ПРЕДИСЛОВИЕ

Переход советской школы на новое содержание образования, сближение школьного курса математики с основными понятиями, идеями, методами современной науки представляет собой глубоко прогрессивное явление. Достаточно указать на то, что взамен потерявших свою познавательную ценность и непринципиальных вопросов в школьный курс были введены такие разделы, как дифференциальное и интегральное исчисления, такие мощные математические методы, как векторный и координатный.

Обновленная система изучения математики в школе поставила перед методикой математики ряд принципиально новых проблем. Взять, к примеру, введение в школьный курс векторного и координатного методов. Использование алгебраического аппарата значительно повысило возможности учащихся в решении геометрических задач. С другой стороны, именно в силу эффективности алгебраических методов наносился определенный урон формированию пространственных представлений школьников, традиционных, «чисто» геометрических умений и навыков. Учителя были поставлены перед выбором. Следовало определенным образом ограничить применения векторного и координатного методов в доказательстве теорем и решении геометрических задач (что, очевидно, связано с некоторым изменением содержания и установок программы по математике) или же в противном случае следовало усилить интенсивность и целенаправленность формирования пространственных представлений школьников за счет ряда специальных приемов: например, проведения алгебраических выкладок только после тщательного анализа геометрических особенностей рассматриваемых фигур (с последующим изучением вопроса, как изменяется алгебраическое решение при изменениях условия геометрической задачи); ознакомления учащихся со свойствами параллельного проектирования, начиная с восьмилетней школы, и т. п. Но может быть истина здесь в «золотой середине»?

В соответствии с постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 22 декабря 1977 г. «О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду» школьные учебники (в том числе и учебники математики) разгружаются от чрезмерно усложненного и второстепенного материала. По инициативе отделения математики АН СССР и Министерства просвещения РСФСР начат широкий эксперимент по проверке «параллельных» пробных учебников математики, соответствующих программам, опубликованным журналом «Математика в школе», 1979, № 2 и 3.

В связи с закладкой действующих учебников математики в школьные фонды (бесплатного пользования) в них вводятся соответствующие коррективы. Переработанный вариант учебника стереометрии для IX и X классов будет выпущен к 1982/83 учебному году. Но уже сейчас учителям математики, очевидно, будет полезно ознакомиться с некоторыми основными вопросами совершенствования преподавания геометрии в IX и X классах общеобразовательной школы, с накопившимся опытом обучения курсу стереометрии.

Данный сборник статей состоит из двух частей: одна из них посвящена частнометодическим вопросам преподавания курса стереометрии. В эту часть вошли статьи Л. М. Лоповка «Параллельность в пространстве», М. И. Ягодовского «Перпендикулярность в пространстве», Л. М. Лоповка «Изображение фигур в стереометрии», 3. М. Скопеца «Векторное решение стереометрических задач», М. И. Ягодовского «Изучение объемов и площадей поверхностей многогранников и фигур вращения».

Не все статьи этой части сборника имеют одинаковые методические задачи и структуру. Например, в статьях «Параллельность в пространстве», «Перпендикулярность в пространстве» изложение ведется на базе действующего учебника геометрии. В статье «Векторное решение стереометрических задач» обсуждается проблема более широкого применения аппарата векторной алгебры на изучении ряда стереометрических вопросов. Автор, в частности, старит своей целью убедить читателя в определенных преимуществах векторного решения геометрических задач перед классическими методами. Представленный им набор задач может быть использован учителем в настоящее время в некоторой степени на уроках математики, а также в основном на внеклассных и факультативных занятиях, посвященных изучению методов решения геометрических задач. В статье «Изучение объемов и площадей поверхностей многогранников и фигур вращения» излагаются различные возможные варианты изучения этого раздела и приводятся некоторые дополнительные сведения, полезные для самообразования учителей.

В другую часть сборника вошли все остальные статьи общеметодического характера: Б. И. Аргунова «О некоторых путях и средствах реализации воспитательных функций школьного курса математики», Р. А. Хабиба «Проблема взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в восьмилетней и средней школе»,

В. А. Гусева и О. X. Усманова «Преемственность в изучении преобразований плоскости и пространства», Е. Б. Арутюнян и Г. Г. Левитаса «Наглядность в преподавании стереометрии», П. М. Камаева «Учебное оборудование по стереометрии для IX—X классов», Б. А. Розенфельда «История развития содержания современного школьного курса геометрии».

В приложении к книге дана статья Г. Д. Глейзера, освещающая некоторые психологические и методические вопросы развития пространственных представлений школьников в процессе обучения геометрии.

Редакция просит читателей высказать свое мнение об этой книге по адресу: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики. Книгу рецензировали: лаборатория математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, методист Красногвардейского района Москвы Н. Н. Решетников, учитель школы № 446 Москвы, Л. Д. Иванова, доцент МГПИ им. Ленина В. Н. Костицын.

Редакция математики.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Глейзер Г. Д.

ПСИХОЛОГО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

В решениях XXV съезда КПСС, постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду» (декабрь, 1977) перед педагогической наукой и практикой ставятся задачи совершенствования содержания и методов обучения, улучшения трудового воспитания и подготовки учащихся к труду в сфере материального производства. Успешная реализация этих задач требует разработки таких актуальных проблем, как формирование у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения, развитие логического мышления, совершенствование практических умений и навыков и т. д. В ряду таких актуальных проблем важное место занимает проблема формирования и развития пространственных представлений у учащихся.

Вместе с тем сейчас явно наметилось объективное противоречие между ролью пространственных представлений и воображения в структуре развитого интеллекта в современном мире и низком уровне их развития у выпускников средней школы.

С одной стороны, развитые пространственные представления в условиях НТР являются существенно важным и необходимым элементом в подготовке школьников к практической деятельности, к труду в сфере материального производства, к пониманию современных проблем физики, астрономии, космонавтики. Развитые пространственные представления необходимы инженерно-техническим работникам, военным, рабочим многих отраслей производства, рационализаторам, изобретателям, наконец, всем для понимания современных взглядов на реальное физическое пространство.

С другой стороны, мы имеем дело с недопустимо низким уровнем их развития у школьников и явной тенденцией к понижению по многим показателям. Есть опасность, что такое несоответствие может привести к снижению уровня подготовки квалифицированных рабочих и инженерных кадров в нашей стране. В качестве основного фактора, определяющего названное противоречие, выступает методика обучения геометрии, в которой все большее внимание уделяется аналитическим и формально-логическим методам, раннему последовательному абстрагированию, строгой аксиоматизации в ущерб интуитивным подходам, конструктивным методам, воображению школьников.

Советской школой накоплен значительный опыт в создании и совершенствовании методов формирования и развития пространственных представлений учащихся. Имеются работы, в которых исследуются отдельные педагогические аспекты рассматриваемой проблемы, в том числе работы по методике обучения геометрии. Многие конкретно-методические вопросы, связанные с разработкой методов формирования и развития пространственных представлений в процессе обучения геометрии, рассмотрены в работах Н. М. Бескина, В. Г. Болтянского, А. Д. Ботвинникова, Г. А. Владимирского, И. Г. Вяльцевой, Н. И. Ирошникова, Ю. М. Калягина, Г. Г. Масловой, В. М. Монахова, Е. М. Песенной, А. А. Постнова, А. М. Пышкало, А. Д. Семушина, 3. А. Скопеца, А. А. Столяра, И. Ф. Тесленко, А. И. Фетисова, Р. А. Хабиба, Р. С. Черкасова, Н. Ф. Четверухина, С. И. Шварцбурда, М. И. Ягодовского и многих других методистов. Благодаря этим исследованиям в школьной практике применяются разнообразные методы развития пространственных представлений у учащихся в процессе обучения геометрии. Однако исследования названных авторов посвящены разработке отдельных, как правило частнометодических аспектов проблемы. Вместе с тем остается неразработанной система научно обоснованных и экспериментально проверенных методов, позволяющих эффективно управлять процессами развития пространственных представлений школьников, такая система методов, которая опиралась бы на последние, довольно богатые и разнообразные, результаты по психологии восприятия пространства. Кроме того, педагогические исследования проблемы проведены на материале старых, теперь уже отживших школьных программ. В этом одна из главных, по нашему мнению, причин того, что развитие пространственных представлений учащихся в процессе обучения геометрии осуществляется бессистемно, органически не связано с новыми идеями и методами школьного курса геометрии и малоэффективно. В школе сейчас фактически отсутствует такая система работы. Об этом свидетельствуют отзывы учителей средней школы, преподавателей ПТУ, техникумов и вузов, результаты экзаменов, проведенные нами исследования. С введением новых программ традиционно сложившаяся работа по развитию пространственных представлений учащихся нарушена по ряду причин: новые программы по геометрии большее внимание уделяют аналитическим методам, а геометрические и конструктивные методы существенно потеснены; учебные пособия по геометрии только складываются; специальных сборников упражнений, предназначенных для развития пространственных представлений, пока не существует; специальные методические пособия устарели, а новые пока не созданы. Вместе с тем сейчас многое может быть сделано для формирования групповых, функциональных, векторных и других важных геометрических представлений, позволяющих формировать у учащихся современные и разнообразные представления о пространстве.

Основная задача данной статьи заключается в том, чтобы раскрыть перед учителем сущность пространственных представлений и лишь наметить основные пути совершенствования их развития у школьников в процессе обучения геометрии.

С современных позиций основу геометрии составляет структура пространства, определяемая некоторой системой аксиом. Параллельно концепции, восходящей к Гильберту и даже Евклиду, существует точка зрения Клейна, понимавшего под геометрией науку об инвариантах групп геометрических преобразований. Эти точки зрения совпадают в случае однородного пространства. Геометрия изучает модели как реальных физических пространств, так и абстрактных пространств любой структуры. Так, даже такие абстрактные пространства, как функциональные пространства, в которых «точками» являются функции, а «расстоянием» между точками — некоторая мера разности этих функций, можно считать частью топологии, потому что они инвариантны при топологических преобразованиях. Вместе с тем история развития геометрии в целом и каждой из ее основных ветвей теснейшим образом связана с необходимостью изучения реальных физических пространств, ее постоянным стремлением охватить своими теориями бесконечное многообразие реального мира. Путем ретроспективного анализа можно подтвердить этот вывод примерами возникновения и развития различных ветвей геометрии: евклидовой, проективной, аналитической, дифференциальной, геометрии Лобачевского, Римана, пространств аффинной связности, финслеровых пространств, топологии. До недавнего прошлого под геометрией реального физического мира подразумевалась только евклидова геометрия. С прогрессом науки мы все больше узнаем о свойствах реального мира, о его строении. Геометрия Евклида не противоречит нашему повседневному опыту, очевидно, потому, что на небольших околоземных участках она не слишком сильно отклоняется от геометрии реального мира. В специальной теории относительности Эйнштейна доказывается, что реальное пространство неотделимо от времени и это пространство-время очень близко к четырехмерному псевдо- евклидовому пространству. Общая теория относительности уточняет это положение. Именно в ней устанавливается, что реальное пространство-время точнее описывается геометрией четырехмерного риманова пространства переменной кривизны: кривизна такого пространства зависит от плотности материи; в областях с большей плотностью большая кривизна пространства-времени. В окрестности каждой точки такое пространство-время достаточно хорошо описывает геометрия четырехмерного псевдоевклидова пространства. Поэтому при небольших интервалах времени и пространства с успехом пользуются специальной теорией относительности.

История развития геометрии со всей очевидностью свидетельствует также о том, что ее общие методы — это не только последовательное абстрагирование, не только строгая аксиоматическая дедукция, но и не в меньшей мере конструктивные методы, индукция, воображение, подкрепляемое столь трудноуловимым процессом мышления, который называют интуицией. Такая органическая взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с представлениями, воображением и интуицией составляет сущность развивающейся геометрии. Поэтому столь важную роль в ней играют пространственные представления.

