Skip to main content

Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач (Данилова) 1958 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач (Данилова) 1958

 

Назначение: Книга для учителя.

Из опыта преподавания

© УЧПЕДГИЗ РСФСР МОСКВА 1958

Авторство: Евгения Феодосьевна Данилова

Формат: PDF Размер файла: 6.82 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . 3

Глава I. Применение индуктивного метода при введении новых теорем и отыскании решений задач 4

  • 1. Неполная индукция. —
  • 2. Вспомогательные построения. 18

Глава II. Поиски дедуктивного обоснования 21

  • 1. Необходимость дедуктивного обоснования индуктивных выводов
  • 2. Метод математической индукции 22
  • 3. Сущность аналитико-синтетического метода . 24
  • 4. Синтетический метод 25
  • 5. Восходящий анализ . 30
  • 6. Несовершенный анализ 36
  • 7. Метод доказательства от противного 41
  • 8. Алгебраический метод 47
  • 9. Метод попеременного движения с обоих концов , 54
  • 10. Общие выводы. 57
📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

Глава III. Частные методы отыскания решения задач. —

  • 1. Метод симметрии относительно оси. —
  • 2. Метод параллельного перенесения . 60
  • 3. Метод вращения около точки . 63
  • 4 Метод подобия (метод гомотетии) . 67
  • 5. Метод геометрических мест 70

Глава IV. Правила, советы, указания, следование которым помогает учащимся отыскивать решения задач 72

Глава V. Отыскание решений задач в различных классах 78

  • 1. Решение первых задач по геометрии в VI классе . —
  • 2. Решение задач в VII классе . 84
  • 3. Решение задач в VIII классе. 92
  • 4. Отыскание доказательств теорем 94

Приложение 95

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач (Данилова) 1958 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ВВЕДЕНИЕ

Воспитание у учащихся навыков самостоятельного отыскания решения задач различного рода, в том числе и задач на доказательство, т. е. теорем, в большой степени зависит от учителя, от его желания и умений творчески подойти к разрешению этого вопроса. Успех дела в значительной степени зависит от знания общих методов отыскания истины и в особенности от знания аналитических методов. Несомненную пользу приносит знание частных методов решения задач. Кроме того, полезно, если учитель анализирует, как он сам находит решения задач, систематизирует частные приемы, которыми он пользуется при этом. Очень ценно, если учитель собирает и обобщает те правила, советы и указания, которые он обычно дает учащимся, наблюдая за их работой и желая предостеречь от возможных ошибок. Весьма существенно, если в дальнейшем учитель воспитывает у учащихся навыки самостоятельно пользоваться этими советами. Очень ценно, если изучение теорем геометрии сопровождается предварительным наблюдением свойств фигуры на модели. Этим достигается сознательное усвоение теории. В дальнейшем изложении рассмотрено индуктивное введение теорем, приведены в систему общие методы отыскания решения задач и обоснования выводов, указаны частные геометрические методы, служащие для облегчения отыскания решения задач различного рода, приведены в систему и обобщены правила, указания, советы и предостережения, следование которым. значительно помогает учащимся при самостоятельных поисках решения.

Глава I

ПРИМЕНЕНИЕ ИНДУКТИВНОГО МЕТОДА ПРИ ВВЕДЕНИИ НОВЫХ ТЕОРЕМ И ОТЫСКАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

  • 1. Неполная индукция

Ф. Энгельс и В. И. Ленин указывали, что первоначальным моментом в общем процессе познания является опыт, наблюдение, рассмотрение частных случаев. В. И. Ленин говорил: «Чтобы понять, нужно эмпирически начать понимание, изучение, от эмпирии подниматься к общему»*. Эти мысли В. И. Ленина о роли индукции должны учитываться при обучении учащихся самостоятельному решению задач и доказательству теорем. Индукция должна предшествовать дедуктивному обоснованию решения. Индуктивным методом следует пользоваться для восприятия сущности задачи и теоремы, для наведения учащихся на догадку о какой-либо зависимости, для отыскания пути решения задачи или доказательства теоремы. Это значит, что учащиеся при помощи опыта, наблюдения частных случаев должны быть наведены на догадку о существовании той или иной зависимости между элементами фигуры и переоткрыть теорему. Поэтому первым этапом при введении новой теоремы должен являться эксперимент, проведенный непосредственно на

* В. И. Ленин, Философские тетради, стр, 178, Госполитиздат, 1947.

уроке или дома, применение подвижных моделей, решение задач с числовыми данными, помогающими уловить связь между элементами фигуры, рассмотрение ряда частных случаев какого-либо расположения элементов фигуры, непосредственные измерения, сравнение фигур путем накладывания, перегибания их, выполнение чертежей, соответствующих условию задачи, и т. д. В результате наблюдения частных случаев учащиеся смогут формулировать замеченную закономерность, т. е. теорему, как некоторую догадку, общность и справедливость которой должны быть в дальнейшем доказаны. В частности, при помощи индуктивного метода учащиеся могут быть подведены ко всем теоремам, изучаемым в курсе геометрии средней школы.

Доказательство теоремы также не должно даваться учащимся в готовом виде. Отыскание его должно носить такой же характер, как и открытие теоремы. На глазах учащихся и при их непосредственном участии должен пройти весь путь творческого отыскания доказательства. Он должен волновать учащихся всеми переживаниями отыскания истины, а найденное доказательство должно доставить им полное удовлетворение. Чтобы помочь учащимся найти доказательство теоремы, в некоторых случаях опять необходим соответствующий эксперимент, решение целесообразно подобранных задач.

Приведу примеры открытия новых теорем и отыскания доказательства их при помощи индукции как эвристического метода.

а) Применение подвижных моделей. Перед введением теоремы о свойстве биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника можно воспользоваться моделью (черт. 1). Она представляет собой лист фанеры или картона с прорезом Л С. В прорез вставляется из того же материала треугольник АВС. Свободно вращая его, можно получать треугольники различной формы с постоянными основанием АС и углом при вершине В. Из вершины В проведена биссектриса ВК‘, резиновый шнурок, соединяющий вершину В с серединой D основания, является медианой. Отвес BE показывает расположение высоты. Ученикам предлагается наблюдать взаимное расположение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из одной и той же вершины, для треугольников различной формы.

принадлежит, во-первых, сегменту, построенному на отрезке АВ, вмещающему угол а, во-вторых, сегменту, построенному на отрезке ВС, вмещающему угол р. Поэтому искомая точка М лежит на пересечении дуг этих сегментов. Построение и исследование не представляет трудностей.

Из рассмотренных примеров видно, что сущность метода геометрических мест заключается в том, что решение задачи на построение сводят к отысканию одной точки, удовлетворяющей некоторым требованиям задачи. Исходя из этих требований, выводят два условия таким образом, чтобы каждое из них определяло г. м. т., которое умеем строить. Решением задачи или искомой точкой будет одна из общих точек этих геометрических мест.

Методом геометрических мест часто пользуются при решении задач на построение. Это объясняется тем, что применением его значительно облегчается составление плана построения. В простейшем случае план сводится к указанию двух геометрических мест, которым принадлежит искомая точка. Кроме того, применением метода геометрических мест облегчается исследование. Оно сводится к выяснению условий, при которых первое г. м. т. пересекается со вторым.

Метод геометрических мест целесообразно применять в тех случаях, когда условие задачи содержит два независимых требования, каждое из которых в отдельности определяет какое-нибудь г. м. т.

Признавая ряд несомненных достоинств метода геометрических мест (облегчается составление плана построения и исследование), все же нельзя ограничиваться применением одного этого метода для решения всех задач, так как это часто усложняет решение.

Глава IV

ПРАВИЛА, СОВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, СЛЕДОВАНИЕ КОТОРЫМ ПОМОГАЕТ УЧАЩИМСЯ ОТЫСКИВАТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Из решения приведенных задач и доказательств теорем, видно, что для дедуктивного обоснования формулированных теорем имеет большое значение знание сущности

методов, но при самостоятельном отыскании решения задач учащиеся нуждаются в более конкретной помощи. Она должна выражаться в сообщении учащимся различных приемов отыскания решения задач, частных правил, технических советов, предостережений и других указаний, которые направят мысль учащихся по верному пути. Важнейшие из этих правил и советов приведены в Приложении (стр. 95).

Правила, часть которых здесь изложена, представляют собой перечисление главных установок, которые должны быть усвоены учениками. Они полезны и учителю. Сконцентрированные и систематизированные определенным образом, они являются методическим пособием, своеобразной памяткой для учителя. Отдельными правилами и меткими советами учитель должен пользоваться, чтобы постоянно давать учащимся стереотипные указания, предупреждения, вырабатывая, таким образом, твердые навыки отыскания решения задач. Правила разработаны в соответствии с требованиями советской дидактики и методики обучения; они установлены с учетом психологии восприятия геометрических знаний учащимися и ошибок, допускаемых учащимися, которые мешают им самостоятельно найти решение задачи.

Отмечу основные причины, которые препятствуют отысканию решения элементарных задач.

1. Учащиеся слишком поспешно приступают к доказательству, построениям и расчетам, не осознав содержания задачи, не выделив точно данные и искомые, не осмыслив математической сущности вопроса задачи, как исходного и направляющего пункта при отыскании решения задачи, не уяснив себе, чем они располагают, чтобы осуществить логический переход от данных к искомым.

2. Часто учащиеся приступают к выполнению чертежа и решению, не проверив себя, знают ли они точный смысл тех слов и понятий, о которых говорится в задаче: медиана, высота, квадрат, ортоцентр и т. д.

3. Дают неполную запись данных и искомых.

4. Делают чертеж, соответствующий частному случаю, например параллелограмм, вместо произвольного четырехугольника.

5. Приступают к доказательству, построениям и расчетам, не продумав до конца план решения.

6. Не расчленяют сложную задачу на составляющие ее элементарные задачи.

7. Не полностью используют условие задачи и определение понятий, которые встречаются в задаче. Например, если по условию ABCD — параллелограмм, то забывают, что противоположные стороны его параллельны.

8. Приступают к решению, не выяснив, введены ли все данные элементы в чертеж, особенно, если они представляют суммы, разности, произведения.

9. Делают необоснованные выводы, опираясь на впечатление, полученное от чертежа.

10. Не находят мотивов для построения вспомогательных линий.

11. Приступают к расчетам, не выяснив, имеет ли задача решение при частных значениях параметров.

12. Дают неполное решение задачи.

13. Не указывают множества допустимых значений искомой величины и параметров.

14. Допускают ошибки в расчетах и преобразованиях.

15. Получив ответ, не интересуются, правдоподобен ли он.

16. Не проверяют решения при помощи другого способа.

17. Допускают небрежное оформление работы и другие ошибки и недочеты.

Предлагаемые правила разбиты на шесть групп в соответствии с шестью этапами решения задачи: I. Усвоение условия задачи. II. Составление плана. III. Выполнение плана. IV. Обоснование решения. V. Исследование решения. VI. Проверка.

Выполнение правил I группы обеспечивает ясное понимание сущности задачи. Одно из правил требует замены понятий их определениями или теоремой, выделяющей характеристический признак. Оно использовалось в каждой из решенных задач, и это давало возможность записать в более удобной форме условие и заключение. В задачах на доказательство рекомендуется сокращенную формулировку задачи заменить полной (см. задачу 56, стр. 85). Надо четко выделить данные и искомые задачи, записав их в математической форме. Сделать чертеж, удовлетворяющий условию задачи.

Правила II группы напоминают, какими приемами следует воспользоваться, чтобы составить план перехода

от данных к искомым: расчленить задачу на части, если она содержит несколько вопросов (см. задачи 56 и 57), выяснить, не является ли задача непосредственно решаемой, выяснить, введены ли все данные и искомые элементы в чертеж. Это использовалось в доказательстве теоремы (стр. 94). Искать идею решения путем эксперимента и рассмотрения чертежа. Искать идею решения путем проведения вспомогательных линий, связанных с определениями понятий, упоминаемых в задаче. Нельзя ли преобразовать данные, искомые. Это использовалось в каждой задаче при выделении данных и искомых. Ряд правил напоминает о применении общих и специальных геометрических методов к отысканию решения задачи.

Следование правилам III группы помогает учащимся правильно выполнять намеченный план. Правила рекомендуют употреблять точные формулировки определений и математических предложений, используемых при решении; выяснить, нельзя ли упростить решение путем применения тригонометрии, нельзя ли улучшить намеченный план; правильно ли понято условие.

Выполнение правил IV группы помогает учащимся дать обоснованное решение. Правила напоминают о полном использовании определений каждого понятия и данных задачи. Они требуют, чтобы каждое утверждение, высказанное при доказательстве, было обосновано ссылкой на аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы. При этом указывается, что для обоснования какого-либо утверждения, надо из перечня теорем и формул, доказывающих это утверждение, выбрать наиболее подходящую. В задаче 56 для доказательства параллельности прямых (биссектрис) была использована теорема, выражающая один из признаков параллельности прямых, пересеченных третьей. Для обоснования равенства углов 1 и 9 было использовано предложение, что две величины (угол 1 и угол 9), равные одной и той же третьей (углу 5), равны между собой.

Если чертеж не вполне соответствует выбранной в ходе решения задачи теореме, то всегда следует выяснить, нельзя ли чертеж или формулу переделать, чтобы наступило полное соответствие. Так было сделано в задаче 19 (стр. 32), когда желание применить теорему о подобии прямоугольных треугольников вызвало необходимость провести вспомогательные линии.

Правила V группы помогают учащимся дать исчерпывающее решение. Они требуют установить м. д. з.* параметров и искомых величин, выяснить, принадлежат ли найденные значения искомой величины м. д. з. ее при всех допустимых значениях параметров; установить возможное взаимное расположение элементов фигуры, существенно влияющих на решение, выяснить число решений. Если бы в задаче 57 (стр. 88) отсутствовали указания об остроугольном треугольнике, то следовало бы рассмотреть решение для прямоугольного и тупоугольного треугольника.

Правила VI группы требуют тщательной проверки решения: обосновано ли каждое утверждение; нет ли технических ошибок (описок, неверно сформулированных теорем, ошибок в чертеже); правдоподобен ли результат, какого измерения результат, выписан ли ответ, указано ли м. д. з. параметров; нельзя ли сделать проверку путем непосредственных измерений, решением другим способом; как оформлено решение (чертеж, записи, расположение их).

Безусловно, следовало бы привести больше примеров, иллюстрирующих целесообразность каждого правила, но необходимость уменьшить объем статьи заставляет меня ограничиться рассмотрением применения части их к решению приведенных задач.

Предложенные правила, советы, указания и т. д. не должны пугать учителей и учащихся своим количеством.

Во-первых, они не предназначены для механического заучивания.

Во-вторых, вводятся они постепенно, по мере возникновения надобности в них. Очень важно, сообщая правило, дать почувствовать учащимся, что следование ему облегчает поиски решения задач: помогает понять задачу, выполнить вспомогательное построение, найти путь решения.

В-третьих, часть правил должна быть подмечена самими учащимися, конечно, с помощью учителя, и ими же четко сформулирована. Правила, возникшие из собственного опыта, имеют особенно большое значе-

* Здесь и в дальнейшем м. д. з. означает множество допустимых значений,

нйе: они понятнее, приобретают в глазах учащихся боль* шую практическую ценность, лучше запоминаются и сознательно применяются при решении задач.

Учитель может легко подвести учащихся VI класса к самостоятельному установлению правил о полном использовании данных задачи, о замене понятий их определениями и их полном использовании, об употреблении точных формулировок математических предложений и определений. Для этого не надо специально подбирать задачи. Проверяя самостоятельную работу учащихся, учитель может обнаружить, что причиной того, что решение задачи некоторыми учащимися не найдено, является невыполнение ими одного из перечисленных правил. Показав неправильность таких формулировок, как «медианой называется прямая, делящая сторону пополам», «против равных углов лежат равные стороны» и другие, легко с привлечением учащихся установить правило об употреблении точных формулировок.

Введение некоторых правил требует решения специально подобранных задач. Например, правила о проведении вспомогательных линий, связанных с определениями понятий, о введении в чертеж всех данных элементов.

Многие учителя и учащиеся интуитивно устанавливают подобные правила, но их не приводят в порядок и часто даже не формулируют с достаточной четкостью. Систематизированные и обобщенные, четко формулированные правила, постоянно повторяемые учителем, имеют большее значение, чем случайные указания учителя, имеющие частный характер.

Изложенные правила должны рассматриваться учителями как методические указания, выполнение которых обязательно при отыскании решения задач. Постоянное применение правил поможет учащимся лучше осознать их и оценить как особые приемы, помогающие самостоятельному отысканию решения задач; с другой стороны, постоянное применение их вырабатывает у учащихся твердые навыки и правильные приемы обдумывания при отыскании решения задач.

Индуктивный метод введения теорем, устное и письменное отыскание доказательств математических предложений и решений геометрических задач аналитическими методами, следование правилам и указаниям не исчерпывают всех методических приемов, которые могут

быть использованы учителем при обучении учащихся самостоятельному отысканию решений задач. Здесь лишь частично затронут такой прием, как устное и письменное решение задач на готовых чертежах, заготовка соответствующих ассоциаций перед решением сложной задачи, использование методов геометрических преобразований для отыскания и упрощения решений задач.

Из сказанного выше ни в коем случае нельзя сделать вывода, что строгое выполнение всех указаний и следование правилам может творческий процесс отыскания решения задач уложить в определенные схемы, которые постоянно будут приводить к желаемому результату. Для отыскания решения любой задачи нельзя указать столбовой дороги. К ее решению ведет более или менее извилистый путь. Вся совокупность изложенных приемов имеет целью облегчить поиски того пути, который приведет к решению, уменьшив число бесплодных блужданий, неизбежных для каждого новичка.

Глава V

ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ

  • 1. Решение первых задач по геометрии в VI классе

В VI классе следует решать задачи разного рода, но преобладать должны задачи на доказательство. Это необходимо делать из следующих соображений. Во-первых, доказательство является обязательным этапом решения любой задачи. Во-вторых, если учащийся научится отыскивать решения задач на доказательство, то он научится самостоятельно находить доказательства теорем, так как задачи на доказательство можно рассматривать как теоремы, не включенные в данный учебник геометрии. Целесообразно решение первых задач проводить устно на готовых чертежах. Это обеспечивает постепенность в преодолении трудностей, так, например, не требуется выполнять чертеж, выделять условие и заключение, вести записи, а это. дает возможность решить на уроке до трех задач.

Устное решение задач на готовых чертежах имеет целью, во-первых, разъяснить сущность доказательства: доказать — значит перейти от условия к заключению, опираясь на аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы; во-вторых, показать применение теорем к решению задач; в-третьих, обеспечить сознательное и прочное усвоение теории и метода, при помощи которого отыскивается решение задачи; в-четвертых, научить учащихся делать обоснованные выводы, правильно строить умозаключения; в-пятых, развить геометрическое зрение, т. е. умение выделить на чертеже нужную геометрическую фигуру.

После введения понятия отрезок прямой в качестве закрепления и проверки усвоения нового материала целесообразно предложить учащимся задачи для устного решения.

Задача 43. Сколько отрезков на чертеже (черт. 46)?

Несмотря на примитив- (j{ ность задачи, никто из уча- АВ С

щихся, даже второгодники, церт 4б

обычно не дают правильного ответа. Все считают, что на чертеже два отрезка и только после выяснения, что называется отрезком прямой, даются верные ответы.

Задача 44. Сколько отрезков на чертеже (черт. 47)?

К решению этой задачи приступают уверенно, но тре--------- j ± 1------- 4

буется дать учащимся ука- * В Со

зание о порядке подсчета от- Черт. 47.

резкой.

Большие трудности вызывает такая задача.

Задача 45. Выразить отрэзок АС, а затем ВС через другие отрезки на чертежах 46 и 47.

К задачам подобного рода следует возвращаться на последующих уроках, когда вводятся понятия: дуга, сектор, сегмент, угол, центральный угол, треугольник.

Задача 46. Указать смежные углы, затем вертикальные углы на чертежах 48 и 49.

Приступая к решению задачи, необходимо прежде всего убедиться, что учащиеся поняли задачу. Для этого надо потребовать от учащихся разъяснения понятий, встречающихся в задаче. Это знаменитое правило Паскаля: «Нужно подставлять определения вместо терминов»

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

★Все➙ Для Учителей, ★ВСЕ➙Задачи - Решения - Упражнения, ★ВСЕ - Педагогический опыт - из опыта работы, Автор - Данилова Е.Ф. , Серия - ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ, Геометрия - Для Учителей, Геометрия - Задачи - Решения - Упражнения, Геометрия - Педагогический опыт - из опыта работы

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО ГЕОМЕТРИИ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика