IV. Треугольник.

Стороны и периметр треугольника. — Три случая равенства треугольников. — Равенство прямоугольных треугольников. — Перпендикуляр из середины отрезка, как геометрическое место. — Биссектриса угла, как геометрическое место.

Задачи 100 — 125 27

Темы практических работ 32

V. Углы при параллельных прямых.

Задачи № 126 — 138 33

Темы практических работ 34

VI. Углы треугольника.

Сумма углов треугольника — Прямоугольный треугольник с углом в 45°. — Прямоугольный треугольник с углом в 30°.

Задачи № 139-170 36

Темы практических работ .. 39

VII. Углы и диагонали многоугольника.

Задачи № 171 — 187 40

Темы практических работ. 41

VIII. Параллелограмм.

Свойства углов, сторон и диагоналей параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. — Свойства прямой, проведенной через середину стороны треугольника параллельно другой стороне. — Пересечение непараллельных прямых рядом равноотстоящих параллельных.

Задачи № 188 — 235 42

Темы практических работ 50

IX. Прямые и углы в круге.

Разыскание центра. — Хорды. — Касательные. — Вписанные углы. —

Углы между хордами, между секущими, между касательными, между хордой и касательной. — Вписанные и описанные фигуры. — Взаимное расположение окружностей. — Сопряжение прямых н дуг дугами.

Задачи 236 — 302 51

Темы практических работ 59

X. Длина окружности и дуги.

Длина окружности и дуги (задачи 303 — 362) 6

Бесконечный ремень. Зубчатые колеса 67

Задачи 363 — 378 69

Токарный станок 73

Задачи № 379 — 385 75

Угловая величина (угол зрения) 76

Задачи ЛЕМ 386 — 418 79

Темы практических работ 84

XI. Площадь прямоугольника.

Задачи № 419 — 14 6 8

Практические работы (447 — 449) 89

Темы практических работ —

XII. Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции.

Задачи 450 — 467 91

Темы практических работ 96

XIII. Извлечение квадратного корня.

Способы извлечения 96

Задачи 468 — 481 99

XIV. Теорема Пифагора. Стороны правильных вписанных многоугольников.

Задачи № 482 — 552 101

Темы практических работ 110

XV. Площадь круга.

Задачи 553-606 111

Практические работы (607 — 611) 117

Темы практических работ 118

XVI. Подобие плоских фигур.

Подобие треугольников. — Отношение площадей подобных фигур. — Свойства перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр.

Задачи № 612 — 667 119

Темы практических работ 131

XVII. Вычисление поверхности и объема тел.

Извлечение кубичного корня 132

Прямой параллелепипед, прямая призма, пирамида (№ 668 — 707). —

Цилиндр (№ 708 — 756) 138

Конус № 757 — 764) 144

Шар (№ 765 — 802) 146

Отношение площадей и объемов подобных тел (№ 803 — 828) 150

Ответы 154

Таблица квадратных и кубичных корней из чисел от 1 до 1000 107

Предметный указатель 169

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Геометрические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в науке геометрическая сторона задачи большею частью заслоняется, затушевывается посторонними элементами, из которых ее необходимо выделить, прежде чем приступить к решению. Нередко уже одно такое обнажение геометрической основы реального задания почти равносильно его разрешению, потому что приводит запутанный вопрос к ясной математической схеме. Но умение отыскивать в конкретной задаче ее геометрическую основу, переводить реальный вопрос на язык геометрии, требует особого навыка; и, конечно, он не может быть приобретен упражнением исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемых задачниками. Отсюда та геометрическая беспомощность, которая наблюдается у большинства изучавших геометрию, когда они сталкиваются с геометрическими задачами в жизненной практике: они не знают, как применить в конкретном случае свои вполне достаточные геометрические познания, а зачастую даже и не подозревают, что подлежащий разрешению вопрос есть задача геометрическая. Между тем, едва ли можно оспаривать, что умение прилагать свои математические познания на практике, за пределами тетради и классной доски, есть один из существенных элементов математического развития и должно воспитываться школой. Каков бы ни был выбор теоретического материала для школьного курса геометрии, как бы ни распределялся он по концентрам, каким бы методом нн доводился до сознания учащихся, — необходимо чтобы они умели прилагать приобретенные теоретические познания

к разрешению реальных задач. Это может быть достигнуто лишь систематическим упражнением в решении задач с реальным содержанием, приближающихся по своей форме к тем, какие возникают в действительной жизни. Отсюда — необходимость пополнить существующие сборники геометрических задач подбором упражнений особого рода, преследующих указанную цель.

Такого рода реальные задачи и преобладают в настоящем сборнике. В этом задачнике, преимущественно во вторых двух третях его, составитель стремился собрать возможно больше примеров разнообразного применения геометрии в технике, естествознании, мироведении и обиходной жизни, преследуя попутно цель наглядно убедить в широкой и плодотворной приложимости даже весьма скромных геометрических познаний. О том, откуда почерпался материал для задач, можно судить по имеющемуся в книге предметному указателю. Многие задачи по внешнему выражению совсем не походят на привычный тип геометрических упражнений. Такие, например, задачи, как 324-я: «Почему передняя ось телеги больше стирается, нежели задняя?» илн 828-я: Два полных самовара, большой и малый, одинаковой формы, нагреты одинаково. Какой остынет скорее?», — могут с первого взгляда показаться попавшими в геометрический задачник по недоразумению. Однако, это по существу задачи геометрические, только не переведенные на условный язык математических схем, а взятые непосредственно в той форме, в какой они возникают в реальной жизни.

Элементарные технические задачи сборника никаких специальных познаний от учащегося не требуют. Числовой материал их сообразован с соответствующими «Урочными положениями». От намеренного подбора чисел, облегчающего выкладки, составитель во многих случаях воздерживался, так как искусственный подбор противоречит основной цели сборника — подготовит.» к решению задач в реальных условиях.

В связи с такой тенденцией сборника, некоторые отделы в нем разработаны подробнее общепринятого масштаба. Это прежде всего относится к главе X — «Длина окружности»: здесь, помимо задач обычного типа, имеются особые параграфы и соответствующие упражнения, относящиеся к расчету ременной и зубчатой передачи и к работе токарного станка, как примеры технического применения геометрических знаний, — а также задачи на вычисление угла зрения или угловой величины предметов, в виду исключительно важного общеобразовательного значения этих понятий. Больше обычного уделено внимания отношению поверхностей и объемов подобных тел, — роду задач, весьма часто возникающих на практике н разрешаемых в обиходной жнзни неправильно. — Составитель, однако, вовсе не предлагает пользующимся книгой проделывать нодряд все ее упражнения. Едва ли найдется такой состав учащихся, которому были бы знакомы все отделы техники и общего знания, затрагиваемые в задачах сборника. Разнообразный подбор предлагается именно для того, чтобы преподаватель мог черпать из него упражнения, относящиеся к знакомым учащимся предметам, пропуская остальные *).

Имея в виду, что прохождение геометрии нередко опережает изучение алгебры, составитель стремился сделать настоящий задачник,, пригодным, между прочим, и для таких учащихся, которые либо вовсе не изучали еще алгебры, либо знакомы лишь с ее начальными основаниями. Однако, сборник на-ряду с этим пригоден, конечно, и для более сведущих учащихся.

Так как настоящий сборник имеет, между прочим, в виду учащихся, незнакомых с алгеброй, то для извлечения квадратного корня в пем указан «способ деления» (иначе называемый забвению. Кроме того, приложены таблицы квадратных (и кубических) корней для чисел от 1 до 1000 и объяснен способ пользования ими.

*) Подробнее о задачах с реальным содержанием при преподавании геометрии — см. книгу «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений». Госуд. Издательство.

«способом двух средних») — старинный Геронов прием, достаточно быстро ведущий к цели и незаслуженно преданный

Для ускорения выкладок рекомендуется при решении многих задач пользоваться приемами приближенных вычислений с числами, близкими к единице, по следующим формулам (в которых а — небольшая дробь):

Формулы эти обосновываются в «Задачнике» геометрически и, для прочного усвоения, иллюстрируются числовыми упражнениями.

Кроме задач в собственном смысле слова, в сборник включены упражнения,имеющие характер практических работ (черчение графиков и т. п.). Такие упражнения выделены особо в конце отделов. Их дополняют «Темы практических работ — параграфы, содержащие краткий перечень тем, разработка которых предоставляется преподавателю в зависимости от условий и обстановки занятий. — Ради оживления интереса к занятиям, среди прочих упражнений рассеяно несколько десятков задач исторических — из истории математики, — литературных *), а также задач, любопытных по сюжету или неожиданных по результату.