построены". Условимся теперь же называть все такие элементы конструктивными *). Мы уже видели, что вопрос о „конструктивности" геометрических элементов зависит от средств построения (инструментария). Будем считать, что речь идет о построениях, выполняемых линейкой и циркулем. В тех случаях, когда для геометрических построений привлекаются другие инструменты (двухсторонняя линейка, прямой или острый угол, угольник), будут сделаны необходимые дополнительные исследования.

Итак, постараемся обосновать конструктивную геометрию, при условии, что построения выполняются линейкой и циркулем.

• 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ „КОНСТРУКТИВНЫХ" ЭЛЕМЕНТОВ.

Элементами геометрических построений на плоскости служат точки, прямые, окружности и другие фигуры обыкновенной эвклидовой геометрии. Некоторые из этих элементов являются „построенными* на чертеже. Таковы, например, данные элементы во всякой задаче на построение. Другие элементы могут быть „построены" из данных с помощью конечного числа операций линейкой и циркулем. Наконец, третьи элементы не поддаются построению, сколько бы операций линейкой и циркулем ни было произведено. Они, следовательно, не обладают свойством „конструктивности". Все остальные элементы являются „конструктивными". Таким образом, каждая задача на построение разбивает точки плоскости на два класса: класс К, состоящий из „конструктивных" точек, и класс А/, содержащий все остальные точки плоскости. Аналогичным образом разобьются на два класса все прямые и все окружности плоскости. Наша задача теперь заключается в том, чтобы

9 В следующем параграфе содержание этого термина будет точно определено.

точно установить, какие элементы должны быть отнесены к классу „конструктивных*. Это достигается с помощью следующих определений:

Считаются (или называются) „конструктивными*-.

1. Все данные в условии задачи на построение геометрические образы (точки, прямые, окружности.).

2. Прямая, если она определена двумя „конструктивными* точками.

3. Окружность, если она определена „конструктивным* центром и „конструктивным* радиусом (пара „конструктивных" точек).

4. Точка, если она является точкой пересечения двух „конструктивных* линий.

Приведенные здесь четыре определения отображают в абстрактной форме практические построения линейкой и циркулем. Проанализируем каждое из них в отдельности.

Первое определение устанавливает существование „конструктивных" элементов, без которых не могут быть применены линейка и циркуль. Это определение относит к классу „конструктивных" все элементы, „заданные" в условии задачи на построение. Таким образом, „данные" конструктивной задачи должны быть выражены в такой форме, чтобы к ним могли быть применены операции линейкой и циркулем. Так как каждая геометрическая фигура может быть задана некоторой совокупностью точек, то мы будем предполагать, что „данные* каждой задачи на построение выражаются в форме некоторой совокупности построенных на чертеже точек. Ниже будет рассмотрен вопрос относительно возможности иного выражения условий задачи на построение. Пока же нам важно отметить, что как только задача на построение формулирована, все „данные", согласно определению 1, входят в класс „конструктивных" точек, который не является, таким образом, пустым, и геометрические построения могут быть произведены.

Второе определение устанавливает „конструктивность* прямой, определенной с помощью двух „конструктивных" точек (например, „данных"). На практике „построение" прямой, когда „построены" две ее точки, выполняется линейкой. Поэтому можно сказать, что определение второе выражает в абстрактной форме свойство линейки. Это — абстрактное определение „линейки".

Третье определение, подобно предыдущему, выражает свойство циркуля в абстрактной форме. Можно поэтому назвать его абстрактным определением „циркуля".

Четвертое (и последнее) определение устанавливает образование новых „конструктивных" злементов из имеющихся с помощью применения линейки и циркуля, т. е. через определения 2 и 3.

Это определение устанавливает, что новые „конструктивные" точки можно получить как точки пересечения „конструктивных" линий.