• 16. Изменение функции tg/ в связи с изменением дуги от 0 до + к- 35
• 17. Графическое представление изменения функции tg/ 36
• 18. Изменение функции ctg/ в связи с изменением дуги от 0 до + к~ 37
• 19. Графическое представление изменения функции ctg t 39
• 20. Выражение tg t и ctg t, как функций от sin t и cos t . . 39
• 21. Понятие о функциях sc t и esc t. 41
• 22. Изменение функций sc / и esc/ в связи с изменением дуги

от 0 до + 2к~. 42

• 23. Формулы соотношений для sc t и esc t с другими тригонометрическими функциями 45
• 24. Соотношение, между элементами прямоугольного треугольника . . 47
• 25. Решение прямоугольных треугольников. 49

Глава П. Преобразование координат и вытекающие отсюда формулы тождественных тригонометрических преобразований.

• 26. Соотношения между тригонометрическими функциями дуг: +1 и — t 52
• 27. Преобразование координат. 53

Стран.

• 28. Формулы приведения для синуса и косинуса. 54
• 28а. Второй способ вывода формул приведения для синуса и косинуса 61
• 29. Формулы приведения для тангенса, котангенса, секанса и косеканса 66

!30. Понятие о круговых функциях 66

31 Свойства круговых функций 69

32. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же синус или косеканс 69

• 33. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же косинус или секанс 70
• 34. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же тангенс или котангенс. 71

I35. Примеры. 71

36. Преобразование направления осей координат 72

37. Синус и косинус суммы двух дуг 79

38. Синус и косинус разности двух дуг 79

39. Тангенс суммы и разности дуг . . 80

40 Теорема 81

41. Второй способ получения формул для синуса и косинуса суммы и разности двух дуг 82

• 42. Обобщение формул для синуса и косинуса суммы и разности двух дуг. 85
• 43. Синус, косинус и тангенс двойных дуг. 86
• 44. Синус, косинус и тангенс половины дуги. 86»
• 45. Приведение выражений к виду, удобному для логарифмических вычислений 88
• 46. Приведение выражений к логарифмическому виду способом введения вспомогательного угла. 91

Глава III. Таблицы значений тригонометрических функций и их логарифмов.

• 47. Теоремы, на которых основывается вычисление значений тригонометрических функций для малых углов 93
• 48. Приближенное вычисление sin 0,01 и cos 0,01 96
• 49. Приближенное вычисление sin 1' и cos1'. 97

$ 50. Формулы Симпсона; применение их к составлению таблиц значений тригонометрических функций. 97

• 51. Разложение sin t и cosi в бесконечные ряды 100
• 52. Разности последовательных значений синусов и косинусов . 104

9 53. Таблица логарифмов тригонометрических величин 106

• 54. Нахождение логарифма тригонометрической функции данного угла 109
• 55. Теорема . 111
• 56. Нахождение логарифмов синуса и тангенса для углов, близких к нулю, а также логарифмов косинуса и котангенса для углов, близких к прямому. 116
• 57. Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции 119
• 58. Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции в случае большой табличной разности. 121
• 59. Производные тригонометрических функций 124
• 60. Простое гармоническое движение. 126

Глава IV. Решение косоугольных треугольников.

• 61. Теорема 128
• 62. Формулы Мольвейде 128
• 63. Теорема 130

64. Выражение тригонометрических функций углов косоугольного треугольника через его стороны .

65 Площадь треугольника

66 Теорема

66а. Следствия

67 Решение косоугольных треугольников

68 Численные примеры на решение треугольников.

69. Примеры более сложных случаев решения косоугольных треугольников

70. Задача.

71 Решение правильных многоугольников.

Стран.

Глава V. Измерения на местности.

172. Съемка; вертикальное и горизонтальное направление 161

73 Обозначение и измерение линий на местности 162

74 Измерение углов 163

75. Проведение на местности взаимно-перпендикулярных и параллельных прямых с помощью эккера. 165

• 76. Определение относительных высот двух точек. 165
• 77. Приложение тригонометрии к производству различных измерений на местности 166
• 78. Определение. высот 167

S 79. Определение. недоступных расстояний 168

• 80. Триангуляция 169

Глава VI. Вычисление

• 81. Сложение и вычитание круговых функций 171

3 82. Разложение arctgx по степеням х. 173

• 83. Вычисление ~. 175

Глава VII. Тригонометрические уравнения.

• 84. Общие замечания 177
• 85. Примеры тригонометрических уравнений с одним неизвестным 177
• 86. Примеры на решение системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными . 179

Таблицы. 184

Понятие о непрерывных функциях должно с самого начала курса математики трудовой школы постепенно внедряться в умы учащихся и иллюстрироваться соответствующими графиками.

Так как тригонометрические функции дают яркий и наглядный пример непрерывности, то изучение их должно быть начато по возможности ранее, тем более что они имеют большое практическое применение. Изучаемый материал не должен выделяться в самодовлеющую дисциплину, а должен стоять в неразрывной связи с теми сведениями, какие даются вообще на уроках математики. Исходя из этих соображений, функции синус и косинус мы рассматриваем в настоящем руководстве как прямоугольные Декартовы координаты точек окружности, при условии принятия радиуса ее за единицу длины, а центра ее за начало координат. Координаты эти (синус и косинус) выражаются как функции одного и того же переменного параметра (длины дуги, измеренной с помощью радиуса). Тождественные тригонометрические преобразования рассматриваются как следствия преобразования координат. Благодаря указанным приемам исследования достигается общность всех рассуждений, устанавливающих основные свойства тригонометрических функций. В настоящем руководстве видное место отведено графикам тригонометрических функций. Ими иллюстрируются все свойства тригонометрических функций и даже при помощи их выводятся формулы приведения для синуса и косинуса (§ 28а). Ввиду того, что изучение тригонометрических функций должно преследовать не только теоретический интерес, но и практические цели, в настоящем руководстве в самом же начале курса отводится место для решения прямоугольных треугольников. Так как теоремы §§ 40, 66 и 66а п. 1 не стоят в связи с остальным материалом курса, то они могут быть пройдены, при желании, одновременно с решением прямоугольных треугольников. Таким образом в самом же начале курса является возможность решать и косоугольные треугольники (в некоторых частных случаях) и производить некоторые измерения на местности. Что касается введения, то оно в большей своей части представляет повторение того, что должно еще ранее сообщаться на уроках математики.

• 1. Понятие о функции.

Если какая-либо из данных величин при решении какого-нибудь математического вопроса сохраняет одно и то же неизменное значение, то она называется постоянной величиной. Так. при установлении зависимости между длиной хорды и ее расстоянием от центра мы видим, что радиус данной окружности сохраняет одно и то же неизменное значение, в то время как длина хорды изменяется в связи с изменением ее расстояния от центра. Таким образом радиус данной окружности будет величина постоянная, а длина хорды и ее расстояние от центра будут величины переменные.

Переменные величины могут находиться между собою в определенной зависимости, т.-е. каждому произвольно взятому значению одной из них соответствует определенное значение другой. Так, каждому произвольно взятому значению расстояния хорды от центра (лишь бы это расстояние было меньше радиуса) соответствует хорда определенной длины.

Переменная величина, которая может получать произвольные значения, называется независимой переменной или аргументом; величина же, значение которой определяется значением аргумента, называется зависимой переменной или функцией этого аргумента. Так, если расстоянию хорды от центра давать произвольные значения, то размеры хорды будут определяться этими значениями. Следовательно, расстояние хорды от центра будет независимая переменная, а величина хорды будет функцией этого расстояния.

Какую из двух переменных величин считать независимой переменной и какую зависимой, часто зависит от нашего выбора. Так, в рассматриваемом примере за независимую переменную можно принять длину хорды; тогда расстояние хорды от центра будет функцией этой длины.

До сих пор мы вели речь о функции одной независимой переменной; но бывают функции и двух, трех и более независимых переменных. Из геометрии, например, известно, что площадь треугольника $ = ^xl2ah_a, где а основание треугольника и h его высота. Величины а и h_a могут быть произвольными, и, следовательно, 5 есть функция двух переменных- а и h_a.

Мы указывали на существование функциональной зависимости между длиной хорды и величиной ее расстояния от центра, но как численно выражается эта зависимость, мы не указывали. Таким образом, ясного и точного представления о характере упомянутой функциональной зависимости мы еще не получили.

Если желательно иметь ясное и точное представление о характере функциональной зависимости, то необходимо указать формулу или уравнение, из которого можно было бы по данным произвольным значениям аргумента определять соответствующие значения функции.

Известно, например, что зависимость между объемом v газа, взятого при постоянной температуре, и его упругостью р выражается уравнением: vp = C (закон Бойля-Мариотта), где С есть постоянная величина. Пользуясь этим уравнением, можно для любого произвольно взятого значения р определить соответствующее значение объема газа.

Однако во многих случаях нет необходимости указывать точную числовую зависимость между аргументом и функцией, а достаточно бывает лишь установить наличие функциональной зависимости между рассматриваемыми величинами. В таких случаях употребляют обыкновенно символическое обозначение для выражения функциональной зависимости. Например, если у есть некоторая функция х, то это символически можно выразить так: y = f(x), где под f разумеют совокупность действий, которые надо произвести над значением переменной х для получения соответствующего значения у.

Если переменная у зависит от нескольких независимых переменных, например от к и г\ то это можно записать так: У = F(u, и).

• 2. Непрерывное изменение аргумента и функции.

Пусть независимая переменная х при своем изменении от а до Ь получает всевозможные численные 13начения, как соизмеримые, так и несоизмеримые, заключенные в данном промежутке (а, &). В таком случае говорят, что х изменяется непрерывно. Если же переменная х не принимает всевозможных численных значений, принадлежащих данному промежутку (#, &), то говорят, что она изменяется прерывно.

Иногда приходится рассматривать изменение переменной х вблизи некоторого ее частного значения а. Изменение это мы будем считать непрерывным, если для х. можно выбрать два таких значения: х_х ~ а — h и x_z — а h, что разность между

ними х₂ — x₁=2h будет величиной, бесконечно-малой. Если же разность х₂— не может быть сделана бесконечно - малой величиной, то переменная х, как говорят, претерпевает разрыв непрерывности.

Пусть y = f(x) будет функцией одной независимой переменной х. Каждому значению' аргумента ж, изменяющегося в промежутке (а, Ь), соответствует определенное, конечное и действительное значение функции у = f(x). Функция эта будет непрерывной для значений ж, принадлежащих промежутку (а, Ь), если бесконечно-малому приращению аргумента ж соответствует бесконечно-малое приращение самой функции, т.-е. если разность f(x A-h) —f(x), выражающая приращение функции, будет бесконечно-мала при бесконечно-малом Л.

Отсюда следует, что непрерывная функция не может изменяться скачками. Так, она не может перейти от положительных значений к отрицательным, не пройдя через нуль.

Пример. Доказать, что функция у —(а-.-ж)² непрерывна.

Составляем разность (а х \ h)'-— ж)². где 7/ бесконечно-мало:

(a-i-ж-²-//)²—(а--ж)² — (а-.-х-_rh -</ ' ж) (</ x-. li—а—ж)- = (2а --2ж ~h)lt.

Так как множитель (2а2х .-It) величина конечная, a h бесконечно-мало, то произведение бесконечно - мало. Следовательно, разность (а г ж > 7?)² — (а ж)² бесконечно - мала, а потому функция -у -- (a -j- ж)² непрерывна.

Если для какого-либо частного значения а аргумента ж разность f(a - - It) — f(a) при бесконечно-малом It стремится к определенному пределу или неограниченно увеличивается, то функция f(x) при переходе аргумента через его частное значение а претерпевает разрыв непрерывности.

Иногда приходится испытывать непрерывность функции для отдельных частных значений аргумента. Пусть, например, нужно испытать непрерывность функции y—-f(x) при х — а. Составим разность: f(x‘-h)—f(x— h), где li бесконечно малая величина. Если эта разность будет бесконечно-мала, то функция f(x) непрерывна для ж = а; в противном же случае она претерпевает разрыв непрерывности.

• 3. Геометрическое представление функций.

Возьмем две взаимно-перпендикулярные прямые А'Л и У У. пересекающиеся в точке О. Относительно этих линий можно определить положение точки на плоскости. Для этого опустим из точки М, (черт. 1) перпендикуляры на прямые А'Х и YY и измерим их выбранной единицей длины.