3. Четность и нечетность 89

4. Наибольшие и наименьшие значения 92

5. Графики ЮЗ

IV. Исключение параметров Ю8 V. Условные равенства 113

VI. Соотношения между элементами треугольника 127

VII. Задачи на повторение 141

VIII. Применение тригонометрии к решению стереометрических задач 180

1. Решение стереометрических задач на вычисление Непосредственное нахождение неизвестных величин 181 Нахождение неизвестных величин при помощи составления уравнений 187

1) Введение вспомогательного отрезка 189

2) Введение вспомогательного угла 202

2. Некоторые приемы, упрощающие решение стереометрических задач 225

Выбор положения фигуры

Нахождение некоторых комбинаций неизвестных 228 Использование зависимости между углом, образованным наклонной с плоскостью, и углами, образованными наклонной и ее проекцией с прямой на плоскости 234 Применение вспомогательных построений 237 Введение вспомогательных неизвестных. 243

Нахождение отношений однородных величин. 246

3. Исследование стереометрических задач на вычисление 248

Математические идеи, используемые при решении задач, весьма разнообразны. Однако при решении большинства задач каждого раздела школьного курса тригонометрии используются некоторые основные, ведущие идеи, на базе которых создаются те или иные способы и методы решения задач определенного вида.

Главным в нашем опыте мы считаем именно то, что при решении задач мы выделяем главные идеи, приемы, методы решения основных задач определенного вида. В своей практической работе мы убедились в том, что ясное и четкое формулирование этих идей, разъяснение способов решения задач значительно способствуют математическому развитию учащихся, расширяют их математический кругозор, помогают сознательному и глубокому усвоению теории, создают прочную базу для решения разнообразных сложных задач.

К сожалению, учебники и методическая литература уделяют методике решения задач в школе еще недостаточное внимание. Даже в книгах, содержащих решения задач или указания к решениям, ведущие идеи и методы решения задач не всегда систематизируются и обобщаются, а вопросы методики обучения учащихся решению задач затрагиваются ещё реже. Таким образом, в выборе способов решения задач учитель иногда ограничивается собственным опытом. Между тем учитель должен в совершенстве владеть как методикой решения разнообразных задач, входящих в программу средней школы, так и основными методами решения задач по элементарной математике вообще.

Авторы полагают, что все виды задач, рассмотренные в книге, должны изучаться в классе со всеми учащимися, но в зависимости от наличия времени и подготовленности класса учителю следует наиболее трудные задачи каждого раздела отнести к внеклассной работе.

Решая ту или иную задачу, авторы обычно старались показать рациональные и интересные способы ее решения, отступая от этого правила в тех случаях, когда данная задача используется для демонстрации какого-либо общего приема, пригодного для решения других, подобных задач; менее рациональные способы решения задач приводятся в книге для сопоставления с более рациональными лишь в тех случаях, когда эти способы (менее рациональные) распространены в литературе или в школьной практике.

Некоторые задачи решаются в книге несколькими способами. Рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи и разыскание решения наиболее интересного в идейном или техническом отношении значительно обогащают знания учащихся и способствуют развитию их творческой инициативы.

В книге рассматриваются основные виды задач, встречающиеся в школьном курсе тригонометрии. Некоторые из этих видов задач отсутствовали в задачнике по тригонометрии Н. Рыбкина, но все они содержатся в задачнике П. В. Стратилатова и во всех других новых задачниках по тригонометрии (Р. И. Позойского, А. И. и Н. И. Худо- биных); без умения решать эти новые виды задач знания по тригонометрии нельзя считать полноценными.

Рациональному выполнению преобразований тригонометрических выражений также уделяется значительное внимание в книге. Отсутствие навыков в выполнении преобразований простейшим путем и, наоборот, наличие громоздких и утомительных преобразований являются одной из главных причин перегрузки учащихся. Кроме того, быстрое и рациональное выполнение тригонометрических преобразований при изучении тригонометрии и в процессе решения стереометрических задач с применением

тригонометрии дает возможность сэкономить время, которое можно использовать для изучения и углубления теоретических вопросов и решения задач.

В разделе «Применение тригонометрии к решению стереометрических задач» рассматриваются основные способы решения стереометрических задач на вычисление и некоторые приемы, облегчающие решение таких задач; здесь же рассматривается вопрос об исследовании стереометрических задач на вычисление с параметрическими данными. Ответы к задачам по стереометрии обычно даются в таком виде, в каком они даны в книгах, из которых эти задачи взяты.

Значительная часть примеров и задач, приводимых в книге, взята из известных задачников, которыми авторы пользуются в своей работе:

1. П. В. С т р а т и л а т о в, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1958.

2. Р. И. Позойский, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1950.

3. А. И. Худоб ин и Н. И. Худо б ин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955.

4. Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955.

Авторы надеются, что книга окажет помощь учителям в обучении учащихся решению задач. Авторы также надеются, что книга окажется полезной для студентов педагогических вузов, для лиц, готовящихся к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения, и для лиц, самостоятельно изучающих тригонометрию.

Авторы выражают глубокую благодарность С. И. Новоселову, Г. А. Назаревскому, Ю. В. Ревзину и Е. Н. Обуховской, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний.