Тригонометрия (Бермант, Люстерник) 1950 год - старые учебники

Соотношения между значениями тригонометрических функций одного угла

• 9. Основные формулы. 12
• 10. Вычисление значений тригонометрических функций острого угла по значению одной из них 13
• 11. Тригонометрические тождества 15

Таблица значенйй тригонометрических функций

• 12. Определение значений тригонометрических функций с помощью построений 17
• 13. Построение и вычисление угла по данному значению тригонометрической функции 18
• 14. Составление таблицы тригонометрических функций 19

Решение прямоугольных треугольников

• 15. Постановка вопроса 21
• 16. Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу . . . 22
• 17. Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам. 24

Глава вторая

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ УГЛЫ И ИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Векторы и их проекции

• 18. Положительные и отрицательные отрезки на оси 27
• 19. Векторы. 28
• 20. Проекции вектора 29
• 21. Теорема 30
• 22. Теорема о замыкающем. 30

Обобщение понятия угла

• 23. Начальная и конечная стороны угла 31
• 24. Четверти. 31
• 25. Углы и дуги, большие 360° 33
• 26. Отрицательные углы и дуги. Суммы углов и дуг 34

Определение тригонометрических функций любого угла и простейшие свойства

• 27. Новое определение тригонометрических функций острого угла 36
• 28, Определение тригонометрических функций любого. угла 37
• 29. Проекции вектора на оси 39
• 30. Геометрическое построение синуса и косинуса . 40
• 31. Знаки тригонометрических функций. 41
• 32. Значения тригонометрических функций некоторых углов 42
• 33. Геометрическое построение тангенса и котангенса 43

8 34. Некоторые примеры отыскания углов по значению тригонометрической функции 45

Некоторые важнейшие формулы

g 35. Основные формулы 46

8 36 . Замечание. о тригонометрических тождествах 47

• 37. Изменение. знака угла 48
• 38. Обобщение формул для тригонометрических функций дополнительных углов. 49

Приведение к острому углу

• 39. Приведение к углу, меньшему 360° 50
• 40. Формулы приведения. 50
• 41. Общее правило для формул приведения 52

8 42. Приведение к острому углу . 53

Глава третья

ИЗУЧЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Тригонометрические функции числового а^умента

• 43. Радианное измерение дуг и углов 55
• 44. Определение тригонометрических функций числового аргумента 57
• 45. Задание функций 58
• 46. Периодичность тригонометрических функций 59

График функции

• 47. Понятие графика функции 6?
• 48. Примеры. Чётность и нечётность функции _k . . 64

Графики тригонометрических функций

• 49. График функции sin х 66
• 50. График функции. cos* 68
• 51. График функции tg . 69
• 52. График функции etg . 71

Ход изменения тригонометрических функций

• 53. Ход изменения sin х и cos . 72
• 54. Ход изменения tg х и etg х 74

Гармонические колебания

• 55. Простые гармонические колебания 76
• 56. График простого гармонического колебания 78

Глава четвёртая

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Формулы сложения и вычитания

• 57. Дополнение к формуле проекций. 80
• 58. Формулы сложения и вычитания для косинуса 81

8 59. Формулы сложения и вычитания для синуса 83

8 60. Формулы сложения и вычитания для тангенса 83

Формулы для двойного и половинного аргументов

• 61. Тригонометрические функции. двойного аргумента 84
• 62. Тригонометрические функции. половинного аргумента 85
• 63. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 86
• 64. Составление таблицы тригонометрических функций. 87

Преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и обратные преобразования

• 65. Формулы для произведений синусов и косинусов 89
• 66. Приведение к виду, удобному для логарифмирования 89
• 67. Преобразования с помощью вспомогательного аргумента. 91
• 68. Сложение простых гармонических колебаний 92

Приближённые равенства для тригонометрических функций

• 69. Общие замечания 94
• 70. Основные неравенства 95
• 71. Дополнительные неравенства. 96
• 72. Применение приближённых равенств к составлению таблиц 99

Применение комплексных чисел

• 73. Формула Муавра 100
• 74. Формулы для sin //ср И cos /гср. 102

Глава пятая

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Основные зависимости между элементами треугольника

• 75. Постановка вопроса. 104
• 76. Зависимость между углами треугольника 105
• 77. Теорема синусов 105
• 78. Теорема косинусов. 108
• 79. Вывод основных зависимостей между элементами треугольника из одной системы . 109

Различные зависимости между элементами треугольника

• 80. Теорема тангенсов 112
• 81. Зависимость между периметром и другими элементами треугольника 113
• 82. Зависимость между площадью и другими элементами треугольника . . 116

Глава шестая

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Таблицы логарифмов тригонометрических функций

• 83. Логарифмы тригонометрических функций. 119
• 84. Устройство таблиц логарифмов тригонометрических функций 120
• 85. Использование таблиц в обратном назначении. 122
• 86. Решение прямоугольных треугольников с помощью логарифмических таблиц

Решение косоугольных треугольников

• 87 Общие замечания.
• 88. Случай 1.
• 89. Случай II
• 90. Случай III
• 91. Случай IV.

Некоторые применения

• 92. Измерения линий и углов на местности 139

Глава седьмая

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Обратные тригонометрические функции

• 93. Определения . 143
• 94. Многозначность обратных тригонометрических функций 144
• 95. Нахождение значений обратных тригонометрических функций 147

Изучение обратных тригонометрических функций

• 96. Общее понятие обратной функции 150
• 97. Функция у = Arc sin х. 152
• 98. Главное значение Arc sin х 153

8 99. Функция у =. Аге cos х. 155

• 100. Главное значение Аге cos х. 155
• 101. Функция у = Аге tg х. 156
• 102. Главное значение Arc tg х. 157
• 103. Функция у = Аге etg х 158
• 104. Главное значение Arc etg х 159

Преобразования обратных тригонометрических функций

• 105. Простейшие преобразования. 160
• 106. Дальнейшие преобразования 162

Тригонометрические уравнения

• 107. Определение. 165
• 108. Примеры уравнений 167
• 109. Равенства одноимённых тригонометрических функций. 169
• ПО. Дальнейшие примеры 171
• 111. Один общий метод . 174
• 112. Доказательство общности формул для значений обратных тригонометрических функций 176

Исторический очерк . 177

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание книги, вышедшее в свет в 1947 г. (и её перевод на грузинский язык), подвергалось неоднократным обсуждениям в различных научно-педагогических учреждениях. Мы имели возможность познакомиться с результатами этих обсуждений, с замечаниями преподавателей об опыте работы по учебнику, а также с рецензиями и отзывами, появившимися в печати и полученными Учпедгизом. Весь этот материал был нами учтён при переработке книги к третьему изданию.

Внимательный читатель легко обнаружит главные изменения, внесённые нами. Скажем здесь только, что весь текст был тщательно отредактирован, проверен и исправлен, причём наиболее серьёзной переработке подверглась вторая глава (введена простейшая векторная терминология и перераспределены первые вводные части главы геометрического содержания), доказательства некоторых теорем и предложений упрощены, изложение вопроса о тригонометрических уравнениях несколько расширено.

В той работе над книгой, которую нам пришлось проделать при подготовке её к настоящему изданию, мы пользовались советами и замечаниями многих лиц. Мы выражаем им всем свою искреннюю благодарность. Особой признательностью мы обязаны И. А. Гибшу, К. Н. Сикорскому, Б. А. Кордемскому, Н. Н. Николаевой и С. А. Пономарёву.

Одновременно Учпедгиз выпускает задачник по тригонометрии, специально приспособленный к этому учебнику, составленный Р. И. Позойским.

Москва, 25 декабря 1949 г.

Авторы

Глава седьмая

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

• 93. Определения. Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу или дуге, но и обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции. В этой главе специально займёмся этой обратной задачей.

Пусть синус некоторого угла (или дуги) а равен а:

sin а = а.

Это означает, разумеется, также и то, что угол (или дуга), синус которого есть а, равен а радианов. Вместо такого словесного утверждения употребляют запись:

а = Arc sin а

(произносят: а равно арксинус а). Приставка Аге (сокращение от Arcus—дуга) неотделима от обозначения sin и вместе с ним образует символ, указывающий величину угла (дуги), синус которого равен числу а, стоящему за знаком Arc sin.

Подобным образом вводятся:

Arc cos а (арккосинус а),

Arctga (арктангенс а), Arcctga (арккотангенс а).

Запись Arc cos а указывает величину угла (или дуги), косинус которого равен а; запись Arctga — величину угла (или дуги), тангенс которого равен а; запись Arcctga — величину угла (или дуги), котангенс которого равен а. Относительно этих обозначений следует сделать те же замечания, которые были сделаны относительно обозначений Arc sin а.

С изменением а меняются также и Arc sin а, Аге cos а, Arc tga, Arcctga, которые мы можем рассматривать как функции аргумента а.

Эти функции, а также аналогично определяемые Arc sec а и Arc cosec а называются обратными тригонометрическими функциями. В отличие от них sin a, cos а, tga, etga (и sec а и cosec а) иногда называют прямыми тригонометрическими функциями.

Определение. Обратной тригонометрической функцией аргумента а называется величина, измеряющая угол (дугу), для которого соответствующая прямая тригонометрическая функция равна а.

Выражения Arc sin а и Arc cos а имеют смысл, только если | а | 1, ибо значения синуса и косинуса любого угла по абсолютной величине не могут быть больше единицы. Что касается выражений Arctga и Arcetga, то они имеют смысл при любом а.

• 94. Многозначность обратных тригонометрических функций. Мы подчёркивали уже следующее свойство тригонометрических функций: каждому значению угла (или дуги) соответствует единственное значение тригонометрической функции. Это свойство называется однозначностью. Итак, прямые тригонометрические функции однозначны. В противоположность этому обратные тригонометрические функции неоднозначны, а, как говорят, многозначны. Именно, каждая обратная тригонометрическая функция имеет не одно, а много, даже неограниченно много (условно говорят „бесконечно много") значений; притом это имеет место для любого значения аргумента. В самом деле, если данное значение какой-нибудь прямой тригонометрической функции соответствует некоторому углу, то, как мы знаем, взятая тригонометрическая функция принимает это же значение и для всех углов, отличающихся от указанного на полный оборот (на 2п), а также и для многих других углов.

Рассмотрим каждую обратную тригонометрическую функцию в отдельности.

Арксинус. Пусть известно, что

Arc sin a —а.

Это значит, по определению, что sin а = а. Но тогда в силу периодичности и sin (а-|-/г-2тг) = а, где k — произвольное целое число. Отсюда сразу следует:

Arcsin а= a.-\-k’2n — a-\-2kn. (117_t)

Кроме того, в согласии с правилами приведения (§ 40): sin a = sin (я— а) = а.

Поэтому

Arcsina = n — а,

и в силу периодичности

Arc sin а = я— а-{-Л-2я =— а-{-(2Л-]- 1)я. (117₂)

Мы видим, что если известен один угол а, синус которого равен данному числу а, то всякий угол одного из двух видов: а-|-2&«я и —а -|- (2k 1) тг имеет синус, равный тому же

числу а. Два выражения: а-|-2Ая и —а -|- (2k 1) тг можно

заменить одним, если заметить, что в первом из них множителем при я служит произвольное чётное число, а во втором— произвольное нечётное число. Очевидно, выражение (—1)"а—|—/гя, где п — любое целое число, соединяет в себе оба предыдущих выражения (117). Именно, при п чётном оно обращается в первое из них, а при п нечётном—во второе.

Таким образом:

Arcsina=(—1)"а-|-ля, (118)

где а— какой-нибудь угол, синус которого равен а, ап— целое число (положительное, отрицательное или нуль). Правая часть формулы даёт нам общий вид углов (дуг), имеющих данный синус.

„ _m . Л 1

Пример: Так как sin—= —, и

ТО 1 ft

Arc sin-у = ( — 1)”-х-Ц-лл ( = (1)” 30°+ п-180°).

Придавая п значения: 0, ±1, ±2, ±3 ., будем получать по этой формуле различные значения Arc sin-у. В частности при л = = 1 и л = 2 находим:

Arc sin -5- = -f ^я (150°), Аге sin L = л (390°). Л О лл о

Арккосинус. Если известно, что

Arc cos а = а,

т. е., что cos а = а, то и cos (а k• 2я) = а и, значит,

Arc cos а = а -|~ 2Ля.

Но известно, что

cos (— а) — cos а = а, и поэтому

Arc cos а = — а 2Air.

Итак, если а — какой-либо угол, косинус которого равен данному числу а, то всякий угол одного из двух видов: я 4“ 4~2/иг и —а4“2Лтг, где k — произвольное целое число, имеет косинус, равный тому же числу а. Так как множителем при первом, и во втором выражениях служит произвольное чётное число, то эти два выражения можно заменить одним общим выражением: 4-я2£тг.

Таким образом,

Arc cos а = 4; я -|- 2лтг, (119)

где я — какой-нибудь угол, косинус которого равен я, а п — целое число (положительное, отрицательное или нуль). Правая часть формулы даёт нам общий вид углов (дуг), имеющих данный косинус,

П Ф тс 1

Пример. Так как cos ,

О Z то вообще,

1 я

Arc cos-^- = -q-4-2flit(zfc 60° 4-2л-180°).

2 о

Придавая п различные целые значения, будем получать по этой формуле различные значения Arc cos . В частности, при л=1, п = 2 находим:

17 1^е)

Аге cos — = -л- тс (= 420°); Аге cos — = — тс (300°); Л о 2 о

Arc cos тс (= 780°); Arc cos тс (660°). 2 о 2 о

Арктангенс. Пусть известно, что Arc tga = fl.

Значит, tgfl = a и в силу периодичности tg (я -|- /гтт) = а. Поэтому наряду со значением, равным я, Arctga равен также любому углу (дуге) вида: Таким образом,

Arc tg а = я 4~ ^лтг»

(120)

где я — какой-нибудь угол, тангенс которого равен а, а п — целое число (положительное, отрицательное или нуль). Правая

часть формулы даёт нам общий вид углов (дуг), имеющих данный тангенс.

