I. ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ

1. В 6 классе начинается изучение нового для учащихся предмета—систематического курса геометрии. Необходимо, чтобы на первых же уроках были заложены прочные основы геометрических знаний и дано верное направление последующим занятиям. В объяснительной записке к программе по математике имеется следующее указание: „При обучении геометрии должно быть обращено внимание на правильное формирование геометрических понятий. Поэтому первые шаги обучения геометрии сопровождаются постоянным обращением к пространственным формам окружающего мира, к геометрическим моделям, к измерительным работам, к непосредственному опыту. При этом постепенно вырабатывается потребность в обосновании открываемых истин". К практическим занятиям следует отнести: измерения, глазомерные определения величин, простейшие построения, моделирование, чтение чертежей и другие упражнения.

Решение задач тоже является практическим занятием, притом важнейшего значения; оно должно проводиться систематически, на каждом уроке и занимать значительное время.

2. К решению геометрической задачи предъявляются следующие требования. Решение задачи должно быть полным. Учащимся надо разъяснить, что геометрическая задача может иметь один, два или несколько правильных ответов и все их надо находить и записывать. Если, допустим, задача имеет два ответа, а найден и записан только один ответ, то решение задачи считается незавершенным, неполным. Учащимся разъясняется, что слово „решение' имеет двоякое значение: работа ученика над задачей (например: „ученик закончил решение задачи') и самый ответ к задаче (например: „задача имеет четыре решения").

Одна и та же задача иногда может быть решена двумя или несколькими способами. Решение задачи различными способами поощряется учителем, но не является обязательным требованием к учащимся.

Решение задач на построение выполняется при помощи чертежных инструментов. При решении же задач на вычисление и на доказательство для развития руки и глазомера рекомендуется делать чертежи приближенные; однако приближенный чертеж, выполняемый от руки, должен соответствовать условиям и требованиям задачи. Такой чертеж в дальнейшем мы будем называть геометрическим рисунком или эскизом.

3. В настоящее время различают геометрические задачи четырех видов: на построение, на вычисление, на доказательство и задачи прикладного содержания. Задачи первых трех видов общеизвестны. Задачи же четвертого вида состоят в том, что решая их, учащиеся приобретают навыки, которые можно непосредственно применить в трудовой деятельности.

4. Задачи на построение в ряду других геометрических задач имеют первенствующее значение как в образовательном отношении, так и в смысле развития у детей конструктивных навыков. Решить задачу на построение — значит свести это решение к выполнению определенных простейших операций. Перед выполнением задачи на построение учитель дает классу указание, какими средствами и как выполняется чертеж. Затем дается ряд основных задач на построение. Наконец, решаются сложные задачи на построение, требующие проведения анализа построения, доказательства и исследования.

5. При решении задач на вычисление необходимо, чтобы учащиеся постепенно усвоили следующий порядок работы.

Внимательно прочитать текст задачи; ясно представить себе, какие даны условия и что требуется определить, вычислить. Выполнить приближенный чертеж, соответствующий условиям задачи (образное выражение: „перевести текст задачи на язык графики").

Записать условия и требования задачи при помощи математических знаков (образное выражение: „перевести текст задачи на язык математической символики"). Объясним, почему это необходимо. Например, фраза „точка С есть середина отрезка АВ" в символической записи будет иметь вид: АС=СВ. Символическая запись лучше подсказывает ученику, как можно использовать данное геометрическое соотношение в ходе решения задачи.

Разобрать чертеж, т. е. рассмотреть различные элементы фигуры; выделить те элементы, которые необходимы при решении вопроса задачи; выполнить дополнительные построения, если для решения вопроса задачи необходимых элементов на чертеже нет. Определить зависимость между известными и искомыми величинами; установить геометрические свойства и соотношения, которые следует использовать при решении вопроса задачи. Выполнить вычисления и записать ответ.

6. Решение геометрической задачи на доказательство проводится так же, как доказательство теоремы.

Примерный план решения: выполнить чертеж по условиям задачи; записать при помощи геометрической символики условия задачи и требуемое заключение; рассмотреть чертеж и выполнить дополнительные построения (если требуются); установить зависимости, на основании которых можно сделать переход от условий к заключению; вывести заключение на основании ранее доказанных предложений.

7. Геометрические задачи прикладного содержания можно разделить на следующие группы.

Измерительная практика в классе и на местности. В эту же группу упражнений следует отнести глазомерное определение величин (отрезков, углов, площадей, объемов) с последующей проверкой измерением и вычислением.

Графическая практика. Примером могут служить занятия по вычерчиванию планов, по изготовлению копий простых рабочих чертежей.

Вычислительная практика— определение объема, веса, стоимости продукции.и др.

8. . Отбор задач для решения их в. классе и для домашних заданий является: важным моментом в работе учителя. Во-первых, необходимо выбирать из задачника и других источников наиболее ценные в образовательном отношении задачи и упражнения упомянутых выше четырех групп. Во-вторых, учитывать степень трудности решения той или иной задачи главным образом в смысле отыскания пути ее решения. В-третьих, надо по возможности подбирать такие задачи, при решении которых применялись бы навыки решения предыдущих задач и приобретались новые навыки, т. е. стремиться создать определенную систему в подборе и решении задач.

9. Большой заботой учителя должно являться воспитание самостоятельности учащихся при решении задач. В некоторых случаях разбор и решение задачи выполняется учителем и учащимися совместно, коллективно. Часто разбор задачи проводится учащимися под руководством учителя, а решение они выполняют самостоятельно. Наконец, и разбор, и решение задачи иногда предоставляется самим учащимся. Следует постепенно и систематически повышать активность и самостоятельность учащихся при решении геометрических задач.

10.  Необходимо, чтобы на каждый урок геометрии учащиеся приносили комплект чертежных инструментов: линейку, циркуль или карандаш с циркульной ножкой, чертежный треугольник и транспортир. Линейка выполняет функции двух инструментов: масштабной линейки (сторона с делениями) и обыкновенной линейки (сторона без делений). Все чертежи выполняются в карандаше, который должен быть остро отточен.

Примерный план решения: выполнить чертеж по условиям задачи; записать при помощи геометрической символики условия задачи и требуемое заключение; рассмотреть чертеж и выполнить дополнительные построения (если требуются); установить зависимости, на основании которых можно сделать переход от условий к заключению; вывести заключение на основании ранее доказанных предложений.

7. Геометрические задачи прикладного содержания можно разделить на следующие группы.

Измерительная практика в классе и на местности. В эту же группу упражнений следует отнести глазомерное определение величин (отрезков, углов, площадей, объемов) с последующей проверкой измерением и вычислением.

Графическая практика. Примером могут служить занятия по вычерчиванию планов, по изготовлению копий простых рабочих чертежей.

Вычислительная практика— определение объема, веса, стоимости продукции.и др.

8. . Отбор задач для решения их в. классе и для домашних заданий является: важным моментом в работе учителя. Во-первых, необходимо выбирать из задачника и других источников наиболее ценные в образовательном отношении задачи и упражнения упомянутых выше четырех групп. Во-вторых, учитывать степень трудности решения той или иной задачи главным образом в смысле отыскания пути ее решения. В-третьих, надо по возможности подбирать такие задачи, при решении которых применялись бы навыки решения предыдущих задач и приобретались новые навыки, т. е. стремиться создать определенную систему в подборе и решении задач.

9. Большой заботой учителя должно являться воспитание самостоятельности учащихся при решении задач. В некоторых случаях разбор и решение задачи выполняется учителем и учащимися совместно, коллективно. Часто разбор задачи проводится учащимися под руководством учителя, а решение они выполняют самостоятельно. Наконец, и разбор, и решение задачи иногда предоставляется самим учащимся. Следует постепенно и систематически повышать активность и самостоятельность учащихся при решении геометрических задач.

