§ 46. Двугранный угол. Угол между плоскостями…59

Глава VIII. Перемещения

§ 47. Понятие о перемещении и подобии…65

§ 48. Свойства, сохраняющиеся при перемещениях…70

§ 49. Параллельный перенос…75

§ 50. Центральная симметрия…79

§ 51. Отражение в плоскости (зеркальная симметрия)…83

§ 52. Поворот вокруг прямой…89

§ 53. Зеркальный поворот…97

§ 54. Симметрия…100

§ 55. Общие теоремы о перемещениях…109

Глава IX. Длина, площадь, объем

§ 56. Определение площади и объема…112

§ 57. Объем прямого цилиндра 115

§ 58. Представление объема интегралом…121

§ 59. Объемы некоторых тел…122

§ 60. Длина кривой линии…133

§ 61. Площадь поверхности…136

Глава X. Исторический очерк

§ 62. От начала до Лобачевского…153

§ 63. Современная геометрия…160

Задачи по Есему курсу…178

Ответы к задачам…187

Предметный указатель…190

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вторая часть книги, соответствующая курсу X класса, состоит из четырех разделов: «Координаты и векторы», «Углы. Скалярное произведение», «Перемещения», «Длина, площадь, объем». Материал главы VI «Координаты и векторы» авторы рассматривают как повторение в двух планах. Во-первых, прямоугольные координаты и векторы уже изучались в курсе восьмилетней школы, и в стереометрии рассматриваются вопросы, во многом аналогичные тем, что изучались в планиметрии. Во-вторых, при изучении координатной системы в пространстве и линейных операциях с векторами повторяется весь материал о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, важнейшей темы IX класса.

Как уже говорилось в предисловии ко всей книге, тема «Векторы» излагается, включая скалярное произведение, геометрически, с исходным более наглядным представлением о векторе, чем о параллельном переносе, но в логическом согласии с ним. Векторы используются затем при определении углов между прямыми и плоскостями в главе VII.

Перемещения изучаются в главе VIII более подробно, чем в других школьных курсах геометрии. Эта глава состоит из двух частей: § 47 — 52 содержат программный материал, а § 53 — 55 — дополнительный. Но этот дополнительный материал придает теме «Перемещения» завершенность, так как дает возможность сформулировать основные классификационные теоремы о перемещениях в пространстве, которые показывают, что никаких других перемещений, кроме рассмотренных в § 49 — 53 переносов, симметрий и т. д., нет.

По аналогичной причине — дать завершенность рассматриваемому вопросу об измерении геометрических величин — включен в главу IX «Длина, площадь, объем» § 60 «Длина кривой». Остальные параграфы этой главы содержат лишь программный материал, изложенный с применением интегрального исчисления.

Завершается книга историческим очерком, составляющим главу X.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Антипризма 98 Вектор 24

— нулевой (нуль-вектор) 24 — , параллельный плоскости 26 — , — прямой 26

— перпендикулярный плоскости 26 — , — прямой 26

векторы параллельные (коллинеарные) 26

— перпендикулярные 26

— , противоположно направленные 26

— сонаправленные 26 величина векторная 24

— двугранного угла 59

— скалярная 24 винт левый 94

— правый 94 винтовая линия 135

— симметрия 104 винтовое перемещение 93

Грань двугранного угла 59 группа симметрии фигуры 103

Двугранный угол 59 длина кривой 134 Зеркальная симметрия 83 зеркальный поворот 97 Композиция отображений 66 координатная сеть 15 координаты 4

— полярные 13

— прямоугольные (декартовы) 4

— сферические 14

— цилиндрические 14

Линейный угол двугранного угла 60

Многогранник, описанный вокруг тела 137

Направление 22 направленный отрезок 19

Объем конуса 122

— пирамиды 122

— призмы 122

— простой фигуры 113

— прямого цилиндра 115

— тела вращения 124

— шара 123

описанный многогранник 137 осевая симметрия в пространстве 93 оси координат 5

ось зеркальной симметрии фигуры порядка п 104

— поворота 90

— симметрии фигуры порядка п 104

— фигуры 92

отображение 65

— взаимно однозначное 65

— обратимое 66

— тождественное 66 отображения взаимно обратные 66 отражение в плоскости 83

Параллельный перенос 75 перемещение второго рода 110

— первого рода 110

— фигуры 66 плоскость симметрии 84

площадь боковой поверхности конуса вращения 140

------------ усеченного 140

--------- цилиндра 140

— поверхности 137

— простой фигуры 112

— сферы 138 подобие 69

поворот фигуры вокруг прямой 90 преобразование симметрии 103 простая фигура 112

Равные фигуры 67 разность векторов 30 ребро двугранного угла 59

Симметрия винтовая 104

— зеркальная 83

— переносная 104

— фигуры 101

— центральная 79 система координат 4 скаляр 24

скалярное произведение векторов 49 скалярный квадрат вектора 50 скользящее отражение 86 сонаправленные направленные отрезки 20

составляющие вектора 33 стерадиан 139 сумма векторов 28

Угол между векторами 44

лучами 46

плоскостями 60

полуплоскостями 60

прямой и плоскостью 56

— — прямыми 46

— поворота 90

умножение вектора на число 40 уравнение плоскости И

— сферы 8

— фигуры 10

Фигура вращения 124 Элементы симметрии 103