ВВЕДЕНИЕ.

Только в последние годы были сделаны некоторые попытки улучшить и дополнить школьную программу по математике. Но в целом программа по математике все еще нуждается в серьезном обновлении. Вопрос о месте тригонометрических уравнений в курсе тригонометрии много лет являлся дискуссионным. И сейчас среди методистов существуют две точки зрения: согласно первой — изучение тригонометрических уравнений должно быть сосредоточено в специально выделенной программой теме, согласно второй — не следует выделять тригонометрические уравнения в особую главу курса. Школьная программа на 1967/68 уч. год отражает вторую точку зрения. Изучение тригонометрических уравнений начинается в IX классе. В основном изучается три вида уравнений: 1) простейшие; 2) однородные относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента и 3) уравнения, приводимые к алгебраическому виду. Решение этих уравнений проводится параллельно с изучением каждой группы формул тождественного преобразования, как это указано в программе. В- X классе тригонометрические уравнения изучаются параллельно с прохождением теорем сложения. Школьная программа на 1967/68 уч. год отводит 20 часов на повторение. В процессе повторения представляется возможность провести классификацию тригонометрических уравнений по способам их решения. Значение тригонометрических уравнений заключается, главным образом, в том, что они, во-первых, являются прекрасным средством для закрепления знаний учащихся о свойствах тригонометрических функций, а, во-вторых, представляют большие возможности для развития у учащихся вдумчивого отношения к вопросам равносильности уравнений. Учитывая вышесказанное, в настоящей брошюре подробно рассматриваются следующие вопросы:

1. Проведена классификация тригонометрических уравнений по способам их решения, причем классификация сделана с возможно исчерпывающей полнотой.

2. Рассматривается вопрос о нарушении равносильности при решении тригонометрических уравнений и в связи с этим методика проверки корней.

3. Собрано много задач по геометрии и физике, приводящие к решению тригонометрических уравнений.

4. Хотя понятие о корнях, связанных с предельным переходом, школьной программой не предусмотрено, мы имели полную возможность в XI классе рассмотреть и этот вопрос. Поэтому разобран и вопрос о предельных корнях уравнения/в данной брошюре. По школьной программе трудно судить, входит ли в программу решение систем уравнений, но так как при решении задач

по физике, геометрии и многих технических задач часто приходится решать системы уравнений, мы решили подробно рассмотреть и приемы решения систем.

В какой мере сможет использовать материал данной брошюры в своей работе учитель, зависит от состава класса, и этот вопрос должен решить сам учитель. Вопрос о нахождении предельных корней уравнений, а также способы решения систем можно рассмотреть на занятиях математического кружка. Мы уверены, что материал, рассматриваемый в данной брошюре, окажется полезным для молодого учителя. Особенно полезным он окажется при повторении тригонометрии и геометрии в выпускном классе.

Автор,

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

В тригонометрии под названием тригонометрических уравнений рассматриваются некоторые частные виды уравнений (и систем), содержащих тригонометрические операции над неизвестными и допускающих решения элементарными средствами. Во многих учебниках дается следующее определение: тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций.

Мы считаем, что с точки зрения методики полезно дать определение понятия тригонометрического уравнения. Однако следует подчеркнуть, что определение пригодно для уравнений с одним неизвестным, которые разрешимы элементарными средствами. (Ведь только такие уравнения решают в средней школе.)

Мы считаем более удачным определение, приводимое в основном курсе тригонометрии И. К. Андронова (издание 1960 г.). И. К. Андронов дает следующее определение:

«Уравнение называется тригонометрическим, если в нем:

1) неизвестные содержатся только под знаком круговых функций;

2) аргументами круговых функций являются линейные функции от неизвестных;

3) над круговыми функциями выполняются только алгебраические операции».

Из этого определения следует, что тригонометрическими являются, например, уравнения:

2sin²x — 5cosx — 4 = 0, 4cosx — 3secx = 0, sin(2x+ 1) = ^-.

Именно такие уравнения помещены в стабильном задачнике Стратилатова. Исходя из данного выше определения, уравнения

sin (1 — Зх -|- x²) = 1, tg (sin x) = a,

cos (Ух — л) = sinx

нельзя считать тригонометрическими, Такие трансцендентные уравнения можно решать на занятиях математического кружка.

Известно, что алгебраическое нетождественное уравнение либо имеет конечное число решений, либо не имеет решений.

Тригонометрическое уравнение также может не иметь решений, напр., sinx = 2. Если тригонометрическое уравнение имеет решение, то решений бесконечное множество. Решить тригонометрическое уравнение — это значит найти множество допустимых значений неизвестного, при которых обе части данного уравнения имеют одинаковое значение. Например, уравнение ^,sin2x = -l-

Общий прием решения тригонометрических уравнений заключается в том, что от всех тригонометрических функций переходят к одной функции и к одному и тому же аргументу. После этого, приняв эту функцию за неизвестное, решают уравнение алгебраическим путем.

Рассмотрим виды тригонометрических уравнений, которые можно решить в IX классе.

ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ.

К простейшим уравнениям мы относим уравнения вида

m sin (ах 4- b) = k /и cos (ах 4-6) = г

п tg (ах + b) = t nctg (ах 4-6) =f

Пусть решается уравнение sinx=/n.

Рассмотрим все возможные значения т.

1) 0</и<1. При построении угла по данному значению синуса получаются два угла: arc sin тип — arc sin т (arc sin т — угол, первой четверти, л — arc sin т — угол второй четверти). Решение уравнения записывается формулами:

х — arc sin т 4- 2лт

х = л — arc sin т 4- 2пп>