3.1. Гомотетия

3.2. Преобразование подобия и его свойства 38

3.3. Группа подобия 40

3.4. Аналитическое представление преобразований подобия 41

3.5. О применении подобия к решению задач 45

• 4. Аффинные преобразования плоскости 47

4.1. Сжатие 48

4.2. Родство 51

4.3. Понятие аффинного преобразования плоскости 54

4.4. Аффинные координаты вектора и точки 56

4.5. Теорема существования аффинного преобразования 61

4.6. Группа аффинных преобразований плоскости. 62

4.7. Аффинная геометрия 64

4.8. Аналитическое представление аффинных преобразований 67

4.9. О приложении аффинных преобразований к решению задач. 71

• 5. Инверсия 74

5.1. Понятие инверсии. Основные свойства 

5.2. Преобразование прямых и окружностей в инверсии 76

5.3. Конформность инверсии 78

5.4. Аналитическое представление инверсии 79

5.5. О приложении инверсии к решению задач

Текст расчленяется на параграфы, параграфы — на пункты. Теоретические положения иллюстрируются примерами.

В пособии применяется символика, принятая в средней школе.

Для овладения навыками решения задач студент-заочник должен в процессе изучения пособия систематически работать над упражнениями и задачами из задачника-практикума.

Выражаю искреннюю благодарность доценту М. М. Цаленко и старшему преподавателю В. Н. Литвиненко. Их советы и замечания существенно способствовали улучшению рукописи.

• 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

1.1. ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

В природе, технике, науке мы постоянно встречаемся с явлениями, в процессе которых те или иные объекты меняют свою форму, размеры или расположение в пространстве. Так, дерево изгибается под действием ветра, металлический предмет расширяется при нагревании, колеблется маятник. Во всех этих случаях говорят о преобразовании некоторого объекта.

В геометрии, изучая преобразование какой-либо фигуры, не рассматривают его как протекающий во времени процесс, а ограничиваются рассмотрением и сопоставлением исходной фигуры Ф и фигуры Ф', которая возникает в результате преобразования.

Мы будем изучать преобразования плоскости. Вместе с преобразованием плоскости осуществляется преобразование всех лежащих в ней фигур. Будем предполагать при этом, что плоскость преобразуется в себя. Таким образом, каждая лежащая в плоскости фигура преобразуется в фигуру, также лежащую в этой плоскости, и, напротив, каждую лежащую в данной плоскости фигуру можно рассматривать как результат преобразования некоторой фигуры этой плоскости.

Плоскость и каждую лежащую в ней фигуру будем рассматривать как множества точек. Преобразования плоскости определим как специальный вид отображения точечных множеств.

1°. Пусть А и В — два данных множества.

Определение 1.1. Если указано правило, по которому каждому элементу а £ А ставится в соответствие определенный элемент b С В, то говорят, что задано отображение f множества А в множество В.

Вместо слов «/ есть отображение множества А в множество В» пишут: f: А -> В, А -> В, или f (А) = В, а также f : а -> Ь, а Ь, f (а) = Ь.

Элемент b называется образом элемента а при отображении /, а элемент а — прообразом элемента Ь.

Если, например, комплект шашек расставляется на шахматной доске, то происходит отображение множества шашек в множество клеток шахматной доски, причем каждая шашка является прообразом, а клетка, на которую ставится фигура, — образом этой фигуры при данном отображении.

Определение 1.2. Если при отображении f каждый элемент Ь $В является образом некоторого элемента а £А, то