Сборник задач по геометрии для 6-8 классов (Никитин, Маслова) 1971 год - старые учебники

§ 13. Углы с соответственно

параллельными и перпендикулярными сторонами  38

Глава IV. Повторение . . 40

Глава V. Четырёхугольники 44

§ 14. Сумма внутренних углов четырёхугольника —

§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки —

§ 16. Частные виды параллелограмма   52

§ 17. Трапеция ...... 58

Глава VI. Площадь многоугольника. Площадь поверхности и объём прямой призмы  61

§ 18. Площадь многоугольника  61

§ 19. Площадь поверхности прямой призмы .... 76

§ 20. Объём прямой призмы . . 77

Глава VII. Окружность 80

§ 21. Окружность  —

§ 22. Взаимное положение прямой и окружности.

взаимное положение двух окружностей . . 83 § 23. Вписанные углы ... 86 § 24. Длина окружности и

площадь круга .... 88

§ 25. Цилиндр. Поверхность и объём цилиндра ... 91

Глава VIII. Повторение 93

Глава IX. Пропорциональные отрезки. Подобие фигур 97

§ 26. Пропорциональные отрезки  —

§ 27. Подобие треугольников 100

§ 28. Подобие многоугольников  107

§ 29. Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника ПО

Глава X. Тригонометрические функции острого угла 111

§ 30. Решение прямоугольных треугольников . . 112

Глава XI. Вписанные и описанные многоугольники  .115

§ 31. Правильные многоугольники  П8

Глава XII. Площади поверхностей и объёмы геометрических тел . . 120

Глава XIII. Повторение 128

Дополнительный материал 132

Ответы  153

 ГЛАВА I.

ОСНОВНЫЕ понятия.

§ 1. Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная линия.

1. 1) Через произвольно взятую точку провести различные пря

мые. Сколько прямых можно провести через одну точку?

2) Через две данные точки провести прямую. Сколько прямых можно провести через две точки? Сколько кривых линий можно провести через две точки?

3) Через две данные точки проведены две различные линии. Могут ли обе линии быть прямыми? Почему?

2. , 1) Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести прямые. Сколько таких прямых можно провести?

2) На чертеже 1 даны четыре точки. Через каждую пару точек провести прямые. Сколько всего будет проведено прямых?

3. 1) Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые?

2) Могут ли две различные прямые иметь две общие точки?

Почему?

4. 1) Из одной точки провести три различных луча. Сколько лучей можно провести, начало которых находится в данной точке?

АВ СО

Черт. 2. Черт. 3.

2) Назвать все лучи, образовавшиеся при пересечении двух прямых АВ и CD (точку пересечения прямых обозначить буквой О).

5. Сколько всего отрезков изображено на чертеже 2? Назвать их.

2) Общее сопротивление двух потребителей тока равно R, сопротивление каждого из них — Rt и R2 определяется по формуле -L=—+ -L R R, R,

или по номограмме, представленной на чертеже 20 (при помощи линейки). Пользуясь результатом первого способа, докажите правомерность использования этой но- д мограммы.

/ 101. Если медиана и высота,

\\ / проведённые из одной вершины

\ /д угла треугольника, делят этот

б\ /б угол на три равные части, то тре-

угольник прямоугольный. Дока-

зать.

\Z—Ь—— 102. На стороне треугольника

о 2 4 6 8 ю от его вершин отложены два Черт. 20. равных отрезка. Через получен

ные точки проведены прямые, па

раллельные сторонам треугольника. Доказать, что эти прямые пересекаются на медиане треугольника, проведённой к стороне, на которой отложены отрезки.

103. Биссектриса AD внешнего угла треугольника АВС делит продолжение противоположной стороны ВС на части CD и DB, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Доказать.

Указание. Провести прямую BE, параллельную биссектрисе AD.

104. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника АВС, проведённые из вершины А, пересекают прямую ВС в точках гч „ CDt CD

D и D, соответственно. Доказать, что тгт = и^в ив

105. В окружность вписаны два угла, опирающиеся на одну и ту же дугу. Доказать, что образовавшиеся при этом треугольники подобны.

106. Сторона а равностороннего треугольника разделена в отношении т : п (т и п — целые числа), и через точку деления проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Определить периметр образовавшегося четырёхугольника.

Сравните с результатом задачи № 60. Сделайте вывод.

107. Прямая проведена параллельно основаниям трапеции. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между одной боковой стороной и одной диагональю (или их продолжениями), равен отрезку этой же прямой, заключённому между второй боковой стороной и второй диагональю (или их продолжениями).

108. Если отрезок, заключённый между противоположными сторонами четырёхугольника и проведённый через точку пересечения

его диагоналей параллельно одной из двух других сторон, делится этой точкой пополам, то четырёхугольник — трапеция.

109. Доказать, что высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

ПО. Построить треугольник по двум его медианам, образующим прямой угол. При каких условиях треугольник окажется прямоугольным?

Черт. 21.

111. На чертеже 21 диаметры AD, DC и А С полуокружностей лежат на одной прямой. Диаметр BD круга перпендикулярен отрезку АС. Точка В лежит на пересечении двух окружностей. Доказать, что площадь заштрихованной части равна площади круга диаметра BD.

112. Две окружности с центрами О и Oj пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены две секущие, CCit и DDit точки С и D находятся на окружности О и точки Ct и Dj — на окружности О4. Эти точки соединены с точкой В.

а) Сравните углы CBD и С{ВО{.

б) Сравните треугольники CBCi и DBDV

в) Укажите геометрическое место середин хорд СА, CtA при переменном положении секущей ССР

ИЗ. Две окружности с центрами в точках О и Ot и радиусами R и г касаются внешним образом в точке С. Их общая внешняя касательная (точки М н Mt — точки касания) пересекается с линией центров в точке S. Их общая внутренняя касательная пересекает внешнюю касательную в точке Р. Точка Т — середина отрезка ООР

Доказать, что треугольник с вершинами в точках О, Р, Ot прямоугольный. Выразить длины отрезков ТС, SC через R и г.

114*. В полуокружность вписана ломаная ABCD, АВ = ВС = = 2а, CD = 2b. Выразить радиус полуокружности через а и Ь.

115. Обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна сумме обратных величин его катетов. Доказать.

116. В равнобедренном треугольнике АВС из середины основания ВС проведён перпендикуляр КН к боковой стороне АС, точка

Я лежит на стороне АС. Точка О — середина отрезка КН. Доказать, что прямые АО и ВН перпендикулярны.

117. Через две противоположные вершины параллелограмма проведено по одной прямой. Каждая из этих прямых пересекает две другие стороны (или их продолжения) в точках М и N и в точках К и L. Доказать, что полученные точки являются вершинами трапеции или параллелограмма.

118. Через точку D, взятую на стороне АВ треугольника ЛВС, проведена прямая, параллельная стороне АС. Через точку Е, пересечения этой прямой со стороной ВС, проведена прямая, параллельная стороне АВ, до пересечения со стороной АС. Через точку F, пересечения этой прямой со стороной АС, проведена прямая, параллельная стороне ВС, до пересечения со стороной Л В (точка G, черт. 22). Продолжая построение, получим точку Н на стороне ВС, точку / на стороне АС и т. д. Пусть АВ = 6, ВС = 5, АС = 8.

Черт. 22.

а) Вычислить AG и CI, если BD = 2; 3; 5.

б) На основе предыдущего упражнения сделайте общий вывод, в) В каком случае точки G и D совпадут?

119*. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника ЛВС как на основаниях построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, BCR\ два первых треугольника расположены вне данного треугольника, третий — по ту же сторону от ВС, что и треугольник ЛВС. Докажите, что четырёхугольник APRQ — парал-лелограмм.

§ 30. Решение прямоугольных треугольников.

120. В треугольнике ЛВС АВ — 5, АС = cos А = V 5 Вычислить с точностью до 0,01 площадь треугольника.

121, В треугольнике ЛВС АВ = 4а, АС = 6а, cos Л =

Найти площадь треугольника, сторону ВС и высоту, проведённую к этой стороне.

122. В треугольнике ЛВС высота АН = h, Х-В = 72°, X. С »■ *= 45°. Выразить через А:

а) стороны треугольника;

б) его площадь;

в) высоты треугольника.

123. В трапеции ABCD АВ || CD, АВ = 4а, ВС = a, AD = 2а, Z_ В = 72°. Вычислить площадь трапеции.

124. Сторона ромба является средним пропорциональным между его диагоналями. Найдите величину острого угла ромба.

ГЛАВА XI.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Вписанные и описанные треугольники.

125. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

126. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Доказать.

127. Из вершины прямого угла треугольника проведены лучи через центры вписанной в треугольник и описанной около него окружностей. Угол между этими лучами равен 7°. Вычислить острые углы треугольника.

128. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC (Z. С = 90°), равен R, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен г:

а) выразить R + г, R — г, Rr через катеты а и Ь треугольника;

б) построить прямоугольный треугольник по заданным R и г.

Указание. Выразить через R и г гипотенузу треугольника и сумму его катетов. Далее смотри задачу № 18 дополнительного материала.

129. Вершина А остроугольного треугольника АВС соединена отрезком с центром О описанного около треугольника круга.

Из вершины А проведена высота AD. Доказать, что Z. BAD = = Z. ОАС.

130. Точка М — переменная точка отрезка АВ, середина которого обозначена О. На отрезках АМ и МВ как на гипотенузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники АСМ и MDB.

а) Найдите геометрическое место точек С и D и точку пересечения этих геометрических мест — точку Р.

б) Докажите, что прямая РМ делит отрезок CD пополам.

в) Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника АМС.

Вписанные и описанные многоугольники.

131. Биссектрисы углов любого четырёхугольника образуют четырёхугольник, около которого можно описать окружность. Доказать.

132. Через середину дуги АВ окружности проходят две произвольные прямые, пересекающие окружность в точках F и С и хорду АВ в точках D и Е соответственно. Доказать, что точки F, С, D и Е лежат на одной окружности1.

133. В треугольнике АВС проведены высоты ВВ{ и ССР Точка их пересечения обозначена К- Доказать, что точки A, В{, К, Ct лежат на одной окружности.

134. Во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот относительно трёх сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Доказать.

135. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, квадрат высоты равен произведению её оснований. Доказать.

§ 31. Правильные многоугольники.

136. Заполнить без пробелов и перекрытий равными правильными многоугольниками плоскость. Определить, для каких правильных многоугольников это возможно.

137. Найдите отношения сторон следующих многоугольников, с тем чтобы ими можно было покрыть без пробелов и перекрытий всю плоскость:

а) квадрат и треугольник;

б) шестиугольник, квадрат и треугольник;

в) шестиугольник и треугольник;

г) восьмиугольник и квадрат;

д) двенадцатиугольник и треугольник.

Для каждого случая сделайте чертеж.

Составьте сами несколько аналогичных задач.

138. Через середину В радиуса О А некоторой окружности к нему проведён перпендикуляр, пересекающий окружность в точке К. Отрезок ВК может быть принят приближённо равным стороне правильного семиугольника, вписанного в эту окружность. Найдите допускаемую при этом погрешность.

139. Около круга описан многоугольник, все стороны которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

140. Около круга описан многоугольник, все внутренние углы которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

141. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Выразите периметр и площадь четырёхугольника МСВЕ через радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

1 См. задачу Кя 85 дополнительного материала.

142. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Центр окружности, описанной около шестиугольника, обозначен через О. Прямая ВМ пересекает прямые ED, OD и ОС в точках L, К, и Н соответственно. Выразите через сторону шестиугольника длины отрезков EL, ОН, ОК, а также площадь треугольника ОКН.

143. Из вершин квадрата ABCD со стороной а радиусом, равным половине его диагонали, проведены окружности. Точки пересечения этих окружностей со сторонами квадрата последовательно соединены. Определить вид полученного восьмиугольника и вычислить его стороны.

144. Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что MAD = = Z. MD А = 15°. Доказать, что треугольник ВСМ равносторонний.

Указание. На стороне AD квадрата вне его построить равносторонний треугольник.

145. На сторонах прямоугольного -треугольника как на диаметрах вне его построены полуокружности, к этим полуокружностям проведены касательные, параллельные катетам треугольника и не пересекающие фигуру. Доказать, что полученный таким образом четырёхугольник является квадратом.

146*. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом (черт. 23) так, что узел стал плоским. Доказать, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Черт. 23.

147. На чертеже 24 изображён правильный звёздчатый пятиугольник, вырезанный из бумаги. Как нужно сложить лист бумаги и как должна быть расположена линия разреза для получения этой фигуры? Как должна проходить линия разреза, чтобы вырезанным оказался правильный пятиугольник?

Черт. 25.

148*. Правильный шестиугольник можно получить из двух бумажных лент, одинаковой ширины так, как это указано на чертеже 25. Докажите, что шестиугольник будет правильным.

А, 149. Длина окружности радиу

са R может быть приближённо заменена длиной отрезка, равного сумме утроенного диаметра окружности и у стороны квадрата, вписанного в эту окружность. Найти абсолютную и относительную погрешности такой замены.

150. Через конец диаметра AAt окружности радиуса R с центром О проведена касательная к окружности (черт. 26), АВ — сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, ОС — прямая, проходящая через середину хорды АВ. Точка С лежит на прямой MN. Длина отрезка CD равна трём радиусам окружности. Показать, что длина отрезка AJ) приближённо равна nR.