Тригонометрические уравнения и методика их преподавания (Березанская) 1935 год - старые учебники

Однородные уравнения относительно sin x и cos x.

Уравнение вида дроби.

Приемы решений уравнения, левая часть которого однородная функция II степени относительно sin x и cos x.

Уравнения иррациональные.

Уравнение a sin x+b cos x=c.

Уравнение, имеющее вид равенства одноименных функций.

Показательные и логарифмические уравнения.

Уравнения, содержащие обратные круговые функции.

Уравнения, содержащие тригонометрические функции дуг.

Системы тригонометрических уравнений.

Различные упражнения.

Решение квадратного уравнения.

Графическое решение тригонометрических уравнений.

 ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о тригонометрических уравнениях полностью рассматривается с учащимися в 10 классе средней школы. Ранее, в 9 классе, при изучении формул гониометрии, выполняя упражнения, наряду с соответствующими тождественными гониометрическими преобразованиями, учащиеся решают и уравнения. Но лишь в 10 классе можно поставить систематический просмотр всего вопроса, в частности вопрос о решении уравнений в тех случаях, когда в процессе решения нарушается равносильность между полученным уравнением (или совокупностью их) и данным. Для того чтобы учащиеся могли в 10 классе приступить к изучению вопроса "тригонометрические уравнения", они должны четко знать из курса алгебры:

1) различие между тождеством и уравнением;

2) теоремы, на которых основывается решение уравнений;

3) определение каждого из нижеуказанных уравнений: решение и исследование решений уравнений 1-й степени с одним неизвестным, с целыми и дробными членами; квадратного уравнения; j биквадратного уравнения; уравнений однородных; уравнений-высших степеней, решение которых сводится к решению уравнений 1-й и 2-й степени; иррационального уравнения; логарифмических и показательных уравнений; системы уравнений 1-й степени с двумя и тремя неизвестными как с числовыми, так и с буквенными коэффициентами.

В частности, для того, чтобы успешно решать тригонометрические уравнения, учащиеся должны усвоить из курса алгебры решение уравнений вида произведения в одной части, при условии, что другая часть равна 0; вида дроби; учащиеся должны уметь (в результате изучения теории

х-+а

пределов в 9 и 10 классах) находить hm в том случае, когда /(а) = 0 и F(a) = 0 и др.

Из курса тригонометрии необходимо знать формулы гониометрии и их использование при решении упражнений, а именно:

1) формулы приведения;

* Курс проведен в 1934/35 уч. году в 10 классе опытной школы НКП имени Лепешинского.

2) основные зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла;

3) тригонометрические функции суммы и разности углов; двойных и тройных углов; половинных углов;

4) формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций;

5) введение вспомогательного угла;

6) определение обратных круговых функций и их свойства.

Таким образом вопрос о тригонометрических уравнениях основывается на вышеперечисленных вопросах теории алгебраических уравнений, которые дополняются, расширяются н видоизменяются соответственно особенностям входящих в них тригонометрических функций.

Указание: отдельные вопросы, рассматриваемые нами в данной статье, как напр. вопрос о периодичности тригонометрических функций, сложение обратных круговых функций и др., а также отдельные типы уравнений, приводимые нами, прорабатываются с учащимися и в 9 классе; нами они повторяются с целью дать систематическое изложение вопроса о преподавании "тригонометрических уравнений". С этой же целью для учителя помещены в данной статье некоторые более сложные приемы решения уравнений и последние §§, не входящие в курс средней школы