10.  Необходимо, чтобы на каждый урок геометрии учащиеся приносили комплект чертежных инструментов: линейку, циркуль или карандаш с циркульной ножкой, чертежный треугольник и транспортир. Линейка выполняет функции двух инструментов: масштабной линейки (сторона с делениями) и обыкновенной линейки (сторона без делений). Все чертежи выполняются в карандаше, который должен быть остро отточен.

Если элементы фигуры заданы в условиях задали метрически, то комплект инструментов не ограничивается. Если же элементы фигуры заданы графически, то задача решается только классическими средствами — при помощи линейки и циркуля. Отступление от этого требования обычно оговаривается в тексте задачи.

Решение задач в классе выполняется всеми учащимися одновременно после того, как будет подробно объяснено, что и как выполнять и в какой последовательности.

11.  Практические работы как в классе, так и вне класса должны проводиться фронтально, потому что только при этом условии все учащиеся приобретают соответствующие навыки.

Предположим, что учащимся данного класса поручается выделить на лугу участок площадью в один ар. Целесообразно до выхода на местность составить из учащихся 5 групп и каждой группе предложить особые условия для выполнения задания: 100X1=100 (кв. м); 50X2=100 (кв.м); 25X4=100 (кв. м); 20X5=100 (кв. м); 10X10=100 (кв. м). По окончании работы можно сделать вывод: из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат; это свойство приходится учитывать, если участок огораживается.

12. Существует общее педагогическое правило: все, что учащиеся выполняют по заданию учителя, должно быть проверено. Это правило имеет учебную и воспитательную цели. Учебная цель состоит в том, чтобы немедленно после проверки помочь ученику, допустившему ошибку, усвоить правильные приемы решения задач. Другая же цель заключается в том, чтобы воспитывать в учащихся чувство ответственности за порученное им дело.

Систематическая проверка тетрадей учащихся дает учителю возможность учитывать не только знания, но и навыки, т. е. полнее и точнее оценивать успеваемость учащихся по геометрии.

II. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В восьмилетней школе применяются следующие методы решения геометрических задач: приложение арифметики к геометрии, метод симметрии и метод подобия.

1. ПРИЛОЖЕНИЕ АРИФМЕТИКИ К ГЕОМЕТРИИ

В начальный период обучения геометрии приложение арифметики к решению геометрических задач является основным методом. В действиях над числами и отрезками существует большое сходство. Действительно: сумма отрезков есть отрезок; разность отрезков есть отрезок; сумма отрезков не зависит от порядка слагаемых; сумма отрезков не изменится, если некоторые слагаемые заменить их суммой. В арифметике рассматриваются простые и составные задачи; так же и в геометрии: к решению сложных задач можно приступить лишь после того, как учащиеся научатся решать простые (элементарные) задачи. Сказанное в отношении отрезков справедливо также в отношении углов и дуг данной окружности.

Это сходство между числами и некоторыми фигурами следует по мере возможности шире раскрывать перед учащимися. При гыполнении упражнений по теме об основных понятиях геометрии необходимо припоминать с учащимися зависимость между компонентами и результатами действий, законы и свойства арифметических действий и распространять их на отрезки, углы и дуги данной окружности. Тем самым учащимся указывается путь, по которому следует идти в поисках решения той или иной задачи.

Начиная с первого дня занятий по геометрии учащиеся выполняют элементарные построения. Важнейшими из них являются следующие:

1) . Провести произвольную прямую.

2) . Провести прямую, проходящую через данную точку А.

Чем данная задача отличается от предыдущей? Сколько решений имеет задача?

3) . Провести прямую, проходящую через две данные точки: А и В. Сколько решений имеет задача?

4) . Провести луч, выходящий из данной точки А. Сколько решений имеет задача?

5) . Построить отрезок произвольной длины.