В советской стране успешно осуществляется указание партии о переходе на всеобщее среднее образование сначала в городах и крупных промышленных центрах, а затем и повсеместно. С каждым годом растет число учащихся, получающих аттестат зрелости, и в нашей области. Результаты выпускных экзаменов показывают, что знания воспитанников средней школы по математике заметно повышаются, приобретают менее формальный характер, становятся глубже и прочнее. Выпускники свободнее владеют приобретенными знаниями при решении практических задач.

Повышается качество экзаменационных работ на аттестат зрелости, в частности, работ по геометрии. В 1954 году из числа представленных в облоно, награждено медалями 307 выпускников' (75%), а в 1955 году-332 (80%).

Однако качество письменных работ на аттестат зрелости повышается медленно, в них встречается еще очень много недостатков.

Недопустимо велико количество работ, которым областная комиссия вынуждена снижать оценки.

Частично увеличение числа работ, по которым снижены оценки, объясняется возросшими требованиями. Но одновременно этот факт показывает, что преподавание геометрии в школе еще не соответствует новым, более высоким требованиям.

Анализ большою числа экзаменационных работ свидетельствует о явной неосведомленности части учителей и учащихся в требованиях, предъявляемых в настоящее время к письменным работам по геометрии на аттестат зрелости.

Новые программы по математике предусматривают

дальнейшее повышение идейно-теоретического уровня преподавания школьных математических предметов в свете выполнения решений XIX съезда КПСС о политехническом обучении.

В связи с этим в школе должно быть уделено особое внимание преподаванию геометрии, сущность которой заключается в изучении пространственных форм окружающей нас действительности, а политехническое значение— в многообразных приложениях ее во многих отраслях знаний и практической деятельности людей.

Решение стереометрических задач на вычисление расстояний, поверхностей, объемов, углов и т. п. с объяснением и обоснованием и выполнение при этом чертежей пространственных фигур есть не что иное, как непосредственное применение теории в практических целях. Отсюда ясно, что такая работа учащихся служит важнейшим фактором политехнического' образования.

Автор настоящей книги имел в виду отметить недочеты, наиболее часто встречающиеся в экзаменационных работах выпускников средней школы, изложить основные требования к ним, с тем, чтобы оказать посильную помощь преподавателям и учащимся в повышении качества экзаменационных работ по геометрии.

I. ТИПИЧНЫЕ НЕДОЧЕТЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В РАБОТАХ ВЫПУСКНИКОВ X КЛАССОВ

ПО ГЕОМЕТРИИ

Недочеты в математических работах следует классифицировать в зависимости от целей классификации. В данном случае, с большей пользой для учителей и особенно учащихся, наиболее целесообразным представляется разобрать недочеты по пунктам того плана, которому большинство учащихся следует при решении задач.

1. Недочеты чертежей пространственной фигуры

а) Самым „тяжелым" и самым распространенным недочетом чертежей, говорящим о низком уровне знаний выпускниками средней школы проекционного черчения, является несоблюдение инвариантов черчения: параллельности прямых и отношения отрезков на прямой.

Например, в треугольнике АВС по описанию проведена средняя линия DE, параллельная АВ, но на чертеже этого треугольника DE не параллельна АВ, а точки D и Е не являются серединами сторон АС и ВС, Или: в объяснении говорится, что треугольник АВС правильный, и в нем проведены биссектрисы, которые являются и медианами, но на чертеже медианы не проходят через середины сторон, а из этого следует, что точка их пересечения не делит их в нужном отношении 1 :2.

б) При пользовании косоугольной проекцией часто не производится нужного сокращения размеров по „боковым" направлениям. Так, даже изображение

квадрата нередко встречается в виде ромба, что создает впечатление прямоугольника.

в! К числу значительных недочетов следует отнести часто встречающиеся чертежи комбинации двух тел, когда тела эти изображены в разных проекциях.

Очень часто встречается изображение четырехугольной правильной пирамиды в косоугольной проекции, с конусом, вписанным в эту пирамиду и изображенным в ортогональной проекции.

Весьма распространенным является изображение правильных многоугольников (хотя бы треугольника и квадрата), вписанных в круг или описанных около круга когда круг и многоугольник вычерчены в разных проекциях.

г) Во многих школах до сих пор неверно изображают эллипсы (в виде остроугольных „чечевиц", которые получаются от пересечения двух дуг окружности).

д) Велико число учащихся, выполняющих чертежи небрежно, плохо отточенным карандашом, иногда без, линеек, без выделения главных линий от вспомогательных и видимых от невидимых. Особенно плохо проводится пунктирная линия, штрихи делаются разной длины и чрезмерно длинными. Часто чертежи' даются слишком крупными (в целую страницу), либо слишком мелкими (стиснутыми текстом объяснения! в угол).

2. Недочеты в объяснении чертежа

Наиболее уязвимым местом в работах по геометрии’ на аттестат зрелости является раздел „Объяснение чертежа".

Массовым недочетом работ в этой части является, неполнота объяснения.

Например, еще имеются случаи, когда в работах учащихся некоторых школ не приводятся нужные объяснения и обоснования угла между прямой и плоскостью.

До сих пор встречаются отдельные работы, в которых объяснения двугранных углов либо отсутствуют, либо оказываются неисчерпывающими. Часто недостаточно обоснованно дается объяснение построения линейного угла. Нередко приводятся определения двугранного и линейного углов, чего вовсе не требуется, причем определения эти страдают неполнотой, а порой даже искажениями, граничащими с нелепостью.

Кроме углов, объяснению и обоснованию подлежат и многие другие элементы чертежа, которые необходимы для решения задачи. И здесь можно указать немало работ, в которых нет нужных объяснений различных геометрических положений. Наиболее распространенным недочетом является неполнота объяснений отдельных элементов взаимного расположения вписанных и описанных тел: речь идет о совпадении элементов (вершин, высот и др.), положении точек и линий пересечения и касания, положении центров и т. п. Нередко очень слабыми оказываются объяснения к задачам на сечения, не обосновывается вид фигуры сечения и положение его элементов.

Вместе с отмеченными выше общими недочетами следует отметить ряд отдельных, частных недочетов, имевших место в работах выпускников прошлого года:

а) Приводятся утверждения без обоснования или доказательства. Например: „Центр шара лежит на высоте пирамиды"; или „Высота проходит через центр основания".

б) Вместе со ссылками на теоремы или определения приводятся полные формулировки последних, в чем нет никакой необходимости.

в) Часто приводятся излишние рассуждения, снижающие ценность работы. Так, можно встретить: „Проведем биссектрису, она же будет и высотой и медианой", хотя то, что она будет и высотой и медианой для решения не требуется. Очень распространенно доказывается, что сечение является равнобочной трапецией, хотя равномощность в решении не используется.

г) В некоторых работах следствия излагаются раньше положений, из которых они должны исходить, т. е. имеет место непоследовательность изложения объяснений и обоснований.

д) Встречаются еще случаи, когда высоту боковой грани неправильной пирамиды называют апофемой.

е) Буквенные обозначения на чертеже расходятся с обозначениями, встречающимися в тексте объяснения к чертежу.

ж) Недостаточна литературная обработка объяснения чертежа. Очень часто, предложения начинаются с одного и того же „так как“. Нередко встречаются и орфографические ошибки. Слишком много непонятных и грубых выражений, как например: „Вершина упадет в центр*⁴, „Треугольник (вписанный) касается окружности в своих вершинах" и др.

Частных недочетов в объяснении чертежа имеется значительно больше, и они весьма разнообразны. Здесь указываются только наиболее распространенные, устранение которых крайне необходимо.

3. Недочеты в разделе „Решение в общем виде"

К сожалению, очень часто решение задачи появляется за объяснением чертежа ни с того, ни с сего. Вдруг пишутся какие-то формулы и тригонометрические выражения, а откуда они взялись и зачем нужны— приходится догадываться—к ним объяснений нет.

Пользование буквами не обусловливается, из-за чего часто одна и та же буква встречается и разных значениях. Запись решения ведется без абзацев и интервалов.

Весьма серьезным недочетом решения задачи является непоследовательность изложения решения.

Можно привести примеры крайне нерациональных приемов в решении задач. Так, если в прямоугольном треугольнике известны катет и острый угол, а надо найти его гипотенузу, то некоторые выпускники находят сначала другой катет, а затем по теореме Пифагора находят гипотенузу.

Или приведем еще более интересный случай. Представим себе следующую картину. В треугольнике АВС угол С прямой и DO— средняя линия, параллельная ВС, причем точка О — середина АВ. Из точки О к плоскости треугольника АВС восставлен перпендикуляр OS = Z, и точка S соединена с точками А и D. Угол = угол SDO = a, и требуется определить OD. Из треугольника SOD сразу имеем DO = I ctga.

Однако учащийся проделывает следующую работу: из треугольника SAO определяет SA и АО;

из треугольника SDO определяет SD, затем по теореме Пифагора из треугольника SAD определяет AD и, наконец, из треугольника ADO по теореме

Пифагора находит DO_f причем получает выражение:

которое после долгих преобразований дает ему

Выполнив все эти преобразования, легко убедиться, как сильно усложнен здесь путь к решению, сколь нерационально пользование им. А подобных примеров, к сожалению, мнбго.

Другой крайностью является недопустимый пропуск действий в тригонометрических преобразованиях, когда сразу пишут вместо разности квадратов тригонометрических функций различных аргументов конечный результат.

4. Недостатки в логарифмических вычислениях

В этом разделе больше всего встречаются описки и ошибки в элементарных арифметических вычислениях или имеются записи вроде следующей:

sin(180°— 114°32') = 65°28';

1g 65°28'= Т ,9588;

• sin 7’58'= т, 1418

2

Т,5709

Встречаются работы, в которых нет полной записи ответа решаемой задачи.

Совершенно отсутствуют хотя бы какие-нибудь рассуждения учащихся, о соответствии найденного решения в общем виде условию задачи по таким признакам, как размерность, действительность и положительность искомой величины в области допустимых (с геометрической точки зрения) значений параметров.

И. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ПИСЬМЕННЫХ

РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ

Требования эти сложились в методических объединениях преподавателей математики нашей области. В них учтены указания и требования Министерства просвещения и Академии Педагогических Наук РСФСР, использованы статьи из журнала „Математика в школе, а также указания кабинета математики Тульского института усовершенствования учителей.

Рассмотрим эти требования по основным этапам плана решения задачи.

1. Требования к чертежу пространственной фигуры

а) Чертеж должен быть верным, т. е. правильно отображать условия задачи, с одной стороны, и быть грамотным с точки зрения проекционного черчения, с другой. Первая часть этою требования предполагает твердое знание теории стереометрии, а вторая — знание некоторых принципов черчения, в частности инвариантов параллельности и отношения отрезков, о которых говорилось ранее.