ГЕОМЕТРИЯ ПЛАНИМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ 1892-2004

 ГЕОМЕТРИЯ ПЛАНИМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

 ГЕОМЕТРИЯ ПЛАНИМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ 1892-2004

Издательство: Физмалит 2004

Авторство: Киселёв А. П. Под редакцией и с дополнениями проф. Н. А. Глаголева.

Формат: DjVu, Размер файла: 3.69 MB

 

 


СОДЕРЖАНИЕ

 ГЕОМЕТРИЯ - ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЁВУ 8
ВВЕДЕНИЕ 13
Плоскость 13
Прямая линия 14
Понятие об окружности 16
Часть I
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава I. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
1. УГЛЫ 19
Предварительные понятия 19
Измерение углов 22
Смежные и вертикальные углы 24
Упражнения 28
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 28
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ 31

 

Смотреть оглавление полностью......

Понятие о многоугольнике и треугольнике 31
Симметрия геометрических фигур относительно оси 33
Некоторые свойства равнобедренного треугольника 35
Признаки равенства треугольников 36
Внешний угол треугольника и его свойство 39
Соотношения между сторонами и углами треугольника 40
Сравнительная длина прямолинейного отрезка и ломаной линии 41
Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных 44
Признаки равенства прямоугольных треугольников 45
Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку прямой
через его середину, и свойство биссектрисы угла 46
4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 48
Упражнения 52
5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 55
Основные теоремы 55
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами 59
Сумма углов треугольника и многоугольника 61
Центральная симметрия 63
6. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ И ТРАПЕЦИИ 65
Параллелограммы 65
Некоторые частные виды параллелограммов: прямоугольник, ромб, квадрат 68
Некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма.... 69
Трапеции 71

Задачи на построение 72

Упражнения 73

Глава И. ОКРУЖНОСТЬ

1. ФОРМА И ПОЛОЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 78

2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДУГАМИ, ХОРДАМИ И РАССТОЯНИЯМИ ХОРД ОТ ЦЕНТРА 81

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.. 82

4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ 85

5. ВПИСАННЫЕ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ УГЛЫ.

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ 88

Задачи на построение 94

Упражнения 96

6. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 100

7. ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 103

Упражнения 105

Глава III. ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ

1. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВЕЛИЧИН 108

2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 117
Три признака подобия треугольников 120
Признаки подобия прямоугольных треугольников 123
3. ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 126
4. ПОДОБИЕ ФИГУР ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА 132
Задачи на построение 136
5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ
О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ 139
Свойство биссектрисы угла треугольника 141
6. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ФИГУР 143
7. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ В КРУГЕ 150
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА 152
9. ПОНЯТИЕ О ПРИЛОЖЕНИИ АЛГЕБРЫ К ГЕОМЕТРИИ 158
Упражнения 162
Глава IV. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ
1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 167
Упражнения 176
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЧАСТЕЙ 177
Предел числовой последовательности 178
Длина окружности 182
Упражнения 190
Глава V. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
1. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 191
Теорема Пифагора и основанные на ней задачи 202
Отношение площадей подобных фигур 204
2. ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ 207
Упражнения 211
Часть И.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Предварительные замечания 215
Глава I. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 215
2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 217
Параллельные прямые 217
Прямая и плоскость, параллельные между собой 218
Параллельные плоскости 219
Задачи на построение 221
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ К ПЛОСКОСТИ 222
и
И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ .. 225
Задачи на построение 227
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ, и МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ 229
Двугранные углы 229
Перпендикулярные плоскости 232
Угол двух скрещивающихся прямых 233
Угол, образуемый прямой с плоскостью 233
Многогранные углы 234
Простейшие случаи равенства трехгранных углов 237
Упражнения 238
Глава И. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ, ОТРЕЗКА
И ФИГУРЫ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ 240
Глава III. МНОГОГРАННИКИ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА 251
Свойства граней и диагоналей параллелепипеда 254
Свойства параллельных сечений в пирамиде 255
Боковая поверхность призмы и пирамиды 257
Упражнения 259
ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ 259
Объем параллелепипеда 260
Объем призмы 265
Объем пирамиды 267
ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ 274
ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ 276
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР.. 279 Упражнения 285
Глава IV. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ЦИЛИНДР И КОНУС
Поверхность цилиндра и конуса 287
289
Объем цилиндра и конуса 294

Подобные цилиндры и конусы 295

2. ШАР 296

Сечение шара плоскостью 296

Плоскость, касательная к шару 298

Поверхность шара и его частей 299

Объем шара и его частей 303

Упражнения 310

ДОПОЛНЕНИЕ

ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ 312

Таблица тригонометрических функций 324

  

 

Скачать учебник  - ГЕОМЕТРИЯ ПЛАНИМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ 1892-2004 года  

Скачать

     Скачать...

 

 

См. Отрывок из учебника........

 

 Предложения этой геометрии существенно отличались от теорем геометрии Эвклида. Так, сумма углов треугольника оказалась меньше двух прямых углов, к теоремам о равенстве треугольников присоединилась новая: «Треугольники равны, когда три угла одного равны трем углам другого». В этой геометрии, следовательно, не существует треугольников подобных и неравных между собой. 

      Первый доклад о созданной им новой геометрии Лобачевский сделал в 1826 г. Идеи Лобачевского были в высшей степени новыми и неожиданными. Несмотря на всю непривычность таких предложений новой геометрии, она имела такую же стройную и законченную форму, как и геометрия Евклида. Впоследствии ей было дано название неевклидовой геометрии. Одновременно с ее открытием возник вопрос: какая же геометрия имеет место в действительном материальном мире и какой геометрией следует пользоваться при решении проблемы прикладного знания — физики, астрономии и др.? Лобачевский пытался решить этот вопрос опытным путем — астрономическими наблюдениями. 

      Но решить этот вопрос столь простыми средствами оказалось невозможным. Дело в том, что наши пространственные восприятия не обладают абсолютной точностью и лишь приблизительно отражают пространственные отношения материального мира. 

      Геометрия Евклида выросла из наблюдений над материальным миром и потому с большой точностью отражает существующие в нем взаимоотношения, по крайней мере в их простейших проявлениях. В силу этого опыты Лобачевского не дали исчерпывающего ответа на поставленный вопрос: они не обнаружили заметных отклонений от того, что давала геометрия Евклида, но и не установили абсолютного совпадения предложений этой геометрии с пространственными взаимоотношениями материального мира. 

      Открытие неевклидовой геометрии произвело глубокие изменения в сознании геометров. Самый факт существования стройной и непротиворечивой неевклидовой геометрии подрывал вековое доверие к «наглядности» и «очевидности», руководившим мыслью древних геометров. Многовековой анализ пятого постулата расшатал устои первичных геометрических представлений, на которых покоилась геометрия Евклида. Он вскрыл глубокие зависимости между отдельными, казавшимися далекими одни от других геометрическими фактами и представил в новом свете пространственные взаимоотношения материального Мира. Поэтому система аксиом и определений Евклида как база для построения геометрии стала уже недостаточной. В свете новых идей его определения и аксиомы обнаружили недостаточную полноту и не могли уже отвечать возросшим требованиям научной строгости. 

      Такое, например, определение, как «линия есть длина без ширины», не могло уже удовлетворить геометров, так как в их сознании сами понятия длины и ширины уже утратили тот характер абсолютной 

      ясности и первоначальности, который они имели во времена Евклида. Для геометров нового времени многие определения Евклида не имели силы без некоторых дополнительных предположений, которые явно не высказывались, но молчаливо и незаметно принимались сознанием древних геометров. Иначе трудно объяснить, почему, например, определение 4 нельзя применить к окружности и определение 7 — к поверхности круглого цилиндра или конуса. 

      Требование большей полноты геометрических определений и аксиом привело к тому, что в конце XIX в. была поставлена задача общего пересмотра и уточнений всей аксиоматической базы геометрии. Эти работы привели к созданию новой аксиоматики геометрии, вполне отвечающей современным требованиям математической строгости. 

      Ниже мы даем краткое изложение современного состояния этого вопроса. 

      4. Прежде всего поставим вопрос об определении основных геометрических образов: точка, прямая линия и плоскость. Заметим, что определить какое-нибудь понятие — значит выразить его через понятия, ранее уже установленные. Если же искать определение простейших понятий, то дело неизбежно сведется лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требующим определения. Так и было у Евклида, который понятие «линии» определил через понятие «длины» или «границы», а эти последние не определял. 

      Поэтому можно с самого начала не искать определения простейших геометрических понятий, а принять их за исходные, которые нельзя уже выразить через понятия более простые. «Точка», «прямая» и плоскость» и принимаются за такие первичные, неопределимые геометрические понятия. По отношению к ним устанавливается целая система основных положений «аксиом», принимаемых за исходные недоказуемые положения. По существу эти аксиомы представляют собой лишь целесообразные абстракции пространственных взаимоотношений материального мира. 

      Мы приведем здесь ту систему аксиом, которая была дана немецким математиком Гильбертом. В этой системе все аксиомы геометрии разделяются на 5 групп. 

      Первая группа аксиом — «аксиомы соединения». Аксиомы этой группы имеют целью установить те взаимоотношения между понятиями точка, прямая и плоскость, которые обычно характеризуются словами: «прямая проходит через точку», «точка лежит на прямой или на плоскости» и т. п. Эта группа состоит из следующих аксиом: 

      1. Две точки определяют единственную проходящую через них прямую. 

      2. На каждой прямой лежит не менее двух точек; существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 

      3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. В каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. 

      4. Если две точки прямой линии лежат в данной плоскости, то и все точки этой прямой лежат в той же плоскости. 

      5. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют и еще по крайней мере одну общую точку. 

      6. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 

      При первом взгляде на эти аксиомы некоторые из них могут показаться или недостаточными, или вообще ненужными. Так, аксиома 2 как бы противоречит обычному представлению о прямой, на которой мы мыслим бесчисленное множество точек. Но не следует забывать, что точки и прямые введены у нас как первичные, не зависящие одно от другого понятия. Они могут существовать раздельно. Поэтому, когда мы говорили, что точка лежит на прямой или что прямая проходит через точку, мы приписывали точке и прямой способность находиться между собой в некотором взаимоотношении. Чтобы яснее представить себе такое раздельное существование точек, прямых и плоскостей и взаимоотношения между ними, будем их представлять себе в виде конкретных физических предметов. Точки будем представлять себе в виде горошин какой-нибудь определенной величины. Эти горошины будем предполагать шарообразной формы и достаточно мягкими (например, разбухшими в воде), чтобы их можно было прокалывать тонкими иглами и резать на части. Прямые линии будем представлять в виде очень тонких стальных иголок, а плоскости — в виде столь же тонких пластинок. Сначала эти пластинки, иглы и горошины представляем себе ничем не связанными и даже находящимися в разных местах: в одном месте — кучка гороха, в другом — груда стальных игл, в третьем — пачка сложенных пластинок. Начнем теперь подчинять их тем условиям, которые содержатся в наших аксиомах. Мы будем считать, что точка лежит на прямой, если игла прокалывает горошину или хотя бы частично входит в нее. Будедо считать, что точка лежит на плоскости, если тонкая пластинка режет горошину пополам или лишь надрезает горошину. Наконец, будем считать, что прямая лежит на плоскости, если тонкая игла служит краем пластинки, т. е. если игла прилегает на всем протяжении к краю пластинки, не выдаваясь от нее ни в ту, ни в другую сторону. Что означают при этих условиях аксиомы? Они требуют, чтобы наши горошины, иглы и пластинки приняли такое расположение в пространстве, чтобы каждые две горошины были проколоты по крайней мере одной иглой или нанизаны на одну иглу (аксиома 1); каждая игла прокалывала не менее двух горошин (аксиома 2); каждые три горошины были разрезаны (или надрезаны) одной пластинкой и чтобы каждая пластинка надрезала по крайней мере одну горошину (аксиома 3); если две горошины, нанизанные на одну иглу, надрезать некоторой пластинкой, то и все другие горошины, которые могут оказаться нанизанными на ту же иглу, надрезывали бы той же пластинкой (аксиома 4); если две пластинки надрезают одну, и ту же горошину, то они надрезали бы по крайней мере еще одну горошину (аксиома 5); имеются по крайней мере четыре горошины, не разрезанные (и не надрезанные) одной и той же пластинкой (аксиома 6). Таким условиям должны удовлетворять наши горошины, иглы и пластинки. И такую комбинацию горошин, игл и пластинок нетрудно построить. Действительно, отделим от пачки пластинок четыре пластинки. Обрежем их по краям так, чтобы каждая из них приняла форму равностороннего треугольника определенного размера. Из груды игл возьмем 6 штук и обломаем их концы так, чтобы все иглы стали одной длины, равной стороне треугольной пластинки. Возьмем далее 4 горошины и составим следующую фигуру: из 4 пластинок составим правильный тетраэдр; в пазы между прилегающими краями пластинок вложим иглы, а на вершинах тетраэдра поместим горошины так, чтобы пластинки их надрезали, а иглы прокалывали. Для этой совокупности горошин, игл и пластинок удовлетворяются все поставленные выше требования, т. е. все наши аксиомы. 

      Из этого примера видно,что множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам 1-й группы, может быть конечным. В нашем примере мы имеем всего 4 точки, 6 прямых и 4 плоскости. 

      Вторая группа аксиом — «аксиомы порядка» — имеет целью в отчетливой форме высказать те положения, на которые мы опираемся, когда говорим о том или ином порядке расположения точек на прямой и на плоскости. Главным понятием здесь является расположение на прямой одной точки между двумя другими. Логическое содержание этого понятия и устанавливается аксиомами этой группы. Она состоит из следующих аксиом: 

      1. Если В лежит между А и С, то А, В и С — различные точки прямой, и В лежит также между С и А. 

      2. При данных двух точках А и В на прямой линии на ней существует по крайней мере одна точка С такая, что В лежит между А и С. 

      3. Из трех данных точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими. 

      4. Если в данной плоскости даны треугольник ABC и какая-либо прямая а, не проходящая ни через одну из его вершин...

  

 

 

НОВЫЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

 

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика