Преобразования. Векторы (Болтянский, Яглом) 1964 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Преобразования. Векторы (Болтянский, Яглом) 1964

Назначение: Пособие для учителей

© "Просвещение" Москва 1964 

Авторство: Болтянский В.Г., Яглом И.М.

Формат:DjVuРазмер файла: 7.34 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава I. Осевая симметрия

§ 1. Примеры и иллюстрации 7

§ 2. Определение осевой симметрии 12

§ 3. Самостоятельная работа   13

§ 4. Фигуры, обладающие осью симметрии   —

§ 5. Перегибание листа бумаги 15

§ 6. Самостоятельная работа 16

§ 7. Свойства осевой симметрии . 17

§ 8. Построение симметричных фигур . 19

§ 9. Примеры симметричных фигур 20

§ 10. Применение осевой симметрии к доказательству теорем 22

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§11. Задачи .     24

Задачи и упражнения к главе I

Определение осевой симметрии. Симметричные фигуры (27). Перегибание листа бумаги (29). Свойства осевой симметрии (29). Примеры симметричных фигур (30). Построение симметричных фигур (30). Применение осевой симмет¬рии к доказательству теорем (31). Разные задачи (33).

Дополнения и методические указания к главе I

Наглядное представление о симметрии (35). Осевая симметрия как геоме-трическое преобразование (35). Геометрическая фигура как точечное множество (37). Построение симметричных фигур (38). Фигуры, обладающие осью симмет¬рии (38). Осевая симметрия как результат движения (39). Фигура, симметрич¬ная отрезку (40). Основные свойства осевой симметрии (42). Фигура, симме¬тричная объединению фигур (42). Пересечение фигур (43). Роль примеров м задач (45). О принципе Ферма (46). О задачах и упражнениях (47). Примеры решения задач (48).

Глава 11. Центральная симметрия

§ 12. Примеры и иллюстрации 49

§ 13. Определение центральной симметрии . 52

§ 14. Самостоятельная работа 53

§ 15. Фигуры, обладающие центром симметрии     54

§ 16. Центральная симметрия как поворот на 180° . .

§ 17. Самостоятельная работа 55

§ 18. Свойства центральной симметрии   —

§ 19. Центр симметрии параллелограмма . . . . 57

§ 20. Задачи 58 

Определение центральной симметрии. Центрально-симметричные фигуры (59). Свойства центральной симметрии (61). Центр симметрии параллелограмма (62). Разные задачи (63).

Дополнения и методические указания к главе II

Общие указания к главе II (65). Объединение и пересечение фигур (66). Роль примеров и задач (67). О задачах и упражнениях (68). Примеры решения задач (68).

Глава III. Поворот

Задачи и упражнения к главе III

Обобщение понятия об угле (90). Обобщение понятия об отрезке. Вектор (91). Сегмент, вмещающий данный угол (92). Определение поворота (92). Свой¬ства поворота (93). Разные задачи (94). Симметрия порядка п (95). Правильные многоугольники (96).

Дополнения и методические указания к главе III

Направленные углы и отрезки (97). Понятие поворота (99). Свойства по¬ворота (100). Симметрия порядка п и правильные многоугольники (101). О за¬дачах и упражнениях (102). Примеры решения задач (102).

Глава IV. Параллельный перенос

§ 32. Примеры и иллюстрации 104

§ 33. Равенство векторов 166

§ 34. Определение параллельного переноса ... Ю9

§ 35. Самостоятельная работа ПО

^ 36. Свойства параллельного переноса . —

§ 37. Задачи 112

Задачи и упражнения к главе IV

Равенство векторов (115). Определение параллельного переноса (115). Свойства параллельного переноса (116). Разные задачи (117).

Дополнения и методические указания к главе IV

Фигуры, переходящие в себя при параллельном переносе (119). О понятии вектора (120). О задачах и упражнениях (123). Примеры решения задач (124).

Глава V. Гомотетия

§ 38. Гомотетия с положительным коэффициентом 124

§ 39. Гомотетия с отрицательным коэффициентом 126

§ 40. Самостоятельная работа 128

§ 41. Пантограф 129

§ 42. Свойства гомотетии 130 

§ 43. Гомотетия окружностей 133

§ 44. Точки пересечения медиан и высот треугольника . 139

45. Задачи 1 И

§ 46. Общее понятие о подобии 143

Задачи и упражнения к главе V

Определение гомотетии (145). Свойства гомотетии (145). Построение гомотетичных фигур (147). Гомотетия окружностей (П7). Разные задачи (149). Гомо-тетия и подобие (151).

Дополнения и методические указания к главе V

Гомотетия как точечное преобразование (152). Фигуры, переходящие в себя при гомотетии (153). Фигура, гипотетичная отрезку (154). Гомотетия окружно¬стей (156). Замечательные точки треугольника (157). О подобных фигурах (157). О задачах и упражнениях (158). Примеры решения задач (159).

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании

§ 47. Что такое геометрическое преобразование? 162

§ 48. Сложение геометрических преобразований 163

§ 49. Движения 165

Задачи и упражнения к главе VI

Примеры геометрических преобразований (168). Сложение геометрических преобразований (169). Движения (170).

Дополнения и методические указания к главе VI

Взаимно однозначные соответствия (170). Преобразование фигур (170). Дви-жения и расстояния (наглядные пояснения) (171). Движения и расстояния (очерк метрического построения геометрии) (172). Преобразования подобия (173). О за¬дачах и упражнениях (175). Примеры решения задач (176).

Приложение к первой части. О решении задач на построение

§ 50. Расчленение условий задачи 170

§ 51. Задача 188

Задачи и упражнения к Приложению 181

Методические указания к Приложению

О так называемом «методе геометрических мест» (181). Схема решения за¬дачи на построение (182). Примеры решения задач (182).

Часть II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Глава VII. Сложение и вычитание векторов

§ 52. Сумма двух векторов 184

§ 53. Сумма двух параллельных переносов   185

§ 54. Нулевой вектор   186

§ 55. Коммутативность сложения векторов . . .    187

§ 56. Ассоциативность сложения векторов. Сумма нескольких векторов . 188

§ 57. Вычитание векторов 191 

Определение суммы векторов; правило трех точек (193). Сумма двух парал-лельных переносов (194). Коммутативность сложения векторов. Правило парал-лелограмма (191). Ассонова живность сложения векторов; сумма нескольких векто-ров; условие замкнутости (195). Вычитание векторов (195). Противоположные векторы (19G). Поведение векторов при движениях (196).

Дополнения и методические указания к главе VII

Сложение векторов (197). Векторы на прямой (197). Поведение векторов при движениях (198). О понятии равенства векторов (199). Вычитание векторов (290). О задачах и упражнениях (200). Примеры решения задач (201).

Глава VIII. Умножение вектора на число

§ 58. Определение умножения вектора на число .    203

§ 59. Свойства операции умножения вектора на число 204

§ 60. Деление отрезка в данном отношении   206

§61. Следствия 208

§ 62. Задачи   209

Задачи и упражнения к главе VIII

Определение произведения вектора на число (211). Свойства умножения век¬тора на число (213). Деление отрезка в данном отношении (215). Середина отрезка (215). Центр тяжести треугольника (217).

Дополнения и методические указания к главе VIII

Определение умножения вектора на число (219). Поведение векторов при го-мотетии (219). Свойства операции умножения вектора на число (219). О решении задач с помощью векторов (221). О задачах и упражнениях (221). Примеры решения задач (222).

Глава IX. Проекции и координаты векторов

§ 63). Проекция вектора на ось 225

§61. Свойства проекции . . 227

§ 65. Координаты вектора   228

§ 66. Разложение вектора по осям координат   229

§ 67. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число .

§ 68. Связь между координатами вектора и координатами точки .... 230

§ 69. Связь координат вектора с тригонометрическими функциями .... 231

§ 70. Формулы приведения 234

Задачи и упражнения к главе IX

Проекция вектора на ось (236). Свойства проекций (237). Координаты векто¬ра (237). Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число (238). Связь между координатами вектора и координатами точки (238). Связь коорди¬нат вектора с тригонометрическими функциями. Формулы приведения (239).

Дополнения и методические указания к главе IX

Определение проекции вектора на ось (240). Вектор как пара чисел (241). Связь координат вектора и координат точки (241). Об определении тригономет¬рических функций (241). О задачах и упражнениях (242). Примеры решения задач (242). 

§ 71. Определение скалярного произведения 244

§ 72. Свойства скалярного произведения . 24")

§ 73. Вычисление скалярного произведения в координатах ........ 247

§ 74. Определение длины отрезка и величины угла . . 248

§ 75. Тригонометрические теоремы сложения . . 251

§ 76. Задачи 253

Задачи и упражнения к главе X

Определение скалярного произведения (255). Свойства скалярного произведе¬ния (255). Вычисление скалярного произведения в координатах. Нахождение длин отрезков и величин углов (256). Разные задачи (257).

Дополнения и методические указания к главе X

Определение скалярного произведения (259). Единственность скалярного произведения (260). Роль скалярного произведения (261). О задачах и упражне¬ниях (261). Примеры решения задач (261).

Глава XI. Метрические соотношения в треугольнике

§ 77. Теорема косинусов 264

§ 78. Формула проекций

§ 79. Вычисление площади треугольника по его элементам 265

§ 80. Теорема синусов 267

§ 81. Решение треугольников

Задачи и упражнения к главе XI

Теорема косинусов (268). Площадь треугольника (269). Теорема синусов (269). Решение треугольников (270).

Дополнения и методические указания к главе XI

О решении треугольников (272). Численные примеры на решение треуголь¬ников (273). О задачах и упражнениях (274). Примеры решения задач (274).

Ответы и указания

Часть I 275

Часть II 285

Дополнительная литература ...... • «... 296

 

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Преобразования. Векторы (Болтянский, Яглом) 1964 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

ПРЕДИСЛОВИЕ

В текущем учебном году в старших классах средней школы вводится новая программа по математике. В частности, курс гео¬метрии IX класса посвящен изучению геометрических преобразова¬ний (осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный пе¬ренос, гомотетия) и элементов векторной алгебры. Обе эти темы ранее никогда не проходились в нашей школе, и введение их, на первых порах, вероятно, вызовет известные трудности. Можно на¬деяться, что трудности эти будут мало заметны учащимся, посколь¬ку школьник всегда в новом учебном году изучает новый для себя материал. Но учителю, разумеется, всегда легче преподавать те разделы курса, где он может применить знания и навыки, полу¬ченные в процессе предшествующей работы, опереться на опыт старших товарищей, использовать методическую литературу. В те¬кущем учебном году учитель геометрии в IX классе будет почти полностью лишен всего этого. Вот почему мы сочли своим долгом наряду с учебным пособием для учащихся IX класса написать и более обстоятельную книгу по тем же вопросам, предназначенную для учителя.

Положение учителя осложняется еще и тем, что разделы гео¬метрии, подлежащие изучению в IX классе, существенно отлича¬ются по своему характеру от других разделов. Традиционный курс геометрии, преподававшийся в школе до сих пор, по общему стро¬ению, по порядку прохождения материала, по идеям и методам восходит еще к знаменитым книгам «Начал» древнегреческого ма¬тематика Евклида, написанным свыше двух тысячелетий тому назад. Новая программа по геометрии решительно порывает с ев¬клидовскими традициями. Она проникнута совершенно иными идеями. Среди них в первую очередь надо указать на представление о фигуре как о множестве точек и о преобразовании как о своеоб¬разной «геометрической» функции. Эти идеи, глубоко чуждые метафизическому мышлению Евклида, явились мощными движу¬щими силами всего современного развития математики; они, бес¬спорно, должны быть отражены в школьных программах и учеб¬никах. Другой характерной чертой современной математики  

является глубокая связь между всеми ее разделами, выражающаяся, в частности, в своеобразной «геометризации» алгебры и «алгебраи- зации» геометрии. Отражением этой черты современной матема¬тики является в новой программе тема о векторах: глубоко геометрическая по своему содержанию, тема эта не случайно носит название «векторной алгебры», поскольку предметом ее является создание своеобразного «геометрического исчисления», приспособленного для решения геометрических задач, но по форме очень близкого к аппарату обычной алгебры.

Важно подчеркнуть, что изучение геометрических преобразо¬ваний и векторной алгебры не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содер¬жание математики, но указывает также новые методы решения содержательных геометрических задач, чрезвычайно важные не только для самой математики, но и для ее приложений — в первую очередь для механики и физики. Огромная роль векторов для механики и для физики общеизвестна. Менее известно большое место, уделяемое современной физикой понятию геометрического преобразования. Место это таково, что рассмотрение симметричных фигур (бабочек, снежинок и пр.) и использование перегибания чертежа для доказательства геометрических теорем можно счи¬тать более характерным для современной науки, чем типичные для школы Евклида рассуждения, связанные с рассмотрением це¬почек равных треугольников, имеющие несколько кустарный характер.

Выпущенное авторами пособие для учащихся демонстрирует один из вариантов реализации указанных выше общих идей в школьном преподавании. Мы понимаем, что при практической работе по новой книге у учителя возникнет много вопросов. Не следует думать, что настоящая книга сможет дать ему ответы на все эти вопросы, что она содержит поурочные разработки или детальные методические указания: ведь составление таких раз¬работок и указаний было бы возможно лишь на основе опыта преподавания по новой программе, а темы «Геометрические преоб¬разования» и «Векторная алгебра» вводятся в практику преподава¬ния впервые. Тем не менее мы надеемся, что ознакомление с на¬стоящей книгой окажет помощь учшелю в его работе.

Книга, предлагаемая вниманию читателя, имеет следующую структуру. Расположение и названия глав в ней полностью со-ответствуют учебному пособию для учащихся. В каждой главе имеются: 1) основной текст, напечатанный крупным шрифтом; 2) задачи и упражнения; 3) дополнения и методические указания. Текст, напечатанный крупным шрифтом (если его собрать воеди¬но), представляет собой расширенный вариант пособия для уча¬щихся (точнее, теоретической части пособия для учащихся). Более полное изложение будет, несомненно, полезно учителю, кое-что из содержащегося здесь дополнительного материала может быть использовано учителем во внеклассной работе или даже рассказано на уроке в классе. Дополнительный материал частично выделен в новые параграфы, отсутствующие в пособии для учащихся; изложение вопросов, разобранных в учебном пособии, также проводится здесь несколько подробнее. Весьма заметно увеличено, по сравнению с учебным пособием, количество рисунков. В част¬ности, изложение почти каждого из рассматриваемых типов гео¬метрических преобразований начинается с параграфа «Примеры и иллюстрации», содержащего наглядный материал, предваряющий систематическое изучение. Особое место среди дополнительного материала занимает приложение к первой части книги, посвящен¬ное задачам на построение, и параграфы 69, 70 и 75, содержа¬щие новый (и, по нашему мнению, рациональный) вариант изло¬жения начал тригонометрии.

Вслед за теоретическим материалом в каждой главе идут «За¬дачи и упражнения». Число задач увеличено по сравнению с пособием для учащихся более чем вдвое. Несмотря на то что по¬собие для учащихся выпущено большим тиражом, мы сочли неце¬лесообразным исключать из полного списка задач, помещенных в этой книге, задачи, вошедшие в пособие для учащихся. Объясня¬ется это прежде всего тем, что авторы придают большое значение системе расположения задач, последовательности их решения и их связи с теорией. Кроме того, нам не хотелось ставить эту книгу в зависимость от пособия для учащихся, так как она представляет, по нашему мнению, и самостоятельный интерес (на¬пример, для студентов педагогических институтов). Наконец, сос¬тавленный нами задачник является первым школьным задачником по темам «Геометрические преобразования» и «Векторы», и его пол¬ная публикация в одной книге, как нам кажется, создаст опре-деленные удобства для читателя (в первую очередь для учителя).

Некоторые задачи повторяются по два раза (см., например, задачи 81, 6666) и теорему на стр. 139, задачи 235 и 693 или задачу 482 и задачу 3 на стр. 210); здесь мы имеем в виду дать возможность сопоставить между собой разные решения одной задачи, что всегда поучительно. Более трудные задачи отмечены звездочками; эти задачи рассчитаны в основном для внеклассных занятий и для индивидуальных заданий более сильным учащимся. В конце книги приведены ответы ко всем задачам, для которых это возможно, а также указания к наиболее трудным задачам.

Большое место в книге занимают дополнения и методические указания, помещаемые в конце каждой главы (после задач и упражнений). Их основная цель—создать у учителя правильное представление о научном содержании изучаемой части курса. Здесь имеются также и некоторые прямые методические рекомендации. Дополнения и методические указания к каждой главе заверша¬ются обсуждением предложенных задач; для ряда характерных задач приводятся подробные решения. 

В конце книги указан довольно большой список дополнительной литературы, который, бесспорно, окажется полезным читателю, пожелавшему глубже ознакомиться с новыми темами, вводимыми в школьный курс геометрии. Многие из указанных в списке литературы книг могут быть использованы во внеклассной работе с учащимися.

Эта книга написана для учителя; однако нам кажется, что она может оказаться интересной и полезной и для наиболее сильных учащихся, пожелавших несколько выйти за пределы школьного курса. Разумеется, дополнения и методические указа¬ния к отдельным главам, как правило, не рассчитаны на школь¬ников; эту часть книги учащийся может опустить. Мы надеемся, что книга будет полезна также студентам педагогических инсти¬тутов. Этой категории читателей мы советуем, напротив, обратить особое внимание на дополнения и методические указания.

Пособие для учащихся, а также значительная часть настоящей книги неоднократно обсуждались педагогической общественно¬стью. Мы считаем своим приятным долгом выразить искреннюю признательность всем лицам, принимавшим участие в обсуждении книги и оказавшим нам помощь советами и указаниями, в том числе В. Г. Ашкинузе, К. С. Богушевскому, В. А. Жарову, О. А. Котию, Е. Г. Крейдлину, С. В. Кудрявцеву, А. Д. Сему- шину, Р. С. Черкасову, С. И. Шварцбурду, А. А. Шершевскому

рову, А. И. Маркушевичу и 3. А. Скопецу.

В. Г. Болтянский, И. 1VI. Яглом 

 

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика