ОТ АВТОРА

В XIX в. в элементарной геометрии на плоскости было проведено много интересных исследований. Они привели к установлению ряда соотношений в треугольнике; к известным классическим «замечательным точкам», прямым и окружностям было присоединено много новых точек, прямых и окружностей. Изложение результатов этих исследований составляет большой отдел планиметрии, известный под названием «Новой геометрии треугольника». На иностранных языках существует ряд сочинений, в которых систематически излагаются результаты исследований в области геометрии треугольника. На русском языке в 1903 году было выпущено обстоятельное сочинение Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника», ныне представляющее библиографическую редкость.

Объем материала соответствует программе факультативного курса по «Новой геометрии треугольника», который я читал в Московском городском педагогическом институте. Я считал возможным включить в книгу также некоторые результаты, полученные мною и напечатанные в различных журналах (§ 17, 20, 22, 29, 46, 109, 115).

Считаю необходимым выразить благодарность проф. |Д. И. Перепелкину,! прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, которыми я воспользовался при окончательной обработке книги, и |Р. Н. Бончковскому,| много потрудившемуся над редактированием книги.

При составлении книги мною использована следующая литература: Д. Ефремов, Новая геометрия треугольника, издание «Вестника опытной физики и элементарной математики», Одесса. 1903.

Exercices de Geometrie par F. G., Paris, 1882 и 1912.

Ж- А д а м a p, Элементарная геометрия, ч. I, Планиметрия (перевод под редакцией проф. Д. И. Перепелкина, Учпедгиз, 1936).

R. В а 1 t г е г, Die Elemente der Mathematik.

Rouche et Comberousse, Traite de Geometrie elementaire, Paris.

Ф. Кеджори, История элементарной математики, изд. Ма- тезис, 1910.

Н. А. Глаголев, Проективная геометрия, ОНТИ, 1936.

Н. Ф. Четверухин, Введение в высшую геометрию, Учпедгиз, 1934.

Л. Я Гиршвальд, Проективная геометрия, Харьков, ОНТИ Украины, 1935.

Б К Млодзеевский, Основы аналитической геометрии на плоскости.

Ц ю л ь к е, Построение на ограниченном куске плоскости, ОНТИ, 1936.

Б. Делоне и О. Житомирский, Геометрия и тригонометрия. Задачи с решениями. Научное книгоиздательство, 1929.

М Попруженко, Сборник геометрических задач, Планиметрия, Учпедгиз, 1936.

Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры, ОНТИ, 1936.

Ряд статей из журналов:

«Вестник опытной физики и элементарной математики!, «Математическое образование», «Математическое просвещение». Математика в школе», Nouvelles annales mathematiques», «Journal des mathematlques elementaires et speciales», «Nouvelle correspondence mathematique», «L’Enseignement scientifique».

Октябрь 1939 г. С. Зетель

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Первое издание книги вышло в 1940 году За последние двадцать лет по «Геометрии треугольника» появилось много интересных работ советских и зарубежных математиков К сожалению, эти работы не нашли отражения в книге, так как объем ее остался прежним.

Кроме редакционных исправлений, во втором издании имеются следующие изменения-

1. Даны новые доказательства теорем Чевы, Ван-Обеля и Фейербаха.

2. Добавлен § 42 «Обобщенные прямые Эйлера». Эти прямые получены автором.

3. В 116 и 117 даны построения «прямой л» при п «дробных», для которых возможны построения циркулем и линейкой Эти построения, насколько нам известно, появляются в печати впервые.

ВВЕДЕНИЕ

Знаки отрезков. Отношение трех точек. Понятие о несобственной точке

1. Отрезки, лежащие на одной прямой, мы будем сравнивать не только по величине, но и по направлению. Для возможности такого сравнения выберем на прямой определенное направление, которое будем считать положительным. Противоположное направление назовем отрицательным. На чертеже 1 положительное направление прямой DB отмечено стрелкой.

При этом условии каждому отрезку будет соответствовать число, измеряющее длину этого отрезка и имеющее знак плюс при положительном — направлении отрезка и знак ми- ОСА С нус при отрицательном направлении. Например, отрезку АВ бу- Черт. 1.

дет соответствовать (черт. 1) положительное число, а. отрезку CD — отрицательное.

Называя отрезок двумя буквами, мы первой буквой обозначаем начальную точку, а второй — конечную точку отрезка. При введенном нами условии отрезки АВ и ВА, равные по величине, противоположны по знаку:

АВ=—ВА, или ЛВ-|-ВД=0.

2. Теорема. При любом расположении трех точек А, В, С на направленной прямой существует следующее соотношение:

АВ+ВС+СА=0

Пусть ни одна из пар точек Д, В и С не совпадает, т. е. ни один из отрезков не равен нулю.

Шесть возможных расположений трех точек на прямой указаны на чертеже 2.