Метод вращения около точки 91

Метод инверсии или метод обратных фигур 98

Отдел III. Приложение алгебры к геометрии. 107

Применение тригонометрии к решению геометрических задач 116

О возможности решения геометрических задач циркулем и линейкой. 118

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

Отдел IV. Смешанные задачи 126

Отдел V. Решение задач одним циркулем. 137

Построения Штейнера и построения с помощью двусторонней линейки, прямого или острого угла. 141

Построение корней уравнения третьей и четвертой степени 146

Прибавление. Задачи с неприступными точками 150

И. В. Наумович. Указания и дополнения 156

ПРЕДИСЛОВИЕ К 18-му ИЗДАНИЮ.

Книга Ивана Ивановича Александрова „Сборник геометрических задач на построение" имеет всеобщую известность.

В 1936 г. Учпедгиз переиздал 17-м изданием этот классический труд. Но надо отметить, что 17-е издание, подвергшись переработке С. Ю. Калецкого, выразившейся в решениях многих задач и в дополнениях к указаниям автора, потеряло ту значимость, которую этот труд имел до переработки. Редакция математики восстановила книгу в том виде, в каком она издавалась в последний раз при жизни автора. Учитывая пожелания учителей, редакция математики сочла возможным дать в приложении дополнительные указания к решениям некоторых задач. Эти указания составлены кандидатом физико-математических наук Е. Н. Наумович.

Редакция математики.

От издательства. Издание девятнадцатое печатается без изменений с издания восемнадцатого.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ к 16-му ИЗДАНИЮ.

При изменении своей книги автору предстояли две задачи неодинаковой трудности: или довести книгу до полного научного совершенства по современным источникам, удалив ее таким образом от средней школы, или, сделав возможные улучшения в научном смысле, не удалять книги от области среднего образования.

Дело еще осложнялось тем, что, по отзывам нескольких компетентных лиц, книга в России и за границей с успехом служила для самостоятельных занятий учащихся — без руководства преподавателей. При этом одни учащиеся находили книгу слишком трудной, другие — недостаточной и не охватывающей весь предмет.

Автор в течение многих лет видел очень много случаев чрезвычайно полезного влияния построений на ум учащегося и потому ни секунды не колебался в выборе и избрал второй путь, стараясь не удалять книги от средней школы и не жертвуя совсем развитием ее научности.

С такими намерениями автор в первой трети своей книги сохранил ее несколько ученический язык * *), оставил в ней задачи с двойным номером на случай повторения пройденного в классе, — эти двойные номера ручаются за сходство идеи и содержания решения — оставил также задачи, разнящиеся только формой выражения®) с целью дать учащемуся время освоиться с этим явлением. Задач последнего типа, начиная с № 150, II, уже совсем не встречается. Краткие обозначения и специальные термины введены окончательно только во второй половине книги. От самого начала автор строго различает термины „прямая" и „отрезок прямой", „касательные окружности" и „касательные круги" и т. п.³).

^х) Здесь во многих случаях я смотрел на задачу с точки зрения ученика, недостаточно опытного в построении.

*) Таковы, напр., две задачи: „построить треугольник, зная В, а, с", и „построить треугольник, зная В и радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и DBC,rnfi BD — h_b“.

’) Этим исполнено желание покойного К. В. Фохта („Ж. Мин. Нар. Проев.", 1911, август, стр. 200). Вопреки моим собственным словам (возражение на рецензию К. В. Фохта, „Ж. Мин. Нар. Проев.", 1912, февраль, стр. 251, конец пункта 2-го), это оказалось вполне возможным, как и предсказывал мне покойный В. Б. Струве.

Искусство решать задачи на построение слагается главным образом из уменья читать чертежи, из находчивости в проведении вспомогательной линии (см., напр., 2, 8, 156 ^!), II) и, наконец, равным образом, из знания и уменья применять методы. С углублением в дело должна развиваться находчивость уже высшего порядка — она состоит в уменье свести одну задачу на другую и главным образом в уменье применить к делу идеи метода.

Всего лучше это покажут задачи: 112, 156, 160, IV и 339, 386, 502, 503, 505, II.

Соответственно этому пополнены задачи на чтение чертежей (9—50, II) не в смысле числа задач, а в смысле разнообразия геометрических идей решения. Это достигнуто исключением задач одной идеи с заменой их задачами других идей. В дальнейшем было принято не брать более двух вариантов одной задачи, за исключением оригинальных и трудных случаев — таковы применение задач 69, I и 7, IV, задачи на инверсию и т. п. Общее число задач в кдиге приблизительно осталось то же, хотя прибавлено более ста новых задач (на половину собственной композиции, не считая первого отдела). Таким образом книга, не отдаляясь от области средней школы, стала более содержательной и более свободной от балласта.

Метод инверсии изложен заново с достаточным числом примеров, и ему дано надлежащее место. Из книги исключены все стереометрические задачи, за исключением тех, которые решаются планиметрическими методами (130, 133, IV). Прибавлены специальные указания к построению параллелограммов (386, II).

В отделе третьем я остановился на мысли помещать лишь те задачи, которые решаются с помощью алгебры или легче, или с тою же трудностью (в некоторых случаях это сделано по способу Лемуана). Поэтому число задач сократилось. Но зато я поместил новую статью о возможности решения задачи циркулем и линейкой, разбирая этот вопрос с двух точек зрения. Кроме примеров, написанных по этому вопросу с подробным решением, приложено 20 задач для упражнения.

В отделе первом, согласно указанию многих лиц, я сократил число задач на непосредственное применение основных задач, но зато поместил до 50 теорем, впоследствии играющих важную роль. Переделка этих маленьких упражнений может оказать существенную помощь в дальнейших построениях (см. 83, I и 154, IV, 82, I и 435, II). Число этих теорем можно увеличивать произвольно — я остановился на главнейших.

Четвертый отдел отличается тем, что учащийся должен сам разыскать подходящий метод решения. В него же вошли задачи наиболее трудные и предназначенные для лиц, имеющих особую склонность к этому предмету. Число ключей к решению и намеков на решение

*) Решение это, между прочим, напечатано в первом издании моей книги, 1883 г., № 145, IV.

я всюду значительно увеличил, полагая, что те лица, которым они не нужны, могут не обращать на них внимания.

За страшно быстрым темпом современной жизни я не успел поместить элементарную теорию поляр^!) и гармонических фигур; в будущем я надеюсь их изложить совершенно просто. Эти теории решают весьма изящно некоторые задачи (156—160, IV).

Книга была отдана решениям с помощью циркуля и линейки. В настоящее время такую постановку дела уже нельзя признать правильной. Поэтому, в особом пятом отделе, изложены построения Маскерони, Штейнера, а также решения задач с помощью простейших инструментов, способных решить не только квадратную задачу, но и задачу третьей и четвертой степени. Сюда же вошло мое маленькое исследование о конструктивных задачах с неприступными точками.

Согласно опыту последние два отдела книги практиковались в школе мало; поэтому эти отделы напечатаны особо и составляют 2-ю часть всего труда.

Как и в прежних изданиях я указываю, как надо пользоваться моей книгой в школе. Прежде всего надо пройти основные построения (I, 1—17) и достаточное количество задач, приучающих глаз и руку к построениям, не требующим анализа (18—36, I и 73—93, II). Параллельно с этими задачами или раньше полезно пройти соответствующие вопросы первого отдела. Далее необходимо обратить достаточное внимание на чтение чертежей, как на одну из самых важных сторон всего дела (№ 1—52, II). При дальнейшем постепенном и осторожном возвышении трудности задач следует, кроме методов решения, познакомить с очень важными приемами решения а, р, у., v (стр. 84, 103 и 104); венцом этого дела является указание на то, что некоторые геометрические идеи, как выразился один из моих рецензентов, оказываются рычагами решения целого класса задач. Число пройденных задач, число изученных методов и идей наперед указаны быть не могут; все это определяется в каждом частном случае интересом учащихся и тактом преподавателя.

При перерабатывании моей книги, кроме периодических изданий и собственной работы, я пользовался трудами Петерсона, Адлера, Вебера, Enriques’a, RouchS et Comberousse и задачником Е. М. Пржевальского.

Заключительное мое слово позволяю себе направить к учащимся.

^х) По поводу издания моей книги в Америке, меня уведомляли, что в американских школах сильно привилось учение о полярах и применение этого учения к задачам на построение.

*) „Скажем вместе с Дюгамелем, что никогда не следует скрывать ни от самих себя, ни, тем более, от учащихся те трудности, которые приходится нам самим преодолевать при решении геометрических задач, что часто их решение находится помощью произвольных попыток, которые хотя и могут быть известным образом направляемы, но, однако, иногда довольно долго бывают безуспешны для умов наиболее проницательных. Даже в этой наиболее развитой отрасли человеческого знания весьма замулировку, не могут быть решены при помощи только этих двух инструментов.

Многочисленные попытки решить эти три задачи поглотили много безуспешных усилий как в древнее, так и в новое время и не дали положительных результатов. Тем не менее они имели большое значение, так как привели к целому ряду интересных геометрических открытий, сыгравших важную роль в дальнейшем развитии геометрии. Невозможность решения этих трех задач циркулем и линейкой была обоснована теоретически лишь в XIX в.

76*. Делийская задача — одна из трех знаменитых задач древности (см. примечание 75, III). По преданию, древнегреческий философ Платон (IV в. до н. э.) во время чумы посоветовал для умилостивления богов удвоить кубический жертвенник Делийского храма. Отсюда и название — делийская задача.

92*. Указание. Рассмотреть сначала тот случай, когда две данные прямые пересекаются под прямым углом.

93*. Трисекция угла — одна из трех знаменитых задач древности (см. прим, к 75*), циркулем и линейкой разрешима лишь в специальных случаях (см. 47, II). Однако она легко решается во всех случаях при помощи некоторых других инструментов, например, двух угольников, циркуля и угольника, циркуля и линейки с двумя метками на краю и т. д. В V отделе показано, как выполняется деление произвольного угла DOE на три равные части (черт. 129) с помощью циркуля и линейки с двумя метками на краю (у И. И. Александрова вместо линейки взята бумажная полоска).

Это решение трисекции угла, основанное на так называемом приеме „вставки" (отрезок а вставляется между окружностью и продолжением стороны угла), было известно уже в древности (его приписывают Архимеду).

94*. Решение. Искомый треугольник можно построить, если известна, например, одна сторона или угол. Обозначая половину угла при вершине через а и данную высоту через а, можно прийти к уравнению:

4/? cos³ а — 2R cos а — а = О,

где R— радиус данной окружности.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.

4*. Решение. Внутреннюю часть ВС секущей нетрудно определить, если провести касательную АК и заметить, что ВС=АК или АВ = АК.

7*. Папп (Pappus), один из выдающихся греческих математиков, жил в Александрии в конце III в. н. э. Важнейшим из сочинений Паппа является сочинение, известное под именем „Сборника", который имеет огромное значение для истории математики, так как он знакомит нас с рядом ныне утерянных трудов греческих классиков.

Лично Паппу принадлежит несколько известных теорем. Приводимая И. И. Александровым „Задача Паппа", не решенная самим Паппом, послужила для Декарта первым образцом приложения созданной им аналитической геометрии.

43*. Решение. Перенесем параллельно СХ и DX в BF и AF; тогда можно построить вписываемый в окружность четырехугольник FBXA. Построенную фигуру легко перенести на данную.

44*. Решение. Строим A известной формы и на отрез

ках В_ХС_Х и D_XC_X описываем дуги, вмещающие углы ВАС и DAC, Таким образом находим точку Из А проводим касательную АХ к окружности О, а из А, — касательную к окружности O_lt описанной около △ BiCjDj, и т. д.

68*. Решение. Отрезок МВ можно определить из уравнения MBMA — k* (АВ — данный отрезок, М — центр подобия данных окружностей).

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.

1) — 4)*. (Стр. 137.) Первая задача из четырех указанных здесь по существу сводится к третьей, т. е. к пересечению данной прямой с некоторой окружностью, так как „указать" на данной прямой одну или несколько точек можно только путем пересечения ее с какой-либо линией — прямой или кривой. Четвертая же задача сводится к третьей (см. Адлер, Теория геометрических построений); правда, циркулем она решается непосредственно.