ЦЕЛИ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

В нынешнем учебном году, третьем году проведения всеобщего семилетнего обучения на селе, большое количество молодых учителей впервые занимается с VI классами, где начинается изучение геометрии. Начинающим учителям необходимо знать методику решения задач на доказательство. По этому вопросу очень мало методической литературы. Кроме того, многие учителя, работающие и не первый год, недостаточно уделяют внимания решению задач на доказательство, отдавая предпочтение задачам на вычисление и построение. Происходит это, во-первых, потому, что задачи на доказательство схожи с теоремами, которых и так много в учебнике; во-вторых, потому, что учителя обычно ссылаются на нехватку времени; в-третьих, потому, что Министерство просвещения ни разу не рекомендовало школам включать задачи на доказательство в билеты на экзаменах в VII классах, ограничиваясь задачами на вычисление и построение.

Значение решения задач на доказательство в образовательном отношении велико; они являются средством развития логического мышления учащихся.

В объяснительной записке к программе по математике говорится: «Преподавание геометрии имеет целью систематическое изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве и применение этих свойств к решению задач вычислительного и и конструктивного характера, развитие у учащихся логического мышления, пространственного воображения и умения применять полученные знания к выполнению практических работ: измерения на местности, определение поверхности и объема различных сооружений, простейшие измерения, применяемые в топографии, и т. д.»

Развитие пространственного воображения требует знакомства с преобразованием фигур, умения производить мыслительные операции над геометрическими фигурами в пространстве. Однако, чтобы производить эти мыслительные операции, надо изучить геометрические фигуры и твердо знать их свойства.

Изучение свойств фигур, подкрепленное системой упражнений в проведении геометрических рассуждений в уме (без наличия чертежа), решение задач на построение развивает пространственное воображение учащихся.

Отчетливые знания фактического материала, запас пространственных представлений будет способствовать выработке навыков логического мышления и правильного научного мировоззрения.

Развитое логическое мышление поможет глубже понять содержание учебного материала, найти и выделить главное и основное в изучаемом, лучше усвоить его.

К. Д. Ушинский писал, что основания разумной речи находятся в логическом мышлении. К. А. Тимирязев считал, что каждый человек обязан развивать в себе способность к логическому мышлению.

Блестящими образцами логического мышления являются статьи, доклады, выступления и речи наших вождей В. И. Ленина и И. В. Сталина. И. В. Сталин, выступая на вечере кремлевских курсантов 28 января 1924 года, рассказывал о своей встрече с Лениным на Таммерфорсской конференции: «Меня пленила та непреодолимая сила логики в речах Ленина, которая несколько сухо, но зато основательно овладевает аудиторией, постепенно электризует ее и потом берет ее в плен, как говорят, без остатка. Я помню, как говорили тогда многие из делегатов: «Логика в речах Ленина — это какие-то всесильные щупальца, которые охватывают тебя со всех сторон клещами и из объятий которых нет мочи вырваться: либо сдавайся, либо решайся на полный провал». (И. Сталин, Сочинения, том VI, стр. 55).

А. И. Микоян пишет, что все произведения товарища Сталина «характеризуются непревзойденной ясностью мысли, простотой ее выражения, подлинно стальной логической последовательностью, постоянством основных принципов и взглядов».

Изучая в школе геометрию, мы рассматриваем ее как предмет, который вооружает учащихся системой полезных знаний, накопленных человечеством на протяжении тысячелетий, и развивает логическое мышление. Весь курс геометрии средней школы должен строиться на основе замечательнейшего положения В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».

Итак, в развитии пространственного воображения, логического мышления, получении знаний о свойствах геометрических фигур и выработке навыков в практических приложениях заключается цель занятий по геометрии.

ПРИЧИНЫ НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОГО РАЗВИТИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ РОЛЬ ГЕОМЕТРИИ В РАЗВИТИИ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

Если в вооружении учащихся прочными знаниями учителя добились значительных успехов, то в развитии самостоятельного логического мышления дело обстоит не совсем благополучно. А без укрепления навыков правильного логического мышления

знания учащихся не могут быть ни систематическими, ни прочными, ни глубокими, так как качество знаний тесно связано с развитием самостоятельной мыслительной деятельности.

Одной из главных причин неудовлетворительного развития самостоятельной мыслительной деятельности учащихся является недостаточное внимание учителей к этому вопросу. Иногда утверждают, что логически мыслить умеет всякий нормальный человек. Это верно. Умение логически мыслить, действительно, является свойством человеческого сознания, но это свойство нуждается в развитии. Логическое мышление должно быть определенным, последовательным, доказательным, а чтобы оно обладало такими качествами, его надо развивать. Кроме того, необходимо, чтобы логическое мышление было самостоятельным и деятельным, чего нельзя достичь без соответствующих навыков.

Учитель любого предмета, изучая индивидуальные особенности учеников, выясняя причины неуспеваемости, сталкивается с неумением некоторых учеников делать выводы, заключения, логически мыслить, стройно излагать свои мысли. Такие ученики усваивают знания с помощью зубрежки.

Причины неудовлетворительного развития логического мышления во многом зависят от того, что в некоторых школах учителя мало заставляют учеников «шевелить мозгами», соображать, анализировать, обобщать, самостоятельно решать задачи и т. п. Часть учителей обращается не к мышлению учащихся, а к их памяти, требуют заучивания, запоминания, мало требуют рассуждений.

Опытные учителя, заботясь о сознательном усвоении учащимися знаний и о развитии их логического мышления, упражняют учащихся в индуктивном и дедуктивном мышлении. Путем непосредственного наблюдения над рядом примеров выводится общее правило (индукция). Общее правило затем сознательно применяется в любых подобных частных случаях (дедукция).

Развитие логического мышления — задача школы; в разрешении ее должны участвовать все учителя.

Ни один из школьных предметов не обладает такими возможностями для развития логического мышления, не дает столько примеров для логических рассуждений, как геометрия.

Если излагать курс геометрии, сосредоточивая все внимание на сообщении определенного программой запаса знаний и развитие некоторых навыков, давая ученикам формулировки и доказательства теорем синтетическим методом, то большинство учеников будет обречено на пассивное усвоение, механическое заучивание и запоминание. Нередко бывает, что ученик правильно формулирует и доказывает теорему о равенстве соответственных углов при условии параллельности прямых, но несколько позднее не может усмотреть равные соответственные

углы при другом положении чертежа, в частности, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Иногда, правильно формулируя и доказывая теорему о внешнем угле треугольника, ученик затрудняется применить ее к доказательству других теорем, так как внешний угол дастся в измененном положении, например, при доказательстве теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника, доказываемой вслед за теоремой о внешнем угле треугольника. Таких примеров механического заучивания доказательств, преобладания в сознании учащихся внешнего выражения математических фактов над их содержанием можно привести достаточно.

Узость понимания доказываемых теорем некоторыми учащимися объясняется тем, что воспринимаемые ими теоремы, доказательства ассоциируются в их сознании только с одной определенной формой, видом чертежа. В результате малейшего изменения чертежа ученики теряются и не могут применить известные й доказанные ими геометрические соотношения к измененному чертежу.

Такого положения не будет, если мы после усвоения каждой теоремы уделим внимание решению задач на доказательство.

В ЧЕМ ЦЕННОСТЬ ОСНОВНЫХ ДОКАЗЫВАЕМЫХ ТЕОРЕМ УЧЕБНИКА

Можно ли считать, что цели и задачи, поставленные перед геометрией, достигнуты, если ученики только выучат и запомнят определения, формулировки и доказательства теорем? Конечно, нет.

Для чего же в геометрии приводятся доказательства теорем, в чем ценность самих доказательств? Может быть, можно обойтись и без доказательств, сославшись на то, что теоремы были доказаны многими математиками, и мы можем принять готовые формулировки и пользоваться ими при решении задач?

Нетрудно формулировку теоремы как вывод подтвердить наглядно и без доказательств. Например, чтобы убедить учеников, что сумма внутренних углов треугольника равна 2 можно оторвать углы любого треугольника, сложить их и получим сумму, равную 2d. А мы эту теорему доказываем, да еще не одним способом, а несколькими. С какой целью? Может быть, формулировки теорем выводить так, как это делалось в рабочих книгах по математике в 1925—1927 годах, где даже термин «теорема» не употреблялся. В «Рабочей книге по математике» (составители В. В. Беркут, И. И. Гостев и др., 1927 год) первый признак равенства треугольников излагается так: «На чертеже 80 дано два треугольника, у которых стороны AB=AiBj;. АС=А₁С₁ и </.А= /А^. Наложим мысленно Л АВС на /^А^В^С^

так, чтобы совпал с ^А_г и сторона АВ со стороной А_ХВ_Х\ показать, что эти треугольники должны совместиться всеми остальными своими элементами.

Вывод: Два треугольника равны, если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника». (Первый признак равенства треугольников).

Так же изложены в рабочих книгах доказательства всех выводов, которые мы называем (и правильно называем!) теоремами. Можно ли считать эти доказательства логическими рассуждениями? Нет. Такое изложение не дает ученикам примерных доказательных рассуждений к выводам теорем.

Доказательства теорем в геометрии приводятся, главным образом, для того, чтобы ученики овладели методом геометрических доказательств, могли самостоятельно доказывать, развивали логическое мышление.

Ценность же каждой основной доказанной теоремы учебника в том, что учащиеся при ее помощи узнают различные пространственные соотношения геометрических фигур и их элементов, что основная теорема учебника может быть использована для доказательства новых теорем.

Не зная теорем, пройденных в VI классе, нельзя доказать почти ни одну теорему в VII классе, так как доказательство всякой теоремы основывается на теоремах, пройденных ранее.

Твердое, отчетливое знание основных теорем учебника не только обогатит запас пространственных представлений, не только разовьет логическое мышление учащихся, не только поможет им решать задачи на доказательство и составлять новые теоремы, но и даст твердые, осознанные, прочные знания теоретического материала. Все это поможет решать задачи на вычисление, задачи практического характера (построение прямого угла к провешенной прямой в конце и в середине, без помощи эккера; провешивание прямой параллельно данной; съемки угла и его построение на местности; вычисление поверхностей и объемов различных хозяйственных сооружений и т. п.).

Современная геометрия своим зарождением и дальнейшим развитием обязана геометрии древности. Геометрические сведения, полученные эмпирическим путем в Египте и других странах, не шли дальше удовлетворения самых острых жизненных потребностей. Геометрия была собранием практических предписаний, ничем не обоснованных и не всегда даже правильных. Например, площадь какого-нибудь данного четырехугольника вычислялась, как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, или площадь треугольника вычислялась, как половина произведения основания на боковую сторону.

Геометрия египтян не развивалась, и только тогда, когда яачатки геометрических сведений проникли в Грецию, Пифагор, Гиппократ, Платон, Эвклид методами логического доказательства довели геометрию до высшей степени совершенства. Платоном все накопленные математические сведения были приведены в строгую логическую систему. Основных методов, употребляемых Платоном, было два: аналитический и синтетический; особенно новым считался аналитический. Дошедшие до нас «Начала» Эвклида, написанные в 325 году до н. э. — это строго логически построенная геометрия. Если мы проследим за доказательством некоторых теорем «Начал», то увидим, что доказательство опирается на предложение, доказанное в одной из предыдущих теорем; последние в свою очередь основываются на предложениях, доказанных еще ранее и т. д.

Знания только формулировок теорем, выводов, которые будут иметь учащиеся, не осознанные логическим доказательством, не помогут решать задачи, составлять новые теоремы, не разовьют их логического мышления, не дадут навыка в овладении аналитическим и синтетическим методом рассуждений.

КАК ОБЕСПЕЧИТЬ СОЗНАТЕЛЬНОЕ УСВОЕНИЕ УЧАЩИМИСЯ ДОКАЗЫВАЕМЫХ В КЛАССЕ ТЕОРЕМ

В VI классах начинается изучение систематического курса геометрии. Надо сказать, что учащиеся усваивают материал с трудом и часто бессознательно; они не могут понять (да это и не легко), в чем логическая сущность доказательства той или иной теоремы и нужность самого доказательства. Нередко после доказательства первых теорем в VI классах и наглядной иллюстрации их, учащиеся задают вопрос: «А для чего доказывать, когда это видно и без доказательства». Этот вопрос свидетельствует о том, что учащиеся еще не осознали ценность самого логического доказательства. Кроме того, в VI—VII классах часто встречаются учащиеся, которые механически заучивают доказательство теоремы по учебнику, не понимая ее внутренней логики. Достаточно заменить в чертеже буквенные обозначения или немного видоизменить чертеж, как такие учащиеся становятся беспомощными и не могут доказать ту же «заученную» теорему.

Чтобы обеспечить сознательное усвоение доказываемых в классе теорем, научить сознательно строить рассуждения и понять логическую сущность доказательства, научить самостоятельно строить рассуждения, учителю надо при доказательстве теорем в классе больше пользоваться аналитико-синтетическим методом.

Доказательства теорем в учебнике А. П. Киселева изложены синтетическим методом, который ценен для изложения готовых, придуманных доказательств.