Определение параллелограмма —

Свойства параллелограмма —

Признаки параллелограмма 20

Разные задачи 21

Необходимые и достаточные условия 22

Прямоугольник —

Ромб , 23

Квадрат 24

Трапеция 26

Разные задачи 28

• 4. Площади многоугольников —

Площадь прямоугольника —•

Площадь квадрата 30

Площадь параллелограмма 31

Площадь треугольника 32

Площадь трапеции 35

Разные задачи 36

Глава III Окружность и круг 40

Окружность, хорда, касательная —

Центральные углы и дуги 41

Расстояние от центра до хорды 42

Глава IV

Векторы 43

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число —

Коллинеарность векторов 45

Длина вектора. Угол между направлениями двух векторов —

Разные задачи 47

Глава V Подобие 50

Основные свойства гомотетии. —

Две и более гомотетии —

Гомотетия окружностей 51

Приложение гомотетии к решению. геометрических задач 52

Пропорциональные отрезки 53

• 2. Подобие 55

Подобные треугольники —

Подобные многоугольники —

Метод подобия при решении задач на. построение 56

Глава VI

Повороты и тригонометрические функции 59

Повороты —

Синус и косинус .

Глава VII

Метрические соотношения в треугольнике 61

Теорема косинусов —

Формулы для вычисления площадей треугольников 62

Теорема синусов 63

Глава VIII Вписанные н описанные многоугольники 64

Вписанный угол —

Вписанные и описанные треугольники 66

• 2. Вписанные и описанные четырехугольники 67

Вписанные четырехугольники —

Описанные четырехугольники 68

Разные задачи —

Правильные многоугольники —

Площадь правильного многоугольника 70

Разные задачи —

• 4. Длина окружности и площадь круга 72

Длина окружности —

Площадь круга 73

Глава IX

Начальные сведения из стереометрии 75

• 1. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. —

Основные свойства прямых и плоскостей —

Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр к плоскости 76

Параллельные плоскости 77

Ортогональное проектирование —

• 2. Площади поверхностей и объемы некоторых тел 78

Прямая призма —

Общие свойства объемов. —

Пирамиды 79

Цилиндр —

Конус —

Шар 80

Задачи для внеклассных и индивидуальных занятий 81

• 1 Осевая симметрия. Композиция осевых симметрий —
• 2. Параллельный перенос и центральная симметрия. Поворот 83
• 3. Векторы 85
• 4. Гомотетия 88
• 5. Подобие 90
• 6. Координаты 91
• 7. Координатно-векторный метод 94
• 8. Площади 96
• 9. Метрические соотношения 99
• 10. Множества точек 102
• 11. Неравенства 104

Ответы и указания .

Глава I. Начальные понятия геометрии 107

Глава II. Многоугольники. 121

Глава III. Окружность и круг. 131

Глава IV. Векторы 133

Глава V. Подобие 147

Глава VI. Повороты н тригонометрические функции 158

Глава VII. Метрические соотношения в треугольнике —

Глава VIII. Вписанные и описанные многоугольники 163

Глава IX. Начальные сведения из стереометрии 166

Задачи для внеклассных и индивидуальных занятий. 171

ПРЕДИСЛОВИЕ

Во второй части сборника содержатся задачи повышенной трудности, а также задачи, требующие нестандартного подхода к их решению. Материал этой части предназначен для использования его во внеклассной работе и на факультативных занятиях, для индивидуальной работы с учащимися, проявляющими интерес к изучению математики.

Используемые в пособии обозначения и терминология находятся в полном соответствии с принятыми в восьмилетней школе системой понятий и символикой. Однако в отдельных случаях вместо «конгруэнтные отрезки» и «конгруэнтные углы» употребляется «равные отрезки» и «равные углы». Эта «вольность» речи не может привести к недоразумению, поскольку под словом «равенство» подразумевается равенство длин отрезков или равенство величин углов, а последнее, в свою очередь, влечет за собой их конгруэнтность. Если употребляется термин «сторона треугольника», то из контекста ясно, отрезок это или его длина. Если в задачах заданы две, три и более точек, то предполагается, что эти точки различны, и в большинстве указаний к решению задач этот общий случай и подразумевается. Однако учитель, желая придать задаче исследовательский характер, может потребовать от учащихся исчерпывающего рассмотрения возможных частных случаев.

В конце книги приведены ответы и указания к решению, а в некоторых случаях и полные решения задач.

Сборник задач, в особенности его вторая часть, может быть использован также и в старших классах при повторении курса планиметрии, а также при проведении кружковых и факультативных занятий.

Задачи к главам IV и V, а также ответы и указания к ним подготовлены И. С. Герасимовой.

Авторы выражают благодарность рецензентам Ю. П. Д у д и и- цину, Б. М. Ивлеву, Г. Б. Кузнецовой за ряд ценных замечаний и рекомендаций.

Авторы

В частности, при k = 1 точка С совпадает с серединой отрезка Л В. Поэтому координаты х₀, у₀ середины отрезка АВ вычисляются по формулам:

Xj + Х₂ У1 + У2

^х°--------- 2 ’ ^Уо~ 2 ’

III. ПОДОБИЯ плоскости

Напомним определение преобразования подобия.

Отображение плоскости на себя, при котором для любых двух точек А и В и их образов Л! и В_г выполняется равенство | Л^ | = = k | АВ |, где k — положительное число, называется преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k.

Если k — 1, подобие становится перемещением.

В дальнейшем, говоря о подобии, будем иметь в виду подобие, отличное от перемещения.

Всякое подобие можно представить композицией гомотетии (с произвольно заданным центром и с коэффициентом, равным коэффициенту подобия) и перемещения. Композиция гомотетии и перемещения первого рода есть подобие первого рода. Композиция гомотетии и перемещения второго рода есть подобие второго рода. Подобие первого рода сохраняет ориентацию плоскости, подобие второго рода меняет ее на противоположную.

Представление подобия композицией гомотетии и перемещения неоднозначно. Можно показать, что всякое подобие первого рода есть либо гомотетия, либо композиция гомотетии и поворота с общим центром. Этот общий центр есть неподвижная точка подобия и называется центром подобия первого рода. Представление подобия первого рода в виде композиции гомотетии и поворота с общим центром единственное, и эти два преобразования можно выполнять в любом порядке.

Подобие первого рода обладает тем свойством, что угол между направлением луча и его образа постоянен для данного подобия. Поэтому подобие первого рода однозначно задается своим центром, коэффициентом и углом поворота или центром и парой соответственных точек.

Всякое подобие второго рода можно представить однозначно в виде композиции гомотетии и симметрии, ось которой проходит через центр гомотетии. Такое представление подобия второго рода единственное. От перестановки компонентов композиции подобие не меняется. Центр гомотетии в этом случае является неподвижной точкой подобия.

Подобие второго рода задается однозначно центром и парой соответственных точек, лежащих на одном луче с началом в центре подобия.