Решение задач на построение в VI-VIII классах (Сенников) 1955 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Решение задач на построение в VI-VIII классах (Сенников) 1955

Назначение: Пособие для учителей

Теория геометрических построений разработана в трудах Ю. Петерсена, О. Шатуновского, А. Адлера, И. А. Александрова, Ж. Адамара, Д. И. Перепёлкина, Н. Ф. Четверухина и многих других авторов. Однако вопросы методики изучения геометрических построений в школе ещё далеко не решены. В некоторых школах задачи на построение решаются учащимися слабо. Отсутствие полноценной методики обучения геометрическим построениям — одна из причин такого положения. Попыткой несколько восполнить этот пробел и является настоящее пособие...

© "Учпедгиз" Москва 1955 

Авторство: Г.П. Сенников 

Формат: PDF Размер файла: 8.56 MB

СОДЕРЖАНИЕ

От автора . 3

Введение 5

Глава I. Этап анализа в решении задач на построение . . 10

§ 1. Основные методы решения задач на построение . . 11

§ 2. Геометрические места точек, обладающие определён*

ным свойством. Метод геометрических мест . .

§ 3. Геометрические преобразования и их применение для

решения задач на построение б

§ 4. Алгебраический метод 35

§ 5. Цель, принцип и основные моменты анализа в решении задач на построение в школе 41

Глава II. Этапы построения и доказательству в решении задач

на построение 48

§ 7. Этап построения

§ 8. Этап доказательства в решении задач на построение 52

Глава III. Этап исследования в решении задач на построение. 55 

§ 9. Цель, принципы и основные моменты исследования в

задачах на построение в школе 56

Глава IV. Геометрические построения в VI—VII классах . . 72

§ 10. Элементарные построения и решение элементарных

задач в VI классе

§ 11. Основные построения 75

§ 12. Изучение геометрических мест 77

§ 13. Задачи на построение в VI классе 86

§ 14. Задачи на построение в VII классе 94

Глава V. Решение задач на построение в курсе геометрии

VIII класса 118

§ 15. Решение задач методом подобия

§ 16. Решение задач алгебраическим методом 128

Глава VI. Задачи на построение для кружковой работы

в VI—VIII классах 133

§ 17. Примерный перечень вопросов для кружковой работы в VI классе

§ 18. Задачи для кружковой работы в VII классе . . 134

§ 19. Задачи для кружковой работы в VIII классе . . . 150

Литература   156

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Решение задач на построение в VI-VIII классах (Сенников) 1955 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ОТ АВТОРА

Теория геометрических построений разработана в трудах Ю. Петерсена, О. Шатуновского, А. Адлера, И. А. Александрова, Ж. Адамара, Д. И. Перепёлкина, Н. Ф. Четверухина и многих других авторов.

Однако вопросы методики изучения геометрических построений в школе ещё далеко не решены. В некоторых школах задачи на построение решаются учащимися слабо. Отсутствие полноценной методики обучения геометрическим построениям — одна из причин такого положения/

Попыткой несколько восполнить этот пробел и является настоящее пособие.

При изучении геометрических построений прежде всего приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определённых инструментов (линейка, чертёжный треугольник, циркуль), а также изображениями, выполняемыми от руки.

В силу сказанного, в данной книге уделяется особое внимание объединению логических и фактических построений в единое целое. Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертёж-задание», «чертёж-набросок», «чертёж-построение», «чертёж для исследования»).

Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Эти этапы решения особенно подробно рассматриваются в книге. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь прежде всего* как средства анализа. При этом идея «метода геометрических мест» выбирается в качестве ведущей в анализе любой из школьных задач на построение. Как известно, эта идея состоит в отнесении искомых точек фигуры (по их свойствам) тем или иным геометрическим образам. В тех случаях, когда свойства искомых точек нельзя установить без помощи геометрических преобразований (или алгебры), вступает в действие тот или иной «метод преобразований» или «алгебраический метод». Так методы геометрических построений логически объединяются вокруг ведущей идеи анализа в систему средств анализа.

Становится очевидной и идея исследования: установление всех характерных случаев взаимного расположения образов, содержащих искомые точки. Остаётся лишь подсчитать число решений задачи.

Как показывает опыт, такой единообразный подход к задачам на построение значительно уменьшает трудности, встающие перед учителем, и обеспечивает сознательное и глубокое усвоение учащимися вопросов школьной конструктивной геометрии.

В теоретической и практической разработке предлагаемого пособия большую помощь оказали автору проф.

| Д.И. Перепёлки» ', научные сотрудники сектора методики математики Института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР и члены кафедры алгебры и геометрии Горьковского пединститута им. А. М. Горького.

Много ценного дала автору совместная работа по проверке изложенной ниже методики с учителями Е. С. Никольской, А. П. Мишиной (г. Горький), Н. П. Цесарцевой (Москва) и другими.

Значительную помощь оказали автору методисты Московского областног о. и Горьковских областного и городского институтов усовершенствования учителей, организовавшие циклы лекций по методике геометрических построений на курсах учителей.

Доценты С. Зетель и Б. Кутузов, внимательно просмотревшие рукопись, во многом содействовали её улучшению. /

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность всем указанным выше товарищам.

Совершенно очевидно, что предлагаемое пособие нуждается в дальнейшем улучшении и усовершенствования, поэтому автор с большой благодарностью примет все сделанные в этом направлении критические замечания и предложения.

Г. /7. Сенников.

ВВЕДЕНИЕ

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку, прямую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удовлетворял определённым условиям.

Будем считать средствами построения циркуль и одностороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инструментов чертёжным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.

Задача на построение может быть выражена с помощью чертежа-задания. Чертёж-задание включает в себя данные элементы и требование задачи. Рассмотрим примеры.

' 1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании Z В = $ и высоте на основание ha (черт. 1).

2. Построить окружность данного радиуса г, проходящую через две данные точки А и В (черт. 2).

Чертёж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) данные элементы являются уже построенными (пример 2, точки Л и В), и в этом случае перемещение их по плоскости невозможно (данные элементы определены по положению) ; 2) данные элементы лишь могут быть построены (пример 1 — отрезки а и Л„, угол В, пример 2 — отрезок г); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (данные элементы не определены по положению).

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки — значит свести её к конечной совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:

1) построение прямой линии через две известные точки;

Черт 2.

Черт. 1.

2) построение точки пересечения двух известных прямых (если эта точка существует);

3) построение окружности известного радиуса с центром в известной точке;

4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);

5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если такие точки существуют).

Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно. * #

Сведение каждой задачи к элементарйым построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен. Список основных построений дан в главе IV (§ 11).

Характеристика чертежа-задания показывает/ что задачи на построение делятся на два существенно различных вида:

Задачи «м е т р и ч е с к’и е» ), в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам* имеющим определённые размеры, но не определёнными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в Задаче геометрический образ может занимать произвольное положение на плоскости (пример 1).

Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на основе данных элементов,"из которых хотя бы один определён по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определённое положение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

Ниже рассматриваются только такие задачи, которые могут быть решены при помощи линейки и циркуля при известных соотношениях между данными. Поэтому требуемую в задаче фигуру (если она существует) всегда можно рассматривать как совокупность точек, прямых й окружностей.

Элементы требуемой фигуры, которые достаточно построить, чтобы сама фигура была построена, мы назовём определяющими элементами. Известно, что, например, для построения прямой достаточно построить две её точки ), для построения треугольника достаточно построить три его вершины ), чтобы построить окружность, достаточно, например, знать её центр и её точку ) и т. д. Указанные элементы и являются в каждом случае определяющими.

Чертёж-задание разделяет все определяющие элементы на две категории: известные и неизвестные; ют построения последних и зависит выполнение требования задачи. Неизвестные определяющие элементы мы назовём искомыми.' , ,

Решение всякой задачи на построение может быть сведено к отысканию и построению исковых элементов (точек) требуемой фигуры.

Процесс решения задачи на построение совершается но определённой схеме. Классическая схема решения состоит из четырёх пунктов (частей, стадий), которые мы будем называть этапами решения задачи.

I. Анализ. Так называется первый, очень важный эТап в решении задачи на построение, имеющий целью установить план решения. Название этапа показывает, что для достижения цели применяется особый метод рас- суждений, заключающийся в расчленении вопроса задачи й сведении его к отысканию отдельных связей между данными и искомыми элементами на основе изучения свойств тех и других.

Анализ сопровождается предположением, что задача на построение уже решена. Графически это выражается изображением соответствующей фигуры, которую мы будем называть ч е р т е ж о м-н аброском.

II. Построение. Значение этого этапа определяется тем, что его целью является выполнение требования задачи. При построении рассуждения анализа повторяются в обратном порядке, следовательно, данный этап есть синтез. Инструменты — циркуль и линейка дают возможность выполнить построение фактически. Ввиду этого далее под построением понимается именно фактическое построение. Результатом построения является чертёж- построение.

III. Доказательство. Это логически необходимый этап, ибо он имеет цель выяснить, отвечает ли построенная фигура требованиям задачи. Этап доказательства, следовательно, выясняет и правильность рассуждений, проведённых в анализе.

IV. Исследование. Это важный, завершающий этап решения задачи на построение. Его целью является придание полноты и общности решению. Устанавливаются все различные случаи, которые могут иметь место при построении, выясняется число решений задачи, условия существования искомой фигуры.

Особенности и содержание каждого этапа будут рао смотрены в дальнейшем.

*

Введём несколько условных обозначений.

Окружность радиуса г с центром в точке О —О (г);

Окружность,'построенная на отрезке а, м а \ как на диаметре (М — середина отрезка а) — м ' Т~)’ Пернендикуляр к отрезку А В, построен- _ I АВ ный через его середину _|_1Т*):

Прямые, параллельные прямой MQ и удалённые от неё на расстояние А — —(MQ,h);

Луч В А, наклонённый под углом ^ к лучу ВС ~ВА($,ВС);

Дуга сегмента, построенного- на данном отрезке а и вмещающего данный угол а — О (о, а); Знак принадлежности — с

Например: точка А принадлежит прямой а —Аса-,

Геометрическое место точек — ГМТ. 

ЭТАП АНАЛИЗА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

«Анализ — метод исследования, состоящий в расчленении целого на составные элементы. Все науки пользуются этим методом»  ). При анализе либо сами исследуемые предметы подвергаются фактическому расчленению, либо изучаемые вопросы' мысленно расчленяются при помощи логической способности абстракции, присущей мышлению.

Большая часть геометрических задач на построение такова, что план их решения неизвестен. Поэтому первым и важным вопросом является отыскание плана постррения. Анализ и представляет собой метод, позволяющий найти этот план.

Логическая сущность схемы анализа заключается в том, что, предположив задачу ХА (где А-—требование задачи, А—её условие) решённой, подменяют задачу ХА первой вспомогательной задачей Ул,. Если решение этой задачи неизвестно, то её заменяют задачей ZA, и т. д. Наконец, приходят к задаче VA„-г, которую заменяют известной в решении задачей WA„. Получаем следующую схему:

A' *-+YA^Z Wa„.

В различных звеньях этой схемы возможны ответвления.

Ясно, что обратный процесс рассуждения в этой схеме будет процессом синтетическим; он представлен этапом построения в общей схеме решения задачи на построение. 

§ 1. Основные методы решения задач на построение

Приведённая выше логическая схема анализа есть лишь его ойисание, его форма, пока лишённая содержания. Решение конкретной задачи опирается на те предложения в геометрии, на основе которых или для развития которых сформулирована задача.

В зависимости от используемых для решения задачи геометрических идей (идея геометрического места, идея геометрического преобразования, идея метрических соотношений) меняется содержание "''рассуждений в анализе, меняется сам метод отыскания Ълана решения и весь ход решения. Всё это обусловливает появление различных приёмов, способов решения, которые получают название «методов решения задачи на построение:».

Более распространённые методы решения задач на построение основаны на использовании следующих геометрических понятий:

I. Геометрическое место точек, обладающих определённым свойством.

II. Геометрические преобразования:

1) отражение от прямой;

2) .отражение от двух прямых (параллельный перенос, отражение от точки, поворот);

3) гомотетия, подобие фигур и подобное преобразование.

III. Метрические соотношения в геометрических фигурах (как основа алгебраического анализа).

Мы рассмотрим эти понятия и соответствующие методы решения задач на построение и покажем, каким образов надо при помощи указанных методов изучать фигуру до тех пор, пока не станет ясным путь решения.

Наша цель состоит, таким образом, в том, чтобы выяснить роль «методов» как средств анализа.

§ 2. Геометрические места точек, обладающие определённым свойством. Метод геометрических мест

Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии.

Определение геометрического места точек может быть сформулировано примерно так. ,

Геометрическим местом точек, обладающих определённым свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством*).

Это определение для плоскости означает, во-первых, 'что заданием свойств точек мы как бы выделяем (отличаем, фиксируем) некоторое множество точек плоскости (это множество может быть пустым, конечным и бесконечным, может составлять некоторую геометрическую линию, а может и не составлять таковой), во-вторых, обратно, изучая свойства точек плоскости, мы выделяем некоторое множество этих точек по их общим свойствам (в этом случае множество содержит хотя бы один элемент).

Приводим далее перечень основных геометрических мест точек. Этот перечень не претендует на полноту.

1. ГМ Т, удалённых на данное расстояние г от данной точки О, есть окружность радиуса г с центром в точке О; О (г).

Следствие /.ГМ центров окружностей данного радиуса г, проходящих через данную точку А, есть окружность А (г).

Следствие 2. ГМ центров окружностей радиуса г, касательных к окружности О (R), R~>r, есть совокупность двух окружностей, концентрических с данной: 0{R+r) и O(R-r).

Замечание. Можно рассмотреть эту теорему при г>7?.

Следствие 3. ГМТ, принадлежащих касательным к данной окружности 0{г) и удалённых от точек касания на расстояние а, есть окружность О (Yг* -+- и*).

Замечание. Вообще говоря, речь идёт о двух слившихся окружностях.

Следствие 4. ГМТ, из которых две касательные, построенные к данной окружности O(R), образуют

угол а, есть окружность О (Rcsc ^-).

Следствие 5. ГМТ, делящих внутренним образом хорды длины а данной окружности O(R), a<HR, в данном отношении т :п, есть окружность О(х), где х— расстояние делящей точки до центра О.

х *) Школьное определение отличается от этого, см. гл, IV, стр. 78.

2. ГМТ, равноудалённых от двух данных точек А и В (от концов отрезка А В), есть перпендикуляр к отрезку А В, проходящий через середину этого отрезка (срединный перпендикуляр к отрезку АВ, или симметраль точек А и В);

3. ГМТ, удалённых на расстояние h от данной прямой MN, есть совокупность двух различных прямых, параллельных MN и удалённых от неё на расстояние h (граница полосы шириной 2h с симметралью MN);~(MN, h).

4. ГМ вершин А треугольников с общим основанием ВС, углом/АВС— р, прилежащим к основанию, есть совокупность двух лучей, исходящих из точки В и составляющих с основанием угол ВА($, ВС) и ВА'($, ВС).

5. ГМТ, расстояния которых до двух данных, пересекающихся в точке О. прямых относятся, как данные отрезки тип, есть совокупность двух прямых, проходящих через точку О, определённым образом построенных.

Следствие. При т = п — совокупность биссектрис образовавшихся вертикальных углов.

6. ГМТ, из которых данный отрезок ВС=а виден под данным углом а, есть совокупность дуг двух сегментов, построенных на отрезке

ВС и вмещающих угол а (радиус дуг R==j esc а,

точки В и С исключаются), О (а, а).

Следствие 1. ГМТ, из которых отрезок ВС=а виден под прямым углом, есть окружность, построенная на ВС, как на диаметре (исключая точки В и С).

Следствие 2. ГМТ, из которых данный отрезок ВС виден под углом не меньшим, чем а, есть все точки двух сегментов, построенных на ВС и вмещающих угол а (исключая точки В и С) ).

Следствие 3. ГМТ, из которых данный отрезок ВС виден под углом меньшим, чем а, есть все точки 

плоскости, исключая точки предыдущего (следствие 2) геометрического места.

7. ГМ Т, расстояния которых до двух данных точек В и С (ВС=а) относятся, как т: п, есть

окружность Аполлония с диаметром PQ

где Р и Q — точки, делящие отрезок ВС в отношении т :п, соответственно, внутренним и внешним образом.

Примечание. При т = п окружность Аполлония вырождается в срединный перпендикуляр к ВС (ГМТ 2).

8. ГМ Т, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек В и С (ВС = а)г равна квадрату данного отрезка I, есть окружность

О (г 213 — агу где О —середина отрезка ВС

(в частном случае эта окружность стягивается в точку или не существует).

9. ГМТ, разность квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В постоянна и равна квадрату данного отрезка I, есть совокупность двух прямых, перпендикулярных к прямой АВ и проходящих через точки этой прямой, удалённые от концов отрезка АВ на расстояние р, равное:

р=~~2 ^Гв ‘ если К-АВ; р*~ > если 1>АВ;

р = АВ, если 1*=АВ.

Выясним существо метода геометрических мест.

При решении задач на построение основным вопросом является построение тех из определяющих элементов фигуры, которые неизвестны, т. е. построение искомых элементов. Такими ' элементами являются большей частью некоторые точки фигуры.

Так как мы имеем дело с классом задач, решаемых только циркулем и линейкой, то каждую искомую точку можно рассматривать как пересечение или двух прямых, или двух окружностей, или прямой и окружности.

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика