• 1. Обучение решению задач методами геометрических преобразований —
• 2. Обучение решению задач векторным методом 102
• 3. Обучение решению задач координатным методом 116

В. А. Гусев, Ю. М; Колягин,

Г. Л. Л у к а н к и н, Д. И. X а н

Векторы и их применение к решению задач . . 126

• 1. Векторы . 128
• 2. Операции над векторами . 133
• 3. Приложение векторов к доказательству теорем и решению задач . . 141
• 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов . . 155

3. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Избранные вопросы теории преобразований подо* бия плоскости и ее применение к решению задач 181

• 1. Гомотетия, ее свойства и признак 186
• 2. Композиция гомотетий 193
• 3. Композиция гомотетии и перемещения. Преобразование подобия плоскости 195
• 4. Свойства преобразований подобия. 196
• 5. Построение центра преобразования подобия 207
• 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований 212

А. М. Абрамов Начальные понятия геометрии . 227

• 1. Предварительные сведения . 228
• 2. Следствия из аксиом принадлежности расстояния и порядка на плоскости 231
• 3. Некоторые следствия из аксиомы порядка на плоскости 237
• 4. Углы 242

А. М. Абрамов Аксиома подвижности и ее следствия 247

• 1. Общие свойства перемещений . —
• 2. Аксиома подвижности . 250
• 3. Свойства осевой симметрии 254
• 4. Конгруэнтные фигуры . 257
• 5. Повороты 262
• 6. Измерение углов . 266
• 7. Теорема Шаля . 273

Р. А. Хабиб

К проблеме формирования знаний учащихся о логическом строении школьного курса математики 279

ПРЕДИСЛОВИЕ

Советская школа за последние годы претерпела серьезные изменения в области содержания обучения. Особенно существенные изменения произошли в преподавании школьного курса геометрии. Математики, методисты и педагоги всегда считали одной из сложнейших проблем — преподавание геометрии в средней школе. Сейчас в восьмилетней школе действуют программы и учебные пособия по геометрии, созданные под руководством академика А. Н. Колмогорова. В 1978 г. наши школы полностью закончили первый этап перехода на новое содержание школьного математического образования. Это позволяет подвести некоторые итоги, обобщить опыт.

Решения XXV съезда КПСС и декабрьское (1977 г.) постановление ЦК КПСС определяют новые серьезные задачи перед нашей школой в деле совершенствования школьного математического образования. Это в значительной степени относится к вопросам совершенствования преподавания курса геометрии в 6—8 классах, который в настоящее время вызывает серьезные трудности у учащихся и учителей.

Дело в том, что при построении курса геометрии изменился не только язык (он стал более современным), не только методика изложения различных тем и порядок их изучения, но изменилась сама основа построения курса, те основополагающие идеи, которые в нем заложены. Перед школой встают многочисленные проблемы, связанные с совершенствованием методики реализации этого нового содержания, с решением проблем воспитательного и мировоззренческого порядка, с обеспечением политехнического и профориентационного характера построения учебного материала, а также с вопросами обеспечения предметов естественнонаучного цикла необходимым математическим аппаратом. Охарактеризуем некоторые трудности в реализации указанных направлений,

I. Говоря о совершенствовании методики изложения содержания нового курса геометрии, нельзя не обратить внимания на структуру этого курса. Дело в том, что в настоящее время геометрический материал, изучаемый учащимися в школе, можно разбить на четыре основных этапа: I — начальная школа (1—3 классы); II — пропедевтический геометрический материал

(4—5 классы); III — систематический курс планиметрии (6—8 классы); IV — систематический курс стереометрии (9—10 классы). Уже само перечисление этих этапов показывает необходимость строгого очерчивания содержания каждого из этих этапов, а также вскрытия основных психологических, педагогических и методических принципов, заложенных в процессе обучения учащихся данного возраста. При изучении геометрического материала на каждом из указанных этапов учащиеся сталкиваются о изучением одних и тех же понятий, при этом некоторые из них в процессе перехода от одного этапа к другому получают свое уточнение и развитие, другие уже с самого начала (или почти с самого начала) формулируются строго математически, многие из встречающихся понятий формируются посредством изучения геометрического материала предыдущих периодов и т. д. Содержание каждого этапа прохождения геометрического материала имеет большие пересечения не только при формировании понятий, но и при рассмотрении свойств геометрических фигур и отношений между ними. Можно привести в качестве примера вопросы, связанные с изучением геометрических преобразований. Первоначальные представления об основных видах перемещений появляются в 4—5 классах, в 6—8 классах в курсе планиметрии даются определения преобразованиям плоскости, а в курсе стереометрии 9—10 классов — определения преобразованиям пространств. Все это уже само по себе заставляет серьезно задуматься над методикой формирования указанных понятий.

Особо следует отметить вопросы использования полученных знаний при изучении последующих разделов курса. В качестве примера рассмотрим вопросы, -связанные с изучением центральной темы курса — «Векторы». Так, для формирования понятия «вектор» необходимо усвоить такие понятия, как «отображение», «перемещение», «направление», «параллельность», «сонаправленность», «параллельный перенос» и т. д. Само же понятие «вектор» в курсе планиметрии является основой для изучения гомотетии и ее свойств, служит основой для получения соотношений между элементами в прямоугольном треугольнике, находит весьма существенное применение при изучении перпендикулярности в пространстве и т. д.

II. Школьный курс геометрии, как и любой другой предмет, изучаемый в средней школе, должен преследовать общие установки общеобразовательной средней школы — формирование марксистско- ленинского мировоззрения учащихся. Действительно, на материале школьного курса геометрии есть полная возможность формировать элементы этого мировоззрения, так как при изучении содержания геометрического материала мы встречаемся с такими категориальными фундаментальными понятиями, как «материя», «время», «движение», «пространство» и т. д. Другой стороной воспитания мировоззрения учащихся является ознакомление их с методологическими проблемами науки: фактами истории борьбы материализма с идеализмом, формированием материалистической концепции теории познания, например концепции о решающей роли

человеческой практики как средства добывания научных знаний и как главного критерия их истинности. Большое внимание должно быть уделено принципу историзма.

III. Никакое математическое содержание не может быть усвоено учащимися, а главное, не может заинтересовать их, если ученик сам не увидит тех приложений, которые имеют изученные им математические факты. Современные школьные учебники и учебные пособия недостаточно показывают те приложения, которые имеет курс геометрии. В этом отношении следует констатировать тот факт, что элементы политехнизма в изучении курса школьной геометрии еще недостаточно изучены. По мнению многих ученых, вся математика является наукой прикладной. И здесь следует выделить аспекты, которые необходимы для ее собственного развития, а также для развития других естественнонаучных дисциплин.

Анализ современных учебников и учебных пособий показывает, что в них имеется незначительное количество задач, имеющих прикладную направленность, заметим, что содержание многих из них также малоудовлетворительно. Все сказанное означает, что разработка таких задач, методика их внедрения в школу является первостепенной и неотложной задачей. Говоря о политехнизме в обучении геометрии, следует неразрывно соединять элементы прикладной направленности построения курса с профессиональной ориентацией учащихся. Совершенно ясно, что на уроках геометрии довольно трудно полностью показать учащемуся основной характер и содержание работы человека какой-либо профессии, но показать, как геомегрические знания могут быть использованы в работе человека определенной специальности, безусловно, можно.

IV. Одно из центральных мест в решении проблем преподавания геометрии в средней школе является отражение в нем межпредметных связей. Во всех предыдущих разделах мы так или иначе уже затрагивали эти вопросы, поэтому мы ограничимся перечислением тех основных разделов курса геометрии, которые наиболее часто используются при изучении дисциплин естественнонаучного цикла. Достаточно указать на то, что включение темы «Векторы» в курс геометрии 7 класса вызвано тем, что с первых уроков физики в 8 классе векторы постоянно используются. Говоря об этом, следует отметить, что в настоящий момент вопросы взаимосвязи материала, связанного с изучением векторов курса геометрии и физики, еще полностью не решены. Весьма важным и близким к только что рассмотренному разделу является изучение величин на уроках геометрии и физики. Другие преобразования плоскости, изучаемые в геометрии, также находят свое применение при рассмотрении вопросов курса физики, так в частности, изучение прямолинейного, вращательного и криволинейного движения тесно связано с поворотами и композициями поворотов и векторов.

Весьма тесны связи курса геометрии и алгебры, геометрии и алгебры и начал анализа. Это и применение преобразований плос

кости к построению графиков, геометрические иллюстрации уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств; изучение тригонометрического материала в курсе геометрии 8 класса и в курсе алгебры и начала анализа в 9—10 классах; изучение площадей и объемов в геометрии и алгебре и началах анализа.

Многие из перечисленных выше проблем находят свое решение (или пути к решению) в статьях настоящего сборника.

Статьи сборника можно условно разбить на две группы. Первые три из них и последняя посвящены общим вопросам преподавания геометрии в 6—8 классах, остальные — решению более частных методических вопросов. В некоторых из этих статей можно найти обсуждение одних и тех же проблем преподавания геометрии в 6—8 классах, однако решено было оставить этот материал, так как авторы по-разному подходят к их решению.

Остановимся кратко на содержании рассматриваемых в этих статьях вопросов и на возможностях практического применения имеющихся там рекомендаций.

В первой статье В. А. Гусева и С. С. Варданяна«Лреиодава- ние геометрии в 6—8классах: внутрипредметные и межпредметные связи» затрагивается широкий круг вопросов, связанных с изучением планиметрии в школе. При этом материал статьи затрагивает в основном проблемы внутрипредметных и межпредметных связей этого курса. Рассматривая проблемы внутрипредметных связей, авторы анализируют структуру изложения материала курса геометрии средней школы, используемую в нем символику, взаимосвязь некоторых наиболее важных разделов курса, вопросы формирования понятий, навыки в проведении доказательств теорем, взаимосвязи во введении и использовании аксиоматик плоскости и пространства и т. д. Менее детально рассматривается проблема межпредметных связей. Авторы выделяют взаимосвязи планиметрии с алгеброй, с алгеброй и началами анализа, останавливаются на системе прикладных задач, обеспечивающей в той или иной мере решение проблем межпредметных связей, затрагивают некоторые аспекты связей геометрии и физики.

В статье Г. Г. Масловой «Пути повышения эффективности урока* ставится важный для школы вопрос — поиск путей эффективности обучения, в частности нормализации нагрузки учащихся. В статье предложены конкретные рекомендации по устранению имеющихся существенных недостатков в организации учебного процесса.

В статье Ю. М. Колягина и Д. С. Зейналова «Вопросы методики применения задач в обучении геометрии* формулируются важнейшие требования к отбору системы задач при изучении программного материала. При этом авторы показывают роль, место и функции задач в обучении, их развивающее и воспитательное значение.

В статье Г. И. Саранцева «О методике решения планиметрических задач* рассматриваются эффективные методы обу

чения учащихся решению задач. Автором разработан метод поэлементного формирования умений в применении геометрических преобразований, векторов и координат к решению задач.

В статье А. М. Абрамова «Начальные понятия геометрии» дается анализ системы аксиом курса школьной геометрии, предложенной академиком А. Н. Колмогоровым, обосновываются основные факты, освещаются вопросы, вошедшие в учебное пособие. В этой статье рассматриваются все аксиомы, кроме аксиомы подвижности, которая не входит в обязательный для учащихся материал . Эта аксиома и следствие из нее обсуждаются в другой статье сборника того же автора «Аксиома подвижности и ее следствия».

В статье В. А. Гусева, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина, Д.И. Кэна «Векторы и их применение к решению задач» рассмотренвеськругвопросов, связанный с введением и использованием векторов в курсе планиметрии. Здесь рассматриваются все операции над векторами на плоскости, методика решения задач с использованием векторов, а также система таких задач. В статье затронуты некоторые вопросы, не входящие в программу 6—8 классов (скалярное произведение векторов, перемещение векторов). Однако учителю, работающему в 6—8 классах, необходимо представлять весь векторный аппарат на плоскости, так как ученик должен быть к нему подготовлен, тем более что в старших классах векторам на плоскости уделено мало внимания.

В статье 3. А. Скопеца и Л. И. Кузнецовой «Избранные вопросы теории преобразований подобия плоскости и ее применение к решению задач» дан обширный материал по преобразованиям подобия плоскости, расширяющий и углубляющий знания учителя поданному вопросу. Как известно, в школьных программах мы знакомим учащихся лишь с одним преобразованием подобия — гомотетией. В статье показано, как это преобразование может активно работать при решении геометрических задач.

Заключает сборник статья Р. А. Хабиба «К проб ле ме формирования знаний учащихся о логическом строении школьного курса математики».

Совершенно ясно, что статьи одного сборника не могут полностью охватить все проблемы преподавания геометрии в 6—8 классах средней школы. Вместе с тем в них имеется, с нашей точки зрения, ценный материал для учителя, позволяющий ему повысить свою общую математическую подготовку и получить полезные рекомендации для практической деятельности в школе.

Составитель сборника и авторы статей приносят свою глубокую благодарность академику А. Н. Колмогорову, который сделал ряд существенных замечаний, а также рецензентам: профессору И. М. Дглому, методистам Ф. М. Барчуновой и Ю. П. Дудницину, учителю В. Л. Кронгаузу, чьи предложения и замечания способствовали улучшению содержания и оформления книги.

В. А. Гусев

P. A. X а б и б

К ПРОБЛЕМЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ¹ О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Возможны различные подходы к пониманию термина «логическое строение курса математики». Один из них узкодедуктивный, ограничивающийся рамками формальной логики и явно или неявно принятыми требованиями аксиоматического построения систематического курса математики в школе. При таком толковании формирование знаний о логическом строении курса обедняется и фактически сводится лишь к известным четырем пунктам структуры школьного курса геометрии восьмилетней школы, объясняющим формально-логические взаимосвязи основных и всех других понятий, аксиом и теорем.

Но нельзя здесь не принимать во внимание установку на активизацию самостоятельной учебной работы учащихся в пополнении знаний, определенную в решениях XXV съезда КПСС и недавних директивных документах о школе. К тому же самостоятельное пополнение учащимися всех основополагающих знаний о структуре и методах самой математики нельзя представить без активного применения этих знаний в учебно-познавательной работе по изучению школьного курса.

Следовательно, при таком подходе указанные четыре пункта формально-логической взаимосвязи понятий, аксиом, теорем должны стать для учащихся сознательным ориентиром в организации собственной творческой учебно-познавательной работы по изучению школьного курса математики. Мало того, активизация самостоятельной работы учащихся требует дальнейшего расширения подхода к пониманию термина «логическое строение школьного курса математики». Дело в том, что сами творческие исследования ученых- математиков представляют собой сочетание формально-логических требований в дедуктивном построении здания математической науки с использованием индукции, опыта, эксперимента, правдоподобных заключений, догадок, гипотез (т. е. всего того, что характерно для познавательной деятельности естественнонаучного ха

¹ Условимся для краткости обозначать термином «знания» словосочетание «знания, умения, навыки».

рактера). Для учащихся ознакомление со структурой и компонентами общепознавательной деятельности тем более оправдано, так как оно диктуется интересами доступности в изучении курса математики, связывания его с практическими потребностями и приложениями, увеличения возможностей активного и самостоятельного его изучения учащимися.

Рассмотренный расширенный подход к пониманию термина «логическое строение школьного курса математики», таким образом, значительно усиливает воспитывающие и развивающие функции формирования этих знаний у учащихся. Рассматриваемый термин обогащается за счет знаний о логическом строении познавательной деятельности по математике, которая строится как исследовательская. Особенность нашего подхода к рассматриваемой проблеме заключается в стремлении разумно расширить состав знаний учащихся о логическом строении математики, с тем чтобы такое расширение соответствовало максимальной реализации воспитывающей и развивающей функции формирования этих знаний¹.

Покажем, что сформулированный выше подход необходим при решении задачи развития математического мышления учащихся, составной частью которой является задача формирования знаний учащихся о логическом строении математической теории (и математической деятельности по изучению этой теории).

Мышление является опосредствованным и обобщенным познанием человеком предметов и явлений объективной действительности в их существенных свойствах, связях и отношениях. Известно, что мышление зарождается в чувственном познании (ощущения, восприятия, представления), а затем выходит за его пределы. С помощью мышления человек может познавать то, что органами чувств непосредственно не воспринимается. В. И. Ленин писал по этому поводу, что представление не может схватить движения в целом (например, оно не схватывает движения с быстротой 300 000 км/с), а мышление схватывает и должно схватить.

Раскрытие непосредственно не данных свойств, связей, отношений наблюдаемых предметов и явлений объективной действительности— область абстрактного мышления. Оно осуществляется посредством речи, при помощи которой люди выделяют и абстрагируют существенные признаки объектов, обобщают их и на основе имеющихся знаний делают новые умозаключения. Полученные выводы проверяются в процессе общественной практики.

Совершается процесс мышления посредством так называемых мыслительных действий, представляющих собой познавательные акты, выходящие за пределы чувственного познания. Эти познавательные акты, учат психологи, совершаются посредством операций, результаты которых складываются в форме суждений, умозаключений о новых свойствах, связях, отношениях наблюдаемых объектов.

¹ В разработке этой проблемы, ее опытной проверке и составлении материалов, использованных в настоящей статье, принимал участие Р. К. Турсунов (г. Термез).

Исходными мыслительными операциями, на основе которых осуществляются другие операции, являются анализ (разложение, расчленение) и синтез (соединение). Анализ и синтез имеют место и в чувственном познании. В процессе мышления они приобретают новое содержание и новые особенности, выступая как две стороны единого процесса познания истины. Всякий вопрос, всякое решение задачи требует анализа и синтеза в их различных связях.

Единство операций анализа и синтеза проявляется в таких мыслительных операциях, как сравнение (установление сходства и различия объектов) и систематизация (организация объектов в определенную систему на основе выбранного принципа). В процессе мышления анализ и синтез переходят в производные от них мыслительные операции — абстрагирование и обобщение.

Операции возникают из мыслительных действий. Так, с помощью таких мыслительных действий, как мысленное отвлечение одних (существенных) свойств объектов (к примеру, формы или величины) от других (несущественных) их свойств, равно как и от самих объектов, осуществляется операция абстрагирования. В свою очередь абстрагирование подготовляет обобщение, т. е. мысленное объединение объектов по их общим и существенным признакам, раскрытие общих и особенных (частных) свойств, связей и отношений изучаемых объектов. Восходя от конкретного к абстрактному, от особенного к общему, мышление в процессе применения анализа и синтеза и других мыслительных операций вновь возвращается к конкретному, но уже обогащенному знанием общего, знанию многосторонних связей и отношений объектов.

Получаемые в мыслительных действиях познавательные результаты находят свое выражение в форме суждений. Суждения — это предложения, в которых утверждаются (или отрицаются) какие-либо связи или отношения между изучаемыми объектами. Даже в таких простых предложениях, как «Иван есть человек», отмечал Ленин, можно вскрыть зачатки всех элементов диалектики (единство и различие отдельного и общего, случайного и необходимого, взаимную связь и переходы этих противоположностей), показав тем самым, что диалектика свойственна всему познанию человека.

Суждение может быть истинным или ложным, т. е. соответствующим или не соответствующим действительности. Если исследуется истинность суждения, то мышление приобретает форму рассуждения, направленного на его подтверждение, доказательство или же опровержение. В рассуждениях на основе имеющихся суждений переходят к новым, т. е. осуществляют умозаключения.

Различают два основных вида умозаключений: от частных случаев к общему выводу (индукция) и от общих положений к частным случаям (дедукция). Многие познавательные задачи требуют применения как индукции, так и дедукции (например, часто ложность дедуктивного вывода устанавливается индукцией; именно таков метод «контрпримера» в математике). Умозаключения дела

ются по аналогии, т. е. установлением сходства одних частных случаев с другими. В процессе мышления возникают догадки, гипотезы, т. е. так называемые правдоподобные суждения, в которых выражаются предполагаемые ответы на изучаемые вопросы, проблемы, решаемые человеком.

В результате мышления складываются понятия, по известному выражению В. И. Ленина, «высший продукт мозга, высшего продукта матерки». Понятие складывается из суждений, представляя собой синтез суждений о существенных свойствах определенного объекта. Каждое понятие — итог познания, который включается в новую мыслительную деятельность.

Взаимосвязь понятий и суждений снова показывает диалектич- ность мышления. Понятия образуются из суждений. С другой стороны, в каждом суждении мы оперируем уже сложившимися понятиями и приходим к новым выводам, уточняющим и обобщающим понятия.

Осуществленный нами краткий обзор современных научных представлений о мышлении позволяет обосновать целесообразность (пока только с позиций усиления развивающей функции обучения!) двоякого подхода к термину «логическое строение математики», когда математика рассматривается, с одной стороны, как «готовая» математическая теория и, с другой стороны, как познавательная деятельность, в результате которой эта математическая теория создается. Становится ясным, что логическое строение курса математики описывается структурой «понятия — суждения — умозаключения». Но из предыдущего анализа ясно также, что сюда необходимо включить и знания о логике построения познавательной деятельности по математике, имеющей естественнонаучный характер.

Развивающие и воспитывающие функции обучения тесно друг с другом связаны: они во многом пересекаются и во многом дополняют друг друга. Так, усиление функции развития мышления школьников, функции развития их познавательных способностей, которые мы только что рассмотрели, означает в то же время усиление умственного воспитания школьников, формирования их диалектико-материалистического мировоззрения, усиление политехнической и прикладной направленности в изучении математики. В то же время эти направления, характеризующие в целом усиление воспитывающей функции формирования знаний учащихся о логическом строении математики, помогают дополнить и обогатить содержание работы по развитию их мышления и познавательных способностей.

Представление о педагогической роли формирования знаний о логическом строении математики будет неполным, если не подчеркнуть связанное с этим формированием усиление его обучающей функции. Более высокий логический, познавательный, математический уровень учебной работы школьников не может не углубить усвоение ими школьного курса математики, не может не

повысить сознательность и прочность этого усвоения. В то же время психологические возможности развития мышления учащихся не ограничивают соответствующую работу с VI—VIII и даже с IV—V классами. Разумеется, чем младше учащиеся, чем меньше их опыт, приобретенный в результате показа учителем всех логических компонентов изучения курса, тем больше учителю приходится брать «на себя»: и при постановке логических и познавательных вопросов, и при обсуждении ответов на них. Однако, как показывает передовой педагогический опыт, в последующем доля и объем активного участия учащихся в этой учебно-познавательной работе непрерывно возрастает.

При этом независимо от класса обучения (если не считать различия в соотношении объяснений учителя и учебной работы учащихся) учебно-познавательная деятельность учащихся по изучению математики проходит в основном одни и те же этапы естественнонаучного исследования:

1. Осознание проблемы или мотива исследования (осознание необходимости или пользы решения нового познавательного вопроса, возникшего на базе имеющихся знаний, имеющихся умений решать определенные математические задачи, в том числе и прикладного характера).

2. Наблюдение ряда частных случаев, проведение опыта, эксперимента (применение операции сравнения и умозаключения по аналогии, основанной на сходстве рассмотренных частных случаев).

3. Высказывание догадок, выработка гипотезы (применение операции абстрагирования существенных свойств и связей от несущественных, а также операции обобщения существенных свойств и связей).

4. Осознание необходимости дедуктивного доказательства. Предварительная проверка степени правдоподобности заключения, взятого в качестве гипотезы (попытка найти опровергающий частный случай, «контрпример»).

5. Дедуктивное обоснование гипотезы, ее доказательство или опровержение. В последнем случае исследование повторяется вновь, начиная со второго или третьего этапа.

6. Поиски практических или познавательных приложений полученного математического результата (свойства, формулы, теоремы и др.). К числу познавательных приложений относится изучение возможностей использования полученной теории к решению новых типов математических задач и упражнений, к нахождению новых способов решения известных математических задач и упражнений, возможности дальнейшего развития этой теории.

В зависимости от особенностей математического содержания изучаемой темы (раздела) некоторые этапы исследования могут опускаться учителем или совмещаться с соседними. Например, первый этап при изучении достаточно мелких вопросов снимается, при этом зачастую его роль играет последний, шестой этап учебнопознавательного исследования предыдущей темы (раздела) курса.

Иногда первый этап целесообразно совместить со вторым: проблема исследования осознается учащимися в форме противоречия между правдоподобным суждением и пониманием того, что необходимо его дедуктивное доказательство.

Возможности эффективной организации учебной работы школьников по изучению курса математики восьмилетней школы, которое строится как естественнонаучное исследование, детально рассмотрены автором настоящей статьи в его книге «Организация учебно-познавательной деятельности учащихся (на материале математики). Аспект сочетания и взаимодействия коллективной и индивидуальной работы» (М., Педагогика, 1979).

Возвращаясь к составу знаний учащихся о логическом строении курса математики, которые представляется желательным сформировать (с точки зрения осуществленного выше педагогического анализа), можно определить его следующими логическими и познавательными компонентами:

1. Знания об основных мыслительных операциях (анализ, синтез, сравнение, систематизация, абстрагирование, обобщение и др.).

2. Знания о видах понятий, суждений, умозаключений и их взаимной связи.

3. Знания о логическом строении математики при изложении «готовых», т. е. открытых и изученных ранее, разделов математической теории (выбор основных понятий и аксиом, определение всех других понятий и доказательство теорем).

4. Знания основных положений, характеризующих становление диалектико-материалистического мировоззрения учащихся, включая сюда диалектический метод мышления (диалектической логики).

5. Знания отдельных этапов и всей структуры познавательной деятельности по изучению математики исследовательского содержания и естественнонаучного характера.

Следует сразу же оговориться, что рассматриваемый состав знаний учащихся определяется не только этими компонентами, но и их взаимным сочетанием. Так, 2-й и 3-й компоненты, рассматриваемые по отдельности, могут быть истолкованы как чисто формально-логические. Их сочетание с 4-м и 5-м компонентами определяет введение наряду с элементами формальной логики элементов диалектической логики, в частности, определяет целесообразность проведения умозаключений в виде сочетания индукции с дедукцией.

Изучая состав знаний учащихся о логическом строении курса математики, можно заметить, какое особое место занимают здесь 4-й и 5-й компоненты. С учетом этих компонентов сильно меняется содержание каждого из трех первых компонентов. Так, знания о мыслительных операциях анализа, синтеза, сравнения и др. значительно обогащаются, если рассматривать их на различных этапах познавательной деятельности исследовательского содержания и естественнонаучного характера. Многократно увеличивается объем упражнений, естественно возникающих в ходе учебной работы, на применение этих операций, которые учитель может предложить 284

учащимся для самостоятельного выполнения. Мыслительные операции могут войти, таким образом, в фонд активных логических знаний учащихся. Взаимосвязь рассматриваемых компонентов знаний учащихся о логическом строении курса математики, конечно, не исключает возможности самостоятельной разработки каждого из них учителем, методистом. Но мы убедились, что даже такую разработку следует начинать с учетом взаимообусловленности логических и познавательных компонентов изучения школьного курса математики, которое строится учителем как творческое естественнонаучное исследование.