Пример. Так KaKtg-^ = l, то вообще

Arc tg 1 =-^- -{-л1с(45⁰-|-л 180°).

При л = 0, ± 1, =fc2, :t3, . получаем по этой формуле различные значения Arc tg 1. В частности, при л=1, п = — 1, находим:

Arc tg 1 = 1«(225°); Arctg 1 = - ~ ft (- 135°).

Арккотангенс. Пусть известно, что

Arcctga = a.

Таким же образом, как и в случае арктангенса, убеждаемся, что

Arcctga = a-{“^,2TT> (121)

где а — какой-нибудь угол, котангенс которого равен а, а п — целое число (положительное, отрицательное или нуль). Правая часть формулы даёт нам общий вид углов (дуг), имеющих данный котангенс.

Пример. Так как etg= 1^3, то вообще

Arc etg /3 = у + пп (30° 4- п • 180°),

где л —целое число. В частности, при л=1, п = —1 находим:

Arc etg ft(210°); Arc etg /З = — (= 150°).

• 95. Нахождение значений обратных тригонометрических функций. Для того чтобы знать значения обратной тригонометрической функции при данном значении аргумента, достаточно знать только одно её значение (§ 94). Другие её значения получаются тогда по формулам (118) — (121).

В § 112 будет доказано, что эти формулы действительно являются общими, т. е. что всякое значение обратной тригонометрической функции может быть найдено по одной из этих формул при подходящем значении целого числа п. Другими словами, покажем, что обратная тригонометрическая функция

при данном значении аргумента не может иметь никаких других значений, кроме получаемых из формул (118) — (121).

Фактически найти одно какое-нибудь (точное или приближённое) значение данной обратной тригонометрической функции можно с помощью таблиц тригонометрических функций.

Допустим сперва, что аргумент а — число положительное (для Arc sin а и Arc cos а, удовлетворяющее неравенству аС1). Тогда существует один острый положительный угол, данная тригонометрическая функция которого равна этому положительному числу. В самом деле, при изменении а от О до у функции sin а и cos а принимают любое значение между 0 и 1, a tga и etga— любое положительное значение. Значит, по таблицам значений тригонометрических функций или их логарифмов можно найти острый положительный угол, соответствующий данному положительному значению прямой тригонометрической функции.

Пусть теперь аргумент обратной тригонометрической функции есть число отрицательное (для Arc sin а и Arc cos a_t кроме того, удовлетворяющее неравенству |а|^1).

Укажем в этом случае правило для отыскания значений арксинуса и арктангенса и правило для отыскания значений арккосинуса и арккотангенса.

Пусть дана одна из двух обратных тригонометрических функций: арксинус или арктангенс отрицательного аргумента; если переменить знак аргумента и найти при этом одно какое- нибудь значение рассматриваемой обратной тригонометрической функции, то это же значение, взятое с обратным знаком, и будет одним из искомых значений обратной тригонометрической функции заданного отрицательного аргумента.

Покажем это на примере арксинуса. Пусть требуется определить значение Arc sin (— а) где 0^а^1. Возьмём Arc sin а и обозначим через а какое-нибудь его значение. Тогда

sin а = а

и в силу нечётности синуса

sin (— а) = — sin а = — а,

отсюда и следует, что одним из значений Arc sin (— а) является —а.

Аналогично рассуждаем в случае арктангенса.

Пример. Найдём Arc tg (— V3).

Так как одно из значений Arc tg Т^л3 равно (60°), то одно

О из значений

Аге tg (— V3) равно —v > ^и вообще:

О

Arc tg ( - V 3) =— (— 60° + п • 180°).

О

Рассмотрим теперь, как найти значения Аге cos (— а), если 0^а^1. Обозначим через а какое-нибудь значение Arc cos (— а), и пусть = — а. При этом cosa = — а, а в согласии с правилами приведения:

cos р = cos (п — а) = — cos а = — (— а) = а.

Отсюда следует, что служит одним из значений Arc cos а, и мы приходим к известному случаю положительного аргумента. Зная одно из значений Arc cos а = £, найдём одно из искомых значений а из равенства:

а = тг —

Пример. Найдём Аге cos [ —Так как одним из значений

. 1 ^U «. Л ( 1 \

Arc cos служит , то одним из значении Arc cos I —— ) служит л о \ Л J

ТГ 9

и о

и, следовательно,

Arc cos

о

= ± к + 2лк 120° + 2л. 180°). О

Аналогично рассуждаем в случае арккотангенса.

Зная общее выражение данной обратной тригонометрической функции, мы по этому выражению подбираем значение, отвечающее условиям рассматриваемой задачи. Например, если угол треугольника такой, что его тангенс равен —]/з, то в общем выражении, которое было найдено для таких углов:

— 60°л «180°,

нужно, очевидