Область существования геометрических фигур и методы ее исследования (Батраченко) 1965 год - старые учебники
Скачать Советский учебник
Назначение: Пособие для учителей
Эта книга посвящена мало разработанному в математической литературе вопросу исследования условий существования геометрических фигур, заданных при помощи параметров.
Книга будет способствовать расширению математического кругозора учителей математики средней школы. Она может быть использована как учебное пособие и студентами физико-математических факультетов педагогических институтов.
© «РАДЯНСЬКА ШКОЛА» КИЕВ - 1965
Авторство: Григорий Михайлович Батраченко
Формат: PDF Размер файла: 7.69 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава I. О существовании геометрических фигур, заданных посредством параметров. 5
- 1. Область существования геометрической фигуры . 7
- 2. О доказательстве существования. 15
- 3. Методы исследования области 24
- 4. Исследование области с помощью формулы решения 42
Глава И. Задачи на исследование области 48
Глава III. Ошибки при исследовании, распространенные в учебной и методической литературе. 92
Скачать бесплатный учебник СССР - Область существования геометрических фигур и методы ее исследования (Батраченко) 1965 года
СКАЧАТЬ PDF
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
При подготовке настоящей работы к печати представленная автором рукопись была апробирована рядом специалистов-геометров, высказавших по поводу ее содержания ряд разноречивых мнений.
Со своей стороны, считаем, что автор посвятил данную работу актуальному вопросу элементарной геометрии, однако некоторые высказанные им основные утверждения являются спорными, имеют дискуссионный характер.
Замечания и пожелания относительно содержания настоящей книги просим направлять по адресу: г. Киев, ул. Ю. Коцюбинского, 5, издательство «Радянська школа», редакция математики.
ХАРЬКОВСКАЯ ТИПООФСЕТНАЯ ФАБРИКА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос об исследовании условий существования геометрических фигур, заданных посредством параметров, до настоящего времени не получил в литературе достаточного освещения. В курсах элементарной геометрии излагаются теоремы об условиях существования только некоторых элементарных (простейших) геометрических фигур (например, треугольника, выпуклого многогранного угла и других), но нет разработанных методов исследования условий существования фигур.
Необходимость рассматривать вопросы существования геометрических фигур возникает в ряде случаев, например, при решении геометрических задач на вычисление и на построение с параметрическими данными и других.
Отсутствие теоретического обоснования указанного вопроса привело к тому, что в учебной и методической литературе при исследовании решения геометрических задач с параметрическими данными допущен ряд ошибок.
Цель этой работы — изложить методы исследования условий существования геометрических фигур, заданных посредством параметров. Эти методы излагаются на основании исходных условий, необходимых и достаточных для существования заданной фигуры. Исходные условия определяются посредством необходимых и достаточных условий существования отдельных элементов (составных частей) заданной фигуры. Составленные исходные условия выражаются через данные параметры посредством эквивалентных преобразований. Такова общая идея работы.
Определение понятия «существование» для геометрических фигур дало возможность ввести доказательство
в качестве критерия существования геометрической фигуры (объекта) при данной системе значений параметров и при данных условиях. В работе введено также понятие области существования геометрической фигуры при данных параметрах и доказана эквивалентность условий, определяющих области существования одной и той же фигуры. Введение этих понятий дало возможность изложить методы исследования условий (области) существования геометрических фигур посредством условий существования элементарных (простейших) фигур. В частности, способы доказательства достаточности условий для существования заданной фигуры (или существование фигуры при данных условиях) изложены на основании условий существования элементарных фигур.
На основании общих методов исследования области в работе изложены также упрощенные способы исследования, в которых обоснование выводных условий устанавливается непосредственно (в конце исследования).
Обоснование методов исследования области существования геометрических фигур дало возможность вскрыть ошибки при исследовании, распространенные в учебной и методической литературе. В частности, показана несостоятельность попыток выполнить исследование множества всех допустимых систем значений параметров путем исследования формулы (искомой величины), а также попыток доказать достаточность условий для существования фигуры построением; показаны и другие недостатки, допускаемые в этих вопросах.
Из рассмотренных в работе методов исследования в средней школе можно использовать те методы, в которых обоснование выводных условий устанавливается в конце исследования непосредственно, а также методы, в которых за исходные принимаются условия, определяющие вспомогательную область существования заданной фигуры.
Автор выражает благодарность И. Я. Ч е р т к о в у за оказанную помощь при выполнении настоящей работы, а также В. И. Кобе и К. С. Богушевскому, рецензии которых содействовали улучшению этой работы. Автор выражает благодарность И. Ф. Тесленко, А. Ф. Семеновичу и А. П. Шатковскому, оказавшим содействие изданию настоящей работы*
Автор
В этом пособии есть специальный § 66 «О применениях тригонометрии к геометрии», в котором автор рекомендует определять допустимые значения параметров при решении геометрических задач с параметрическими данными путем исследования формулы решения.
Отметим следующее.
1) Рекомендация автора определять допустимые значения данных параметров путем исследования формулы решения является ошибочной, так как исследование множества всех допустимых систем значений параметров возможно только на основании условий, необходимых и достаточных для существования заданной фигуры. Поэтому, если при «исследовании формулы» получен желаемый результат, то это объясняется тем, что использованные необходимые условия случайно оказались достаточными для существования заданной фигуры, а не потому, что выполнено «исследование формулы решения». Формула не может определять условий существования геометрической фигуры.
Следовательно, сама постановка вопроса об исследовании множества всех допустимых систем значений параметров путем исследования формулы решения не имеет смысла.
2) В рассматриваемом пособии рекомендуется доказывать существование заданной фигуры при выводных условиях построением (стр. 404, 417, 419). Такие же рекомендации даются и в пособии С. И. Новоселова «Руководство по преподаванию тригонометрии» (Учпедгиз, 1958), стр. 126, 127. Однако, как показано в гл. 1, § 2 настоящей книги, установить достаточность условий для существования заданной фигуры построением невозможно. Таким образом, предлагаемое исследование не дает гарантии правильности получаемого результата, т. е. гарантии, что мы получим множество всех допустимых систем значений данных параметров.
3) Рекомендации рассматриваемого пособия не могут объяснить вопроса об использовании формулы при исследовании (стр. 419, 421, 424).
В действительности же, если исследование с помощью формулы (но не исследование формулы!) не дает правильного результата, то это объясняется тем, что использованные необходимые условия не являются достаточными для существования заданной фигуры.
Более того, как показано в первой главе настоящей работы (§ 4), исследование области существования заданной фигуры с помощью формулы искомой величины, без применения формул других неизвестных (не заданных) величин, возможно на основании только таких исходных условий, необходимых и достаточных для существования заданной фигуры, в которых единственным существенным ограничением является ограничение искомой величины. Следовательно, когда использованные при исследовании условия удовлетворяют указанным требованиям, тогда результат получим правильный.
Таким образом, вопрос об использовании формулы для исследования множества всех допустимых систем значений параметров должен решаться на основании условий существования геометрических фигур.
На стр. 419 рассматриваемого пособия приведено исследование задачи 5 о правильной треугольной пирамиде. Правильное исследование этой задачи (немного измененной) изложено несколькими способами во второй главе настоящей работы (задача 4). Там же приведен и способ исследования области с последующим доказательством достаточности выводных условий (способ 3), а также способ исследования области с помощью формулы искомой величины (способ 4).
4) Введенное С. И. Новоселовым понятие «область определения задачи» не выражает того смысла, который обычно вкладывается в понятие «область» в математике. Действительно, любая задача всегда возможна, независимо от того, имеет она решение или нет. Поэтому вводить понятие «область определения задачи» не имеет смысла. Но не каждая задача имеет решение, а если задача и имеет решение, то только при некоторых условиях. Поэтому есть смысл для задач с параметрическими данными (любого содержания) пользоваться понятием «область существования решения», подразумевая множество всех допустимых систем значений параметров для данной задачи. Введение такого термина согласуется с установившейся функциональной терминологией.
Рассмотренные выше рекомендации даются и в пособии С. И. Новоселова «Руководство по преподаванию тригонометрии» (Учпедгиз, 1958, стр. 126, 127).
Исследование условий существования фигур, о которых идет речь в двух задачах, приведенных в указанном
пособии, а также в журнале «Математика в школе» (1955, № 4), рассмотрено во второй главе настоящей работы (задачи 1 и 5) несколькими способами.
Рассмотрим геометрическое исследование множества допустимых систем значений параметров, изложенное на стр. 421 (задача 6) «Специального курса тригонометрии» С. И. Новоселова.
Задача.
В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а; через ребро этого угла проведена плоскость, образующая с апофемой противоположной боковой грани угол <р. Вычислить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а (черт. 8).
Пусть /_KLG = тогда, решая задачу, получим:
___ a2 cos (ср + a) sin2 а Р sin2 ср
Автор иллюстрирует предлагаемое исследование одиннадцатью чертежами и рассматривает разные случаи при исследовании, сопровождая их системами неравенств.
Отметим следующее.
1. Автор рассматривает без всякой необходимости два случая положений угла <р, налагая на этот угол условие, чтобы он был острым, как угол прямой с плоскостью.
Ясно, что определение угла между прямой и плоскостью, как угла острого, дается в геометрии для фиксированного положения прямой и плоскости, поэтому его нельзя применять при исследовании, когда прямые и плоскости «находятся в движении». Применение этого определения противоречило бы идее исследования условий существования геометрической фигуры при заданных параметрах, вынуждая при исследовании обозначать одним и тем же параметром различные величины (углы) и рассматривать разные случаи, что ставило бы геометрические факты в искусственную зависимость от дополнительных и ненужных условий и этим самым не давало бы возможности достигнуть главной цели исследования — установить условия (область) существования фигуры при данных параметрах, т. е. выявить естественную функциональную зависимость между геометрическими объектами. Примером этого и является рассматриваемое исследование, в котором автор основное внимание уделяет формальному рассмотре
нию нескольких случаев, которые не нужны для определения условий существования заданной фигуры.
2. Это «исследование» привело также к рассмотрению многозначности сечения (два сечения), что не соответствует условиям задачи. Действительно, при движении точки L по апофеме SK (черт. 8), угол KLG = изменяется монотонно, поэтому положение рассматриваемой секущей плоскости при каждом значении этого угла (если пирамида существует) однозначно.
Таким образом, при любом допустимом значении угла ср (если пирамида существует) не может быть двух заданных сечений, а также не может быть двух или трех случаев для значений угла <р.
3. Основной вопрос исследования — определение условий существования сечения при данных параметрах — остается в приведенном исследовании нерешенным, так как достаточность полученных условий для существования заданного сечения не доказана.
В этом исследовании отмечается, что сечения вида 1 «существуют, если / KLG — 180°—2а < 90°, т. е. если 45° < а < 90°».
Совершенно ясно, что при 45° < а < 90° существует только угол а, удовлетворяющий этим условиям, и никакого сечения не существует.
4. Далее читаем: «Исследование формулы не дает истинной области определения задачи».
Как было показано выше, исследование множества всех допустимых систем значений параметров путем исследования формулы невозможно (во всех случаях), так как формула не может определять условий существования фигуры.
Однако исследование области существования фигуры с помощью формулы для неизвестной величины возможно, но только на основании условий, необходимых и достаточных для существования этой фигуры, при существенном ограничении этой неизвестной величины.
Исследование этой задачи выполнено во второй главе настоящей работы несколькими способами (задача 7). Там же показан и способ исследования с помощью формулы (способ 3).
Таким образом, изложенные в «Специальном курсе тригонометрии» С. И. Новоселова (издание четвертое и
предыдущие) рекомендации относительно исследования допустимых значений параметров при решении геометрических задач с параметрическими данными не учитывают условий существования геометрических фигур. Этим и объясняется то, что указанные рекомендации и приведенные образцы исследования не дают ответа на основные вопросы, возникающие при исследовании.
5. П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии (Учпедгиз, 1957, гл. VI).
В ряде задач автор ставит требование «исследовать полученную формулу решения». Требование задачника создает видимость возможности исследования множества всех допустимых систем значений параметров путем исследования формулы и этим вынуждает решающего задачу выполнять различные необоснованные преобразования, пока не будет получен желаемый результат.
Книги и учебники по ГЕОМЕТРИИ для учителей
Математика - ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Педагогическое образование, Геометрия - Для Учителей, Автор - Батраченко Г.М.