Глава II. Построение сечения многогранника плоскостью. Обоснование формы сечения 51

§ 1. Построение сечения многогранника плоскостью, заданной тремя точками 51

§ 2. Построение сечения многогранника плоскостью, заданной прямой и точкой вне ее или двумя параллельными прямыми 54

§ 3. Применение метода внутреннего проектирования при построении сечения призмы плоскостью 56

Рецензенты: Э. Г. Готман, кандидат педагогических наук, доцент Арзамасского пединститута; М. И. Бурда, кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник НИИ педагогики УССР; М. Б. Балк, кандидат физико-математических наук, доцент Смоленского пединститута.

Пособие иллюстрировано черно-белыми и цветными рисунками.

Для учителей математики, учащихся средней школы.

Значение чертежа при изучении геометрии очень велико, в частности при решении задач со взаимосвязанными между собой элементами фигуры, в том числе с дополнительными построениями.

Запись условия теоремы или задачи с помощью чертежа позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком, лучше усвоить и яснее понять его, что существенно облегчает анализ теоремы или задачи, поиски путей доказательства или решения. Чертежам пространственных фигур принадлежит первостепенная роль в развитии пространственного воображения, пространственного мышления, так необходимого в условиях научно-технического прогресса. Решение более или менее сложной стереометрической задачи начинается с выполнения правильного чертежа, так как без него трудно, а в ряде случаев невозможно усвоить условие задачи, проанализировать и решить ее.

При изучении математики решение задач играет огромную роль. И не только потому, что необходимо выработать умение применять полученные знания на практике (а ведь это одна из основных целей изучения математики в школе). Без решения задач нельзя овладеть и теорией. Именно в процессе решения задач математические понятия, аксиомы и теоремы, формулы и правила, геометрические фигуры предстают перед нами в самых разнообразных ракурсах, не в застывшем виде, а в движении, в различных связях и взаимозависимостях, которые отображают диалектику самой действительности. Подобно тому как грамматическими правилами можно овладеть лишь в процессе живой языковой практики, так и математическую теорему, определение, формулу можно усвоить по-настоящему, научиться применять на практике только в процессе решения задач.

Стереометрические задачи имеют свои специфические особенности, которые обусловливают ряд трудностей при их решении.

Решая задачу по планиметрии, мы обычно сравнительно легко изображаем фигуру, о которой идет речь в условии, без труда строим отдельные элементы. Построенная фигура с точностью до подобия (в определенном масштабе) отображает фигуру, данную в условии задачи. Все свойства фигуры, расположенной в плоскости чертежа, сохраняются, правильность изображения зависит только от тщательности, с какой чертеж выполняется.

Иное дело в стереометрии. Ведь здесь, решая задачу, мы пользуемся обычно не пространственной моделью, а изображением фигуры на плоскости (в школьной практике — в параллельной проекции). В связи с этим возникают две трудности: во-первых, нужно уметь правильно изображать фигуру (с учетом ее свойств и свойств параллельной проекции); во-вторых, нужно уметь правильно представить пространственную модель фигуры по ее условному изображению. В самом деле, на таком изображении прямоугольный в оригинале треугольник редко бывает прямоугольным; скрещивающиеся прямые изображаются пересекающимися или параллельными и т. д.

Специфика решения стереометрических задач связана также с особенностями геометрических построений в пространстве. Если в планиметрической задаче говорится, например, о перпендикуляре, опущенном из середины боковой стороны трапеции на ее большее основание, то мы берем в руки циркуль и линейку или угольник и без лишних слов строим этот перпендикуляр. Никаких особых обоснований при этом не требуется — они заключены в самом способе построения.

Совсем иное дело — построения в пространстве. Пусть, например, в условии задачи дано расстояние от основания высоты пирамиды до ее боковой грани. Чтобы решить задачу, нужно опустить из основания высоты пирамиды перпендикуляр на указанную боковую грань. Но в стереометрии это делается не циркулем и линейкой (или угольником), а теоретическим обоснованием такого построения, включающего и указание на то, где именно на боковой грани окажется основание опущенного перпендикуляра.

Анализ геометрической задачи направлен прежде всего на то, чтобы выявить свойства фигуры, непосредственно связанные с ее условием; уяснить зависимости между данными и искомыми элементами, включить те и другие в состав вспомогательных плоских фигур (чаще всего треугольников), рассмотрение которых даст возможность в определенной последовательности выразить искомые элементы через данные. В стереометрических задачах этот последний этап также имеет свою специфику; отсюда и дополнительные трудности. ----

Любую сложную задачу (и соответствующее построение) можно расчленить на ряд элементарных задач. При этом обнаруживается, что сложные задачи — это различные комбинации ограниченного числа элементарных задач (и соответственно элементарных построений). Хорошее владение способами решения элементарных задач, выполнения и обоснования элементарных построений (и их изображений на чертеже) вооружает для решения задач сложных. Вот почему в этой книге основное внимание уделено способам построения отдельных элементов пространственных фигур, обоснования этих построений и их изображения на чертеже в параллельной проекции.

В книге, таким образом, рассматривается не методика решения задач разных типов, а методика построения и изображения на плоскости стереометрических фигур и их элементов при решении задач. В связи с этим материал сгруппирован не но типам задач, а по видам построений, которые могут встретиться при решении всевозможных стереометрических задач. Условия задач на вычисление приводятся полностью, однако в книге рассматривается лишь первый этап их решения — построение и обоснование свойств соответствующих фигур и их элементов.

Сначала каждое построение рассматривается отдельно, а затем его применение иллюстрируется на примере задач, которые, кроме рассматриваемого, включают и другие построения. При этом последовательность выполнения чертежей к таким задачам нередко лишь указывается, полное обоснование предоставляется читателю, так как оно сводится к уже рассмотренным обоснованиям элементарных задач и построений.

Для иллюстрации рассматриваемых построений и изображений использованы задачи, однотипные с задачами из школьного учебника, а также конкурсные задачи для поступающих в высшие технические учебные заведения.

Приведенные в книге пояснения и обоснования к соответствующим построениям нельзя рассматривать как некие обязательные, стандартные образцы, тем более, что во многих случаях обоснование свойств фигур и построений предоставляется самому читателю. Хочется побудить читателя самостоятельно искать и находить решения задач.

Выше говорилось о важной роли чертежа при доказательстве теорем и решении задач. Но следует научиться относиться к чертежу критически. Ведь при изображении фигуры, особенно в стереометрии, мы допускаем ряд условностей, в результате чего чертеж обычно не полностью соответствует условию задачи. Например, нередко не равнобедренный треугольник на чертеже выглядит равнобедренным, и это направляет наши рассуждения на ложный путь. Поэтому необходимо обратить внимание учащихся на очень важное указание академика А. В. По-горелова — автора учебного пособия «Геометрия. 6 — 10»: «При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее».