• 11. Построения на изображениях многогранников (метрические задачи) 180 Задачи для самостоятельного решения (№ 517—602) 185^
• 12. Угол между скрещивающимися прямыми 193

Задачи для самостоятельного решения (№ 603—647) 200

• 13. Расстояние от точки до прямой, до плоскости и расстояние между скрещивающимися прямыми 204

Задачи для самостоятельного решения (№ 648—702) ^20

• 14. Угол прямой с плоскостью 226

Задачи для самостоятельного решения (№ 703—747) 236

• 15. Угол между плоскостями. Двугранный и многогранный углы 240

Задачи для самостоятельного решения (№ 748—796) 259^:

• 16. Площади сечений 263

Задачи для самостоятельного решения (№ 797—836) 273

• 17 Площади поверхностей 277

Задачи для самостоятельного решения (№ 837—889) 290

• 18. Объемы 294

Задачи для самостоятельного решения (№ 890—973) 303

• 19. Комбинации с многогранниками и круглыми телами 310

Задачи для самостоятельного решения (№ 974—1077) 321*

• 20. Наибольшие и наименьшие значения 328

Задачи для самостоятельного решения (№ 1078—1109) 334

Ответы 337

ПРЕДИСЛОВИЕ

Приемы и методы решения геометрических задач рассматриваются в различных разделах курса геометрии, изучаемого в пединститутах. Однако традиционным методам уделяется недостаточное внимание, и восполнение этого пробела — одна из целей, которая ставилась авторами при создании предлагаемого пособия.

Отметим, что книга, представляя собой практикум по решению задач (каждый параграф содержит теоретический материал и решение типовых задач), вместе с тем является и сборником задач (в конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельного решения по теме этого параграфа). Подбирая примеры, авторы стремились систематизировать их таким образом, чтобы охватить основные типы школьных геометрических задач и методы их решения. Наряду с традиционными методами авторы в некоторых случаях предлагают и новые подходы к решению примеров.

Книга состоит из двух глав. Первая глава посвящена планиметрии. В § 1 этой главы рассматриваются основные методы решения геометрических задач. При этом методы геометрических преобразований, векторный и координатный, рассматриваются наряду с традиционными.

В § 2—4 включены разнообразные планиметрические задачи. Решение их, как показывает практика, является одним из слабых мест в профессиональной подготовке студента.

Два параграфа (§ 5 и 20) посвящены геометрическим задачам на отыскание наибольших и наименьших значений. Обычно считают, что эти задачи должны рассматриваться в курсе математического анализа. Однако в указанном курсе основное назначение этих задач — демонстрация прикладной роли дифференциального исчисления (акцент делается на решение задачи внутри составленной математической модели и в меньшей степени на само составление модели и ее интерпретацию). Включая в настоящее пособие ту или иную задачу на отыскание наибольшего или наименьшего значения, авторы имели в виду то обстоятельство, что каждая задача должна быть интересной прежде всего с геометрической точки зрения (акцент делается на конструирование модели и ее интерпретацию).

Вторая глава посвящена решению стереометрических задач. Авторы убеждены, что стереометрические задачи нельзя успешно решать, минуя задачи на построение в пространстве и в особенности на построение на изображениях пространственных фигур. При этом, естественно, необходимо уделить внимание и так называемым воображаемым построениям (иллюстративные чертежи), которые выполняются при изложении начальных сведений стереометрии, и эффективным построениям (решающие чертежи), которые выполняются при изложении последующих разделов.

Решение позиционных задач на построение в пространстве и на изображениях многогранников является, на наш взгляд, необходимым практическим дополнением при изучении аксиом стереометрии и темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

Решение метрических задач на построение в пространстве и особенно на изображениях многогранников должно дополнять теоретическую часть темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». Умение решать такие задачи потребуется затем при нахождении угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, двугранного угла, площади сечения и т. д.

Авторы считают, что стереометрические задачи на построение должны решаться сначала как самостоятельные задачи (а не в связи с необходимостью, например, подсчитать величину какого-нибудь угла или какое-нибудь расстояние в многограннике). Решение таких задач способствует развитию пространственных представлений. Навыки выполнения построений в пространстве, разумеется, «сработают» в дальнейшем — при решении последующих задач, особенно таких, где требуется выполнять дополнительные построения.

Исходя из изложенных соображений, авторы дают во второй главе необходимую информацию о полных изображениях (§ 6), рассказывают о простейших построениях в пространстве (§ 7), о различных методах решения позиционных задач на изображениях многогранников (§ 8), затем сообщают основные сведения о метри

чески определенных изображениях (§ 9), об основных методах решения метрических задач на построение в пространстве (§ 10) и на изображениях многогранников (§ И).

Все примеры, а также упражнения для самостоятельного решения в § 6—11, а также в § 12—16 являются новыми, составленными специально для настоящего пособия. Много новых примеров и упражнений и в последующих параграфах второй главы. Упражнения для самостоятельного решения даются во второй главе преимущественно блоками — по три задачи в каждом номере. Как правило, внутри каждого блока задачи расположены по нарастанию трудности.

Значительное внимание при решении примеров в § 6—11 уделяется изложению способов построения в пространстве, ранее не освещавшихся в методической литературе (способ выносных чертежей, вычислительный и векторно-координатный способы). Применение этих способов позволяет более полно использовать аппарат параллельного проектирования при решении стереометрических задач.

Структура и содержание книги, порядок изложения материала обсуждались авторами совместно. Работа по написанию книги распределилась между авторами так: введение написано В. Н. Литвиненко и А. Г Мордковичем, ими же написан § 19 (пп. 1 и 2 — А. Г Мордковичем, п. 3 — В. Н. Литвиненко), § 2—4 написаны А. Г Мордковичем (при этом были использованы материалы, подготовленные В. А. Гусевым), § 5 и 20 написаны А. Г. Мордковичем, а § 6—18 — В. Н. Литвиненко.

Авторы

• 1. ВВЕДЕНИЕ

(О методах решения геометрических задач)

Основными методами решения геометрических задач (не являющихся задачами на построение) можно считать следующие три метода: геометрический, алгебраический и комбинированный.

Напомним суть этих методов и рассмотрим примеры их применения.

Геометрический метод чаще всего используется при решении задач на доказательство. Требуемое утверждение при этом выводится из ряда известных теорем с помощью логических рас- суждений. Заметим, что при этом во многих случаях приходится устанавливать равенство двух отрезков (или углов) Укажем основные пути доказательства равенства двух отрезков:

— рассматривают эти отрезки как стороны двух треугольников и доказывают, что треугольники равны, а рассматриваемые отрезки являются в них соответственными сторонами;

— рассматривают эти отрезки как стороны одного треугольника и доказывают, что он является равнобедренным треугольником, а рассматриваемые отрезки являются его боковыми сторонами;

— заменяют отрезок а равным ему отрезком а', отрезок Ь — равным ему отрезком Ь' и доказывают равенство отрезков а' и Ь'.

При решении геометрических задач обычно приходится выполнять различные дополнительные построения. Укажем некоторые из них: проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке; удвоение медианы треугольника с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма; проведение вспомогательной окружности; проведение радиусов в точки касания двух окружностей или окружности и прямой и т. д.

К геометрическому методу относится и метод геометрических преобразований (симметрия центральная и осевая, параллельный перенос, поворот, гомотетия).

Суть алгебраического метода может состоять в том, что искомая величина находится с помощью уравнения (или системы уравнений), составленного по условию задачи. Естественно, при составлении уравнения используются различные геометрические факты, формулы, теоремы. Например, пропорциональность соответственных элементов в подобных фигурах, формула для опреде- 6

ления косинуса угла треугольника, теорема Пифагора и т. д. Наиболее распространенным путем получения уравнения является выражение какой-либо величины двумя независимыми способами. Такую величину называют опорным элементом, а алгебраический метод в этом случае называют также методом опорного элемента.

В качестве опорного элемента могут быть использованы длина отрезка (или квадрат длины отрезка, или сумма отрезков), площадь фигуры, объем фигуры. Если, в частности, опорным элементом является площадь фигуры, то говорят, что применяется метод площадей. Разумеется, при составлении уравнения могут быть избраны также векторный, или координатный, или векторно-координатный пути. В этом случае говорят о применении соответственно векторного, или координатного, или векторно-координатного методов. В качестве опорного элемента тогда могут быть использованы разложение вектора по неколлинеарным векторам, длина вектора, расстояние между двумя точками.

Отметим еще, что если фигура, о которой идет речь в задаче, задана с точностью лишь до подобия, то для составления уравнения может оказаться целесообразным введение так называемого вспомогательного параметра. Чаще всего в качестве вспомогательного параметра принимают длину какого-нибудь отрезка (или длину вектора, или расстояние между двумя точками). После введения вспомогательного параметра, как обычно, находят выражения опорного элемента двумя независимыми способами. Приравнивая полученные выражения, приходят к уравнению.

При решении некоторых задач оказывается целесообразным для нахождения искомой величины найти сначала некоторую другую величину. Такую величину называют вспомогательной неизвестной. В качестве вспомогательной неизвестной может быть выбрана длина некоторого отрезка, величина какого-то угла и т. д. Вспомогательная неизвестная величина может быть введена также и при составлении системы уравнений.

Разумеется, уравнение может быть составлено не только путем уравнивания двух независимых выражений опорного элемента, а и, например, из соображений подобия или путем использования других зависимостей между элементами геометрических фигур.

К алгебраическому методу следует отнести и так называемый метод прямого счета, называемый также поэтапно-вычислительным методом, который состоит в поэтапном нахождении ряда промежуточных (вспомогательных) величин, с помощью которых находят затем и искомые величины. Естественно, при нахождении промежуточных величин могут быть использованы различные геометрические факты, формулы и теоремы, а также сведения из векторной алгебры, координатные соображения.