ВВЕДЕНИЕ

1. О формировании и развитии пространственных представлений у учащихся

Одной из самых важных задач преподавании геометрии в школе является формирование и развитие у учащихся пространственных представлений, а также способности и умения производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят себя тем или иным техническим профессиям, но и для тех, кто изберет себе разные другие специальности, будь то специальность художника, хирурга, астронома, географа или химика. Слабое развитие пространственных представлений дает себя знать уже в школе, затрудняя научение ряда школьных предметов, а в деятельности взрослого человека оно иногда оказывается причиной многих неудач. Изобретателю, например, этот недостаток часто мешает реализовать свои творческие планы.

Трудно сомневаться в том, что систематическая работа над формированием и развитием пространственных представлений почти всегда приводит к улучшению последних. Это особенно заметно на тех, кому по роду своей деятельности приходится много работать над чертежами. У таких лиц, даже при наличии лишь средних природных данных, развивается весьма тонкое представление пространственных отношений и верная оценка размеров изображенных или наблюдаемых предметов. Вместе с тем становится ясным, что проекционные изображения могут сыграть серьезную роль в достижении указанной выше цели.

На первых порах обучения основным источником образования геометрических представлений и понятий являются окружающие предметы, которые ребенок не только видит, но и сравнивает, прикасаясь к ним или передвигая, чтобы лучше определить форму и относительное положение их в пространстве.

Важно, чтобы школьник умел подмечать предметы, имеющие одинаковую или сходную форму, например ящик или спичечную коробку (прямоугольный параллелепипед), а также понять и оценить их различие по величине. Многие окружающие предметы имеют форму прямоугольника (тетрадь, книга, стол, оконная рама, классная доска и т. д.), другие —форму окружности (тарелка, циферблат часов, монета и др.).

Мало-помалу школьники приучаются узнавать геометрические формы в тех предметах, которые им попадаются на глаза чуть ли не ежедневно.

Эта способность видеть геометрию вокруг себя есть ценнейшее качество, которое должно быть всемерно поддержано и развито. Оно приводит к образованию абстрактных понятий геометрических фигур, таких, как прямоугольник, окружность, призма, цилиндр и т. д. Большую помощь в этом процессе могут оказать модели простейших геометрических тел. Преимущество последних состоит в том, что они дают геометрические формы тел, так сказать, в «чистом», идеальном виде, а не в усложненном и не в искаженном, какими мы их встречаем в окружающей среде. Наблюдение и запоминание формы геометрических тел на моделях позволяют школьнику распознавать затем геометрическую форму того или другого конкретного предмета, хотя она выражена у последнего лишь приближенно.

Таким образом, на этой ступени образования геометрических представлений находят свое применение модели геометрических тел. Полезно также самостоятельное моделирование, т. е. изготовление моделей силами учащихся.

После того как учащиеся научились различать геометрические формы моделей и окружающих предметов, надо добиваться закрепления следующего этапа: умения мысленно представлять геометрические образы в пространстве.

К этой цели можно идти разными путями. Так, после рассмотрения моделей можно убрать их и продолжать упражнения, оперируя с теми мысленными представлениями геометрических фигур, которые остались в памяти учащихся. При этом полезно контролировать их высказывания о свойствах фигур повторными обращениями к моделям и конкретным (предметным) формам. Некоторые педагоги рекомендуют даже часть занятий вести в темноте, заставляя учащихся мысленно воображать виденные формы предметов или геометрических моделей.

Однако более целесообразно начинать эту работу с упражнений в представлении геометрических фигур по их изображениям (чертежам).

Последние не только помогают развивать пространственное представление учащихся, но и могут значительно содействовать решению следующей по сложности задачи: умению оперировать с геометрическими образами, изображенными на чертеже. На этом этапе учащиеся должны быть способны мысленно представить геометрические фигуры и решать различные вопросы, относящиеся к их взаимному положению и размерам. Понятно, что упражнения такого рода невозможно проводить на моделях, или во всяком случае такие возможности очень ограничены. К тому же между решением задачи на модели и без нее образуется слишком резкий скачок: например, в то время как возможность пересечения куба плоскостью по шестиугольнику легко воспринимается учащимися, когда им это показывают на модели, мысленное представление этой операции без модели многим учащимся дается с большим трудом.

Проекционный чертеж особенно полезен в таких случаях. Чертеж облегчает выполнение каких-либо действий над изображенными на нем фигурами, так как он помогает их пространственному представлению и сохраняет на бумаге все выполняемое на чертеже. С другой стороны, чертеж не воссоздает самих этих фигур, и для решения тех или иных вопросов надо мысленно вообразить данные фигуры в пространстве.

Таким образом, чертеж как бы заполняет пробел между предметными моделями и абстрактными представлениями пространственных фигур. Он вызывает и развивает пространственные представления, причем эта работа облегчается изображениями, выполненными на чертеже. Что это действительно так, можно видеть из того общеизвестного факта, что чертежи пространственных фигур могут быть более наглядными или менее

наглядными, т. е. не все чертежи одной и той же фигуры способны в одинаковой степени вызывать ее пространственное представление.

Следовательно, мы не только знаем об этом свойстве чертежей, но и различаем последние по нему, говоря о наглядности чертеж.

В нашем распоряжении остается возможность применять для развития пространственных представлений чертежи различной степени наглядности. Но особенно большое преимущество проекционных чертежей заключается в том, что на таких чертежах можно «эффективно» решать задачи с пространственными фигурами, фактически строя на чертеже искомые элементы и производя необходимые операции, почти совсем так, как это должно было бы выполняться в самом пространстве. Этого нельзя достигнуть на моделях по той причине, что на них невозможно производить геометрические построения. Мысленные построения без моделей также не дадут полного эффекта, так как положение фигур и их элементов при этом не фиксируется в пространстве, и геометрические образы оказываются неопределенными. К тому же такие построения почти недоступны для большинства учащихся. Только проекционный чертеж делает возможным такую постановку стереометрических задач. Это имеет первостепенное образовательное значение. Не случайно и в практической жизни этот вопрос разрешается точно таким же образом: пространственные объекты изображаются на проекционных чертежах, которые являются наиболее точными и удобными описаниями данного объекта. Значение и распространение их огромно.

Из всего сказанного ясно, что упражнение на проекционных чертежах, решение задач на таких чертежах должны составлять существенную часть преподавания стереометрии. При этом проекционные чертежи, применяемые в стереометрии, не должны выходить за рамки материала обычного курса геометрии, т. е. не должны содержать специфических приемов начертательной геометрии, вызываемых инженерно-техническими соображениями. Такие построения должны быть отнесены к курсу черчения, где они найдут свое настоящее место. В предлагаемой книге для учителя даны примеры стереометрических задач на проекционных чертежах, не требующие каких-либо дополнительных сведений из области начертательной геометрии. 6

Опыт решения учащимися таких задач был проведен в ряде московских школ и показал полную возможность введения их в школьную практику, а также их доступность для учащихся.

В § 10 даны методические указания педагогам о практическом использовании материала этой книги.

В первой части книги собраны лишь задачи позиционного характера, не содержащие метрических условий. Примеры метрических задач даны во второй части.

2. Проекционный чертеж в преподавании стереометрии

В преподавании стереометрии роль проекционного чертежа должна быть очень значительной. От этого в большей мере зависит достижение тех целей, которые ставятся в курсе стереометрии. Следует подчеркнуть двоякую роль проекционного чертежа при обучении стереометрии. С одной стороны, преподаватель иллюстрирует свое изложение чертежом на доске, чтобы вызвать у учащихся наглядное пространственное представление изучаемых геометрических образов, соединить с ними теоретические рассуждения и объяснения. Такое преподавание предмета дает более прочное, конкретное и отвечающее практическим задачам усвоение курса стереометрии. Мы будем называть чертежи, применяемые с этой целью, чертежами-картинами. С другой стороны, нельзя забывать о второй задаче курса стереометрии: научить учащихся оперировать над пространственными образами и формами, решать задачи с пространственными фигурами, т. е. находить решение фактическим построением. В настоящей работе мы постараемся показать, что и эта вторая цель может быть достигнута при помощи проекционных чертежей, которые будем называть в этом случае чертежами-моделями.

Между обоими видами чертежей — «чертежами-картинами» и «чертежами-моделями»—имеется существенное, глубоко принципиальное различие. В то время, как «чертежи-картины» должны в максимальной степени оставлять свободу действий за выполняющим их педагогом, т. е. предоставлять ему возможность свободного выбора элементов изображения на чертеже, «чертежи- модели» должны служить делу эффективного решения

стереометрических задач, т. е. они не должны допускать произвольного выбора искомого элемента, так как последний вполне определяется данными чертежа. Другими словами, для «чертежей-картин» целесообразно пользоваться «неполными» и «метрически-неопределенными» изображениями, именно такие изображения больше других отвечают указанной выше цели. Наоборот, в случае «чертежей-моделей» следует применять «полные» и «метрически-определенные» изображения, так как на таких чертежах можно фактически выполнить требуемое для решения задачи построение¹.

Нельзя сказать, что конструктивные задачи совершенно отсутствуют в обычном школьном преподавании стереометрии. Так, уже в самом начале стабильного учебника (А. П. Киселев «Геометрия», учебник для средней школы, ч. II, Учпедгиз, 1954, стр. 4), в § 6, читаем заголовок: «Задачи на построение в пространстве»². В этом параграфе, однако, отмечается, что «для построений в пространстве чертежные инструменты становятся уже непригодными, так как чертить фигуры в пространстве невозможно». Поэтому приходится условиться в том, что мы умеем выполнять некоторые основные построения. (В учебнике Киселева таких условий три: 1. Построение плоскости по трем данным точкам. 2. Построение линии пересечения двух данных плоскостей и 3. Планиметрические построения в данной плоскости.) После этого мы читаем: «Выполнить какое-либо построение в пространстве — это значит свести его к конечному числу только что указанных основных построений» (разрядка оригинала)^{3 * * * * 8}. Таким образом, решение задачи

¹ «Полным» мы называем такое изображение, которое определяет только позиционные свойства оригинала; «метрически-определен- ным»—такое изображение, которое определяет форму оригинала (см. об этом: Н. Ф. Четверухин, Чертежи пространственных фигур

в курсе геометрии, Учпедгиз, М. 1946).

³ Задачи на построение помещены лишь в I главе стабильного учебника. Во П главе излагаются элементы построения эпюр начертательной геометрии в ортогональных проекциях. В следующих главах

(многогранники, круглые тела) задачи на построение отсутствуют.

’ Интересно отметить, что эта концепция вполне аналогична той трактовке, которая дается вопросу о геометрических построениях на

плоскости, и является ее дальнейшим развитием в пространстве. Так,

к обычным планиметрическим постулатам о «конструктивности», определяющим в абстрактной форме свойства линейки н циркуля, для вы-

8

на построение в пространстве сводится к некоторому количеству мысленных операций в пространстве, которые могут сопровождаться для наглядности иллюстративным чертежом (т. е. «чертежом-картиной»). Эта методика является, невидимому, общепринятой в нашей школе. Она имеет свои положительные стороны — тренирует пространственное воображение учащихся, помогает им изучить способы решения задач, но она не дает им умения фактически решать стереометрическую задачу на чертеже, подобно тому как это достигается в начертательной геометрии и как это требуется в практической жизни. В этом, по нашему мнению, заключается серьезный недостаток сущв- ствующей методики. Пробел, о котором идет речь, прежде всего дает себя знать в самой средней школе при прохождении курса черчения, а также у молодежи, предполагающей посвятить себя инженерно-техническим профессиям, в частности — будущих студентов втузов. С каким трудом многим из них даются предметы графического цикла: начертательная геометрия и машиностроительное или архитектурно-строительное черчение! Эта трудность была бы значительно понижена, если не устранена совсем, в том случае, если бы еще в средней школе учащиеся умели решать стереометрические задачи на проекционных чертежах.

полнения геометрических построений в пространстве добавляется еще один «воображаемый пространственный инструмент», с помощью которого можно строить плоскости в пространстве (такой инструмент можно было бы назвать «пластинкой»). Свойство этого воображаемого инструмента и выполняемые им операции и определены тремя выше упомянутыми постулатами стабильного учебника. Таким образом, пространственная концепция отличается от плоскостной тем, что в то время, как постулаты последней передают в абстрактной форме действительно существующую чертежную практику, постулаты геометрических построений в пространстве устанавливают лишь некоторую форму условности для воображаемого выполнения таких построений. Эта цель и была отражена в приведенной выше цитате иа стабильного учебника.

Что же касается практической стороны вопроса, то, как показывает инженерно-техническая практика, конструктивные задачи в пространстве решаются на проекционном чертеже при помощи обычных чертежных инструментов. Это обстоятельство должно быть принято во внимание в преподав а ним. стереометрии, особенно, имея в виду задачи политехнического обучения. Подробнее об этом см. статью автора «Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии» («Известия Академии педагогических наук», т. VI, 1946 г.).

Для решения задачи применим метод, описанный в § 14. В качестве плоскости, перпендикулярной к касательной WQ, выберем проектирующую плоскость, след которой совпадает с диаметром NL. Спроектируем на эту плоскость образующую SM. Проекция представится отрезком SMi. На линию SM| следует опустить перпендикуляр из точки /V. Для выполнения этого построения совместим проектирующую плоскость с плоскостью чертежа. Получим совмещенное положение образующей в виде отрезка SoM_t(SSo=SN). Теперь построим перпендикуляр NPq из точки N к прямой SoMt. Основание перпендикуляра обозначим буквой Pq. Возвращая совмещенную проектирующую плоскость в первоначальное положение, видим, что основание перпендикуляра займет при этом положение Р\ (Po/’i||SoS). Сносим затем точку Р\ на образующую SM, проводя P\P\\NQ. Через точку Р проходит искомый общий перпендикуляр. Для его построения нужно, очевидно, провести PQ LNQ. Таким образом, прямая PQ есть искомый общий перпендикуляр.

• 19. Методические указания

В настоящей работе автор стремился показать, какую существенную роль могут сыграть стереометрические задачи на проекционном чертеже в развитии у учащихся геометрических понятий Однако он отнюдь не считал своей целью дать в руки учителя сборник задач такого рода. Приводимые в тексте задачи должны были лишь конкретизировать мысли и предложения, содержащиеся в работе. При этом обращалось внимание на возможность для самого учителя размножить варианты задач, меняя те или иные данные на проекционном чертеже. Так, например, на чертеже 90 мы можем изменять положение точки Р, выбирая ее не только на поверхности куба, но также внутри и вне его Метод решения задачи в общих чертах сохранится, но детали изменятся и потребуют сообразительности от учащегося для благополучного доведения решения до конца. Это, конечно, не исключает возможности пользования систематическим подбором задач, т. е. применения задачника. Автор полагает, что такое пособие желательно и могло бы оказать сущест- 122

венную помощь¹. Но в первую очередь надо показать, какие чертежи и как могут быть использованы для эффективного решения на них стереометрических задач. Таким образом, задачи, рассматриваемые в настоящей работе, должны были служить лишь примерами, образцами, допускающими, конечно, неограниченное варьирование.

Так как предлагаемые задачи, по мысли автора, не являются чем-то особым, изолированным от всего хода занятий по стереометрии, то их надо рассматривать в ■курсе стереометрии как его органическую часть наряду с обычными задачами на доказательство и вычисление. Тем не менее их роль в геометрическом образовании учащихся должна быть признана первостепенной, так как только при помощи проекционного чертежа в преподавании стереометрии может быть введен действенный конструктивизм, конкретная возможность строить, оперировать фигурами в пространстве. В практической жизни идут тем же путем, отображая пространственные объекты на проекционном чертеже, и оперируют с ними на этих чертежах.

Какие методические трудности встретит преподаватель, культивирующий стереометрические задачи на проекционном чертеже?

Первой из них является вопрос о том, что следует рассказать учащимся о проекционном чертеже и его свойствах?

Мы думаем, что примерный ответ на этот вопрос дает содержание п. 3 введения настоящей книги (стр. 10). В самом деле, учащийся (а тем более учитель) должен отчетливо сознавать, что решение задачи на проекционном чертеже возможно именно потому, что последний построен по определенным законам геометрии. Напомним, что эти свойства чертежа (при параллельном проектировании^ сводятся к следующим:

1° проекция прямой линии есть прямая,

2° сохранение инцидентности (точка, принадлежащая прямой, проектируется точкой, принадлежащей проекции прямой).

3° сохранение параллельности прямых,

4° сохранение отношения отрезков, лежащих на прямой оригинала, и в проекции.

¹ См., например. Л М Лоппвок, Сборник стереометрических вадач на построение, Учпедгиз, 1950.

О них следует рассказать просто и кратко, не поди и- мая более общих вопросов. Это необходимо сделать и в обычном преподавании стереометрии, так как без определения понятия «проекции» (при параллельном проектировании) для учащихся не были бы понятны те обычные чертежи, которыми сопровождается преподавание и которыми пестрят страницы учебников. Учащемуся не было бы, например, понятно, почему на изображении куба его грани, квадратные в оригинале, оказались параллело- грамами. Ему недоставало бы также уверенности в том, какие из свойств пространственных фигур сохраняются на чертеже, и, следовательно, законны ли применяемые методы решения задач.

Второй вопрос заключается в методике проведения упражнений и решения задач на проекционном чертеже. Для лучшего уяснения этой стороны дел-a мы разберем более подробно один из примеров, а именно задачу 3 из § 13. Напомним здесь еше раз формулировку задачи:

Дано изображение куба и точки Р на его грани BCBiCi. Требуется опустить из точки Р перпендикуляр на диагональную плоскость AAiCiC (черт. 72).

Задача, очевидно, заключается: 1) в нахождении направления искомого перпендикуляра и 2) в построении его точки пересечения с диагональной плоскостью AAiC'C.

Так как все перпендикуляры к одной и той же плоскости между собой параллельны, то на проекционном чертеже, по свойству таких чертежей, они также окажутся параллельными Значит для решения вопроса о направлении перпендикуляра достаточно построить любой из перпендикуляров к плоскости АА\С^С Но диагональ BD в оригинале перпендикулярна к этой плоскости. В самом деле, прямая BD перпендикулярна прямой АС, так как эти прямые в оригинале являются диагоналями квадратной грани куба. Кроме того, прямая BD перпендикулярна к ребру 4Д1 куба, так как лежит в плоскости, перпендикулярной к этому ребру. Таким образом, прямая BD как перпендикулярная к двум прямым, лежащим в плоскости АА^С, перпендикулярна и к этой плоскости. Эго означает, что прямая BD дает нам искомое направление перпендикуляра, опущенного из точки Р на плоскость ДЛ1С|С.

Переходим ко второй части задачи: построению точки пересечения перпендикуляра с плоскостью АА|С|С, т. е. основания перпендикуляра Ро (черт. 72).

Для этого проводим плоскость через точку Р и перпендикуляр ВМ (к плоскости AAiCiC) Эта вспомогательная плоскость содержит, конечно, и искомый перпендикуляр РРо, так как РРоЦВЛ/ (на чертеже и в оригинале). Соединяя точки В и Р, получим след ВР вспомогательной плоскости на грани BCC\B_t куба. След ВР пересекает ребро СС| в точке Л/. Точки Л и М принадлежат вспомогательной плоскости, поэтому прямая Л/Л/ является следом ее на диагональной плоскости ДА|С|С. Перпендикуляр РРо лежит во вспомогательной плоскости и, следовательно, пересекает линию MN в точке Р_о. Эта точка является общей точкой перпендикуляра РРо и диагональной плоскости AA,CiC, а значит она и есть искомое основание перпендикуляра. Вторая часть задачи выполнена. Таким образом, задача решена полностью.

Примечание. Подробный разбор задачи показывает, что она может быть вполне и детально обоснована материалом, содержащимся в программе и стабильном учебнике. Таким образом, наряду с построением, эффективно выполняемым на чертеже, учащиеся упражняются в применении доказанных ранее теорем к решению практических задач на «чертежах-моделях».

Следующий методический вопрос касается форм и методов работы с учащимися. Должны ли задачи на проекционном чертеже рассматриваться и решаться на уроке или их следует задавать на дом. Мы полагаем, что обе формы работы с учащимися желательны. Более легкие задачи, непосредственно примыкающие к материалу учебника, служат хорошим упражнением для всех учащихся Сперва следует объяснить в классе самую постановку задачи и разобрать 2—3 примера. Затем можно задать несколько примеров на дом Более трудные задачи можно предлагать интересующимся ученикам, имеющим хорошее пространственное воображение и способным справляться с пространственными конструкциями.

Необходимо стремиться к тому, чтобы путем надлежащего подбора упражнений и задач добиваться у всех учащихся развития пространственного воображения и умения оперировать с пространственными фигурами.

С этой целью более слабым учащимся надо иногда прибегать к моделированию задачи с тем, чтобы хорошо представлять себе происходящее на чертеже. Все это требует вдумчивого и дифференцированного подхода к занятиям как в классной, так и в домашней обстановке.

Что же касается технической стороны выполнения задач на построение, то автор считает, что следует стремиться к аккуратному и даже красивому исполнению работ. Притом это требование следует в большей степени предъявлять к домашним работам, чем к классным. Однако не нужно делать технику исполнения самоцелью. На технику построения у учащихся должен быть выработан взгляд как на привычку выполнять каждую работу тщательно и аккуратно, хотя цель работы заключается не в этом. Поэтому работа может выполняться с помощью обычных классных инструментов (линейка, угольник, циркуль) в карандаше, но «принципиальная» верность чертежа должна быть выдержана в полной мере. Выделение отдельных линий их большей толщиной или цветными карандашами, а также выполнение некоторых линий пунктиром для усиления наглядности чертежа, конечно» поможет учащимся в ясности представления пространственного оригинала. Однако обводка тушью и некоторые другие технические условия могут быть отнесены к черчению, где этой стороне дела придается большее значение.

Наконец, следует сказать о «задачах, требующих напряженного пространственного воображения» (§ 18). Такие задачи имеют в виду учащихся, уже обладающих хорошим пространственным воображением и способных воображать фигуру по заданным условиям. Проекционный чертеж выбран в форме настолько мало наглядной, что он почти ничего не добавляет к условиям задачи в смысле пространственного представления рассматриваемых фигур. Он тем не менее делает задачу конкретной, так как все построения выполняются над элементами, изображенными на чертеже Кроме того, он играет роль схемы, в которой последовательно фиксируются все этапы и операции хода решения. При чтении условий задачи у каждого ученика является желание сделать наглядный рисунок, так как это может сильно облегчить представление фигуры и само решение задачи. Однако желательно, 126

чтобы учащиеся попытались сделать задачу без такого наглядного изображения и лишь в случае неуспеха можно разрешить обращение к нему. Полезно также на примерах, подобных рассмотренным в § 18, показать, как недостаток в наглядности и, следовательно, в пользовании интуицией может быть заменен строгостью дедуктивного рассуждения. Для этого надо при помощи подробно проводимых заключений (без пропуска каких-либо логических звеньев) проделать весь путь решения задачи и придти к неизбежному выводу.