Двугранные углы.

• 19. Прямая, перпендикулярная плоскости 60
• 20. Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей 64
• 21. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей 66
• 22. Ортогональная проекция 68
• 23. Поворот вокруг оси 70
• 24. Сравнение перпендикуляра и наклонных 73
• 25. Расстояние от точки до плоскости и между параллельными 75
• 26. Расстояние между скрещивающимися прямыми 78
• 27. Теорема о трех перпендикулярах 80
• 28. Угол между наклонной и плоскостью 85
• 29. Двугранный угол 88
• 30. Зависимость между линейными и двугранными углами. Измерение двугранных углов. 92
• 31. Перпендикулярные плоскости 96
• 32. Площадь проекции фигуры на плоскость 100
• 33. Симметрия в пространстве 102

Упражнения кглаве II 104

Глава III. Прямоугольная система координат в пространстве.

• 34. Проекция вектора на ось 109
• 35. Прямоугольная система координат в пространстве 112
• 36. Выражение вектора через компоненты и координаты ИЗ § 37. Условие коллинеарности векторов 116
• 38. Длина и направление вектора. Расстояние между точками И7
• 39. Скалярное произведение. Его свойства 120
• 40. Примеры использования скалярного произведения 123
• 41. Выражение скалярного произведения через координаты векторов 125
• 42. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. 126
• 43. Уравнение плоскости 127
• 44. Исследование уравнения плоскости Ах 4- By -f- Cz 4- D = 0 130
• 45. Параллельные плоскости 134
• 46. Векторное пространство 135

Упражнения к главе III 136

Ответы 138

Основные формулы 144

Краткие методические замечания 148

Четко надо отработать: 1) определение вектора; 2) определение равных векторов; 3) построение векторов, равных данному; 4) умение находить равные и противоположные векторы.

• 8. Трудность темы в том, что геометрические преобразования появляются на позднем этапе и весь предыдущий опыт учеников связан со статическим положением фигур.

Главное в теме — подчеркнуть, что перенос преобразует фигуру в равную фигуру. Здесь можно использовать аналогию с поступательным движением в физике. Полезно привести примеры, моделирующие перенос: движение железнодорожного вагона на прямолинейном участке пути и др.

Из приложений переноса существенно равенство углов, стороны которых одинаково направлены.

• 9. В этом параграфе главное — алгоритм сложения нескольких векторов. Независимость суммы от выбора точек приложения первого вектора подчеркивается, но в классе не доказывается (желающие могут разобрать сами). Переместительный и сочетательный законы сложения можно сообщить без доказательства. Достаточно сказать, что они аналогичны законам сложения чисел. Например, взять 24-3=3+2и сказать, что аналогично —> - ► —► —»- Ъ -f- а = а Ь.

• 10. Здесь главное — научить делать вычитание векторов. В учебнике дан простой алгоритм — сведение вычитания к прибавлению противоположного вектора.
• 11. Главное — на большом числе примеров показать, что умножение вектора на число дает вектор, удовлетворяющий указанным условиям. Законы умножения вектора на число достаточно сообщить без доказательства (желающие разберут сами). Хорошо привести аналогию с действиями в алгебре. Например, для закона т (па) = (тп) а дать пример: что получится, если дано: 3 • (2а)? Ответ будет 6а, т. е. 3 (2 а) = (3 • 2) а.

Затем надо перейти к аналогичному случаю с векторами. Можно сказать учащимся, что они начали изучать векторную алгебру; название «алгебра» не случайное. Так говорят потому, что для векторов верны те же законы, что в действиях с числами и буквенными выражениями в алгебре.

Знание сложения, вычитания и умножения вектора на число дает возможность решить некоторые задачи из геометрии. В классе следует разобрать вадачу о точке пересечения медиан треугольника. В ней дан такой прием решения: берется произвольно точка О (полюс) и вычисляются радиус- векторы, проведенные из нее в вершины рассматриваемой фигуры.

• 12. Изложение обычное.
• 13. Это один из важнейших параграфов. Следует помнить, что определение прямой, параллельной плоскости, дано по-новому. По этому определению а || а, если а и а не пересекаются. Значит, в частности, а || а, если ас:а. Такое определение параллельности упростит многие формулировки.

В данном параграфе до определения устанавливается существование прямой, не пересекающей плоскость. Следует помнить, что доказательство существования объекта в геометрии равносильно его построению. Поэтому сначала строится прямая, параллельная прямой на плоскости, затем дока

зывается, что эта прямая и плоскость не пересекаются. После этого дается определение. В заключение из определения и доказанной теоремы следует признак параллельности прямой и плоскости.

Очень полезно дать на дом упражнение № 70; возможно, найдутся ученики, которые дома в принципе разберут вопрос сами или заглянув в следующий параграф; такую любознательность следует поощрять.

Учитель при разборе теоремы о плоскости 0, проходящей через прямую а, параллельную второй плоскости а, должен быть готов к вопросу учеников: «Что будет, еслир ZD а и а с а?» Тогда, очевидно^ Q а = а, т. е. эта прямая окажется и линией пересечения. Здесь а || а и а с=а, т. е. получен частный случай параллельности.

Наиболее важные упражнения: № 71—77, 79, 80.

• |14. Изложение дано в том же плане, что и § 13. В этом параграфе много мелких, довольно очевидных теорем. Их в классе следует только сообщить, привести аналогию с планиметрическими теоремами, дать иллюстрацию на модели. Главное — использовать их при решении задач. Доказательства желающие посмотрят сами.

Основные упражнения Кг 83—90. При недостатке времени часть их можно решить при изучении § 15, 16.

Следует рассмотреть хотя бы с частью учащихся и вопрос об отношении эквивалентности для параллельных плоскостей (упр. № 117, 2 и 3).

• 15 , 16. В этих параграфах дана теория, которая объясняет то, что ранее проходилось по черчению.

Для экономии времени теоремы можно не доказывать (желающие разберут сами). Главное — добиться понимания фактов: проекция прямой — прямая и т. д.

• 17. В параграфе повторяется то, что учащиеся проходили по черчению. Рассматриваются виды проекций: кабинетная (известная по урокам черчения) и произвольная. При этом главное — обратить внимание на характер искажения, которое получается при изображении фигур не на фронтальной плоскости. В основном следует чертить в разных проекциях многоугольники. В качестве эксперимента предлагается изобразить фигуры в произвольной проекции.

В продолжение § 15, 16, 17 полезно давать упражнения из § 13, 14.

• 18. Решение задач на проекционном чертеже можно проводить при наличии времени. В противном случае их можно разобрать на факультативном занятии.
• 19. Один из важнейших параграфов. В отличие от § 13 и 14 сначала доказывается теорема о двух перпендикулярах, дается определение прямой, перпендикулярной плоскости, а затем признак перпендикулярности. Существование прямой, перпендикулярной плоскости, устанавливается только в § 19. Это сделано с целью упростить изложение.

Сам по себе признак перпендикулярности прост, главное — показать его применение при решении задач. Для этого в учебнике дано много упражнений на кубе и на готовых чертежах. В первых упражнениях требуется только доказать перпендикулярность прямой к плоскости. Очень полезны упраж

нения № 150, 152, 153, в которых надо сначала обнаружить факт перпендикулярности, а затем его обосновать.

• 20. Изложение обычное.
• 21. Многие теоремы параграфа на уроке даются без доказательства (желающие посмотрят доказательства сами). Можно провести аналогию с планиметрическими теоремами. Например, для теоремы в пункте 1 имеется аналогичная теорема из планиметрии: «Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой».

В этом параграфе целесообразно основное внимание уделить решению задач.

• 22. Изложение обычное. Следует обратить внимание на ортогональную проекцию круга, так как в X классе круглые тела будут в основном изображаться в ортогональной проекции.
• 23. Поворот вокруг оси облегчит доказательство многих теорем (особенно в теме «Многогранники»). Что ученик должен хорошо усвоить? В первую очередь то, что поворот преобразует фигуру в равную фигуру. Существен и факт, что прямая, перпендикулярная оси в точке О, при повороте вокруг оси образует плоскость, перпендикулярную оси. Это важно для понимания образования тел вращения.

В этом параграфе важны не столько вопросы дедукции, сколько хорошее понимание того, как происходит поворот вокруг оси. Можно дать иллюстрацию на моделях, на центробежной машине, на детском волчке.

• 24. С помощью поворота вокруг оси все теоремы о перпендикулярах и наклонных сведены к теоремам, ранее известным. Следует подчеркнуть различие терминов «наклонная» и «наклонная, проведенная из точки к плоскости». Аналогично и для «перпендикулярной прямой» и «перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости».

Благодаря упрощению доказательства теорем можно больше времени уделить решению задач.

• 25. Определения, данные в параграфе, общеприняты. Главное — закрепить их посредством решения большого числа задач.
• 26. В параграфе находится только расстояние между скрещивающимися прямыми. А факт, что это расстояние кратчайшее, не рассматривается. Полученный вывод используется при решении таких задач, где нельзя получить перпендикуляр к каждой из двух скрещивающихся прямых такой, что концы его лежат на них. Например, в кубе ABCD A^B^C^y ребро AA_t есть расстояние между ребрами АВ и. А_±В_Х и незачем проводить через АВ плоскость, параллельную A_tD_v
• 27. Полезно до разбора теории на уроке дать на дом упражнение № 193. Это один из важнейших параграфов, так как теорема о трех перпендикулярах дает возможность проектировать точку А д£ а на прямую aCLcc.

Крайне важно закрепить теорему решением большого числа задач.

Полезно учесть то, что сказано в анализе решения задачи в пункте 2, и научить учащихся, проектируя точку А cza на прямую аса, проводить сначала АА_Х ± а, затем А_гВ ± а (по плоскости а) и, наконец, отрезок АВ, который перпендикулярен а но теореме о трех перпендикулярах.

После разбора на уроке пункта 1 (обратную теорему можно задать на дом) надо два урока решать задачи ( № 194—204).

После пункта 3, который учащиеся могут разобрать сами, решаются задачи № 206, 207.

• 28. Здесь главное — научить учащихся правильно брать угол между прямой и плоскостью. Для работы важно знать только определение этого угла, свойство же его — вопрос второстепенный. Поэтому в этом параграфе

основное — решение задач.

Пункт 3 о длине проекции отрезка на плоскость нужен для доказательства теоремы о площади проекции фигуры на плоскость.

• 29. В этом параграфе следует обратить внимание на то, что двугранный угол — часть пространства (аналогия: угол — часть плоскости). Следует хорошо отработать понятие угла, для чего использовать модели, имеющиеся под рукой (стены класса, развернутая книга).
• 30. Теоремы параграфа второстепенны, утверждаемые ими факты довольно очевидны. Поэтому большую часть времени следует уделить решению задач.
• 31. Основное здесь — определение и признак перпендикулярности плоскостей. И то и другое необходимо закрепить решением достаточного числа задач.
• 32. На этот параграф надо потратить как можно меньше времени.

Например, можно разобрать в классе один случай (только площадь проекции

треугольника), остальные задают на дом как необязательный материал. Закрепить их 1—2 примерами, решенными без чертежа. Например, S <р = 60⁹. Значит, S_np = 6 • cos 60°- — 3 (ел²) = 6 см²,

• 33. Материал можно вынести на факультативные занятия. Можно его

рассмотреть на уроке вскользь, дав понятие о симметрии в пространство и сообщив некоторые факты без обоснования, не закрепляя их решением

задач.

• 34. Вопрос о проекции вектора на ось довольно «тонкий». Проекцию можно толковать и как вектор и как число. Геометрически проекция вектора АВ на ось р есть вектор A₁В₁; аналитически — проекция вектора на ось — число, причем наглядно проекция вектора на ось воспринимается как вектор.

Но для использования аналитических зависимостей между координатами точек и векторов нам понадобится толковать проекции вектора как числа. Наибольшее значение имеют теоремы в пунктах 2 и 3.

• 35. Здесь можно начать объяснение с прямоугольной системы на плоскости. При изложении материала параграфа следует подчеркнуть, что координаты точек в пространстве — числа, геометрически этим числам соответствуют отрезки. Координаты точки Af(a; Ь; с) — три числа, заданные в определенном порядке (упорядоченная тройка чисел), т. е. сначала задается а — абсцисса, потом Ъ — ордината и, наконец, с — аппликата точки Л/.

Следует подчеркнуть различие координат вектора и точки, последние отсчитываются на оси от начала координат, координаты же свободных векторов — проекции на оси. Поэтому и в записи различают (а; 6; с) для точки и {а; Ь; с} для вектора.

Изображение точек в пространственной системе координат отнимает много времени, поэтому такие упражнения делают только на первых порах. Следует помнить, что на уроке в классе всегда имеется модель трех координатных плоскостей и первого октанта (две стены и под, раскрытая книга под углом в 90°, поставленная на парте).

В параграфе для вектора установлено, что его координаты определены однозначно, но вопрос о единственности разложения вектора по трем неколлинеарным векторам опущен.

• 36. Наиболее трудно будет в параграфе объяснить особенность расположения векторов. Здесь следует привлечь наглядность. Так, для поясне- —►

ния случая вектор а ]| yOz можно взять за вектор указку и приложить ее к передней стене класса (плоскость yOz). Тогда очевидно,что компонент ОМ_Х— «= 0 (ось ОХ — пересечение левой стены и пола).

Большую часть упражнений в данном параграфе делают без чертежа. Исключение составляет упражнение Xs 314.

• 37. Изложение обычное.
• 38. При объяснении материала этого параграфа следует тщательно обдумать чертеж. На нем ясно должны быть видны радиус-вектор, его компоненты и треугольники, содержащие углы а, р, у.

Упражнения № 322, 324 следует делать без чертежа. Что касается упражнений Xs 325, 326, 329—331, чертеж для них нужен, но упрощенный, без осей координат. Так, в упражнении Xs 325 надо начертить дЛВС, на каждой вершине записать координаты точки: А (2; —3; 4), В (—3; 0; —4), С (4; 0; —2). Дальше задачу решают аналитически: находят длины сторон и определяют вид треугольника.

Аналогично в упражнении Xs 331 (2) чертят (опять без координат) парал- лелограмм ОАСВ, на стороне ОА пишут 21, на ОВ — i-f-2/+ 2 к. Затем находят OC=i+ 2j + 2к и вычисляют ОС = -|- 2⁸ 4- 2² = К9 = 3. Аналогично находят АВ и АВ.

• 39. Скалярное произведение рассматривается довольно поздно из-за опасения, что школьники, обучавшиеся по старой программе, не подготовлены применить векторы в полной мере.

На данном этапе, когда геометрические сведения закреплены, можно дать второй способ решения геометрических задач, связанных с перпендикулярностью прямых.

Главное в этом параграфе усвоить: 1) определение скалярного произведения; 2) скалярный квадрат; 3) условие перпендикулярности двух век

торов.

Что касается законов скалярного произведения, то их можно сообщить без доказательства. При этом можно провести аналогию с алгеброй. Так, например, для (та) (nh) = тп (аЬ) аналогия умножение одночленов 2а • 3d = 6аЬ.

Упражнения в параграфе первичные, т. е. рассчитаны на знание опре- -> ab деления. Например, упражнение № 334 (3); при каком условии а*Ь = — ?

40. Очень важный параграф. Следует рассмотреть пункт 1(1) и решить упражнения № 338, 339.

Полезно сравнить векторное решение задачи (пункт 2) с геометрическим решением той же задачи (№ 284, есть указание). После этого решаются упражнения № 340—345.

• 41. В параграфе выводятся формулы, которые в дальнейшем дадут возможность искать углы между векторами и несущими их прямыми. К этому готовит и упражнение № 350.
• 42. Вывод формулы косинуса угла между векторами очень прост. Главное закрепить ее решением задач. Следует помнить, что при решении упражнений типа № 352 чертят только △ АВС, на чертеж выносят данные, а оси координат не показывают. В противном случае много времени теряется непроизводительно.

Можно упражнения № 325, 326 решить вновь, используя формулу VI.

Особо стоит упражнение № 358. Чтобы применить формулу VI, надо вы* •“> —► * / —►

разить МС и МА д через i, 1, к. Для этого принять точку О за начало координат, О А за ось ®-ов, ОС —_у-ов, ОО_Х — г - ов.

Целесообразно задать на дом упражнение № 360, оно подведет к уравнению плоскости.

• 43. Уравнение плоскости в основном понадобится для исследования решения систем трех линейных уравнений е тремя неизвестными.

Материал излагается обычно. Доказательство того, что каждому уравнению вида Ах -Ь By + Cz -|- D = 0 соответствует плоскость, можно опустить. Можно ограничиться аналогией с уравнением прямой у = кх + b в прямоугольной системе координат на плоскости.

Все упражнения параграфа решаются без чертежа.

• 44. Предварительно следует задать повторение § 36, может быть, даже сделать модели плоскостей, параллельных одной оси, двум осям. На модели

указать положение вектора, перпендикулярного плоскости.

В упражнениях Xs 368 , 370, 371 поможет решению чертеж, на котором показано положение плоскости. Координаты данной точки показывать не следует, саму же точку надо отметить на данной плоскости.

• 45. Этот материал не сложен.
• 46. Материал параграфа полезен тем, что приобщает учащихся к современной математике, в которой все больше и больше ищут моменты, сближающие различные ее разделы, ищут то, что является общим для них. Так, векторное пространство сближает векторную геометрию и алгебру. Другой пример отыскания общности для различных понятий — соотношение эквивалентности для отрезков, чисел, векторов, параллельности и т. д.

Примечание. Задачи, помещенные в конце глав, даны вразбивку, легкие могут идти после трудных. Все они решаются при наличии времени. Здесь многое зависит от подготовки класса. Учитель использует их по собственному усмотрению.