Представления, если их рассматривать с психологической точки зрения, есть результат активного отражения человеком реальных предметов внешнего мира, отражения, происходящего в деятельности (трудовой, учебной, игровой). Запечатляясь в памяти в виде первичных чувственных образов, они в дальнейшем проходят несколько стадий развития по линии их обобщения, абстрагирования, схематизации. Главное при этом — способность воссоздавать в мышлении образ предмета, т. е. представлять предмет перед «мысленным взором». Следовательно, представления прямо основаны на мыслительных процессах, на оперировании в мышлении пространственными образами.

В психологии различают два основных вида представлений — памяти и воображения. Под представлениями памяти понимают образы, возникающие в сознании в результате отражения пространственных свойств и отношений ранее воспринятых предметов. Под представлениями воображения понимают новые образы, формируемые в результате трансформации представлений памяти. В физиологии и психологии накоплены богатые данные о пространственных представлениях: о сущности природы восприятий и представлений; о роли различных органов чувств в пространственноразличительной функции и пороговых величинах этих органов, характеризующих рассматриваемые функции; о динамике зрительного образа (предметность, целостность, структурность, константность); изучена роль деятельности (труда, учения, игры) и ее мотивации в процессе формирования пространственных представлений, взаимоотношения слова и его наглядно-чувственной основы, взаимосвязи пространственных представлений и логического мышления; общие приемы, способствующие развитию пространственных представлений, этапность формирования таких приемов и др. Эти результаты могут послужить психологической основой разработки структуры умственной деятельности школьников в области геометрии и эффективной системы методов формирования и развития пространственных представлений при обучении геометрии.

Для разработки такой системы необходимо учитывать принципы построения систематических курсов геометрии средней школы: а) в них широко используется теоретико-множественная терминология и символика; б) основным предметом школьной геометрии является изучение инвариантов группы перемещений и группы подобий: в VI—VIII классах—двумерного пространства (плоскости), в IX—X (XI) классах — трехмерного пространства; в) эти курсы построены на четкой логической основе — на

аксиоматике, специально разработанной академиком А. Н. Колмогоровым для школьных курсов; г) широкое применение в геометрии находят векторы, метод координат, элементы дифференциального и интегрального исчислений.

Важность решения задачи подготовки учащихся к труду требует наряду с усилением логической строгости школьных курсов геометрии уделять большее внимание: а) развитию геометрической интуиции школьников и их пространственных представлений; б) обучению методам измерений, построений и изображений геометрических фигур; в) формированию умений применять геометрию в смежных дисциплинах и практических задачах.

При определении основополагающих путей совершенствования методики обучения геометрии вообще и развития пространственных представлений в частности необходимо представить хотя бы в общих чертах структуру умственной деятельности школьников, формируемую этим курсом.

Различными методами исследования (внешним наблюдением, путем анализа словесных отчетов о процессе мышления при решении математических задач, корреляционным и факторным анализом) доказано, что деятельность по решению математических проблем характеризуется большим своеобразием и не является простой качественной модификацией общих интеллектуальных процессов. Хотя положение о специфичности и большом своеобразии психологического аспекта (механизма) познавательной и творческой деятельности в области математики («математического мышления») и можно считать установленным, но — вследствие недостаточной изученности генезиса этой специфичности и комплексного характера математического познания и творчества — пути к более глубокому пониманию структуры «математического мышления» и математических способностей, по нашему мнению, надо искать в направлении проникновения в сложную диалектическую природу соответствующих продуктивных процессов и психических новообразований как единства («сплава», особого сочетания) общего и специального. Поэтому при исследовании структуры «математического мышления» необходимо учитывать: а) общие закономерности мышления и общие мыслительные способности как основы для формирования специфически математических мыслительных способностей; б) закономерности формирования специальных математических способностей на основе достаточно хорошо сформированных общих мыслительных способностей; в) способы сочетания («сплава») общих и специальных моментов в уже сформированных математических способностях (или общих и специальных действий, операций и способностей в структуре развитого «математического мышления»).

Применяя такой подход к анализу, можно выделить в этой структуре шесть укрупненных компонентов, имеющих сложный характер. Приведем модель такой структуры умственной деятельности школьников в области геометрии (гипотетическая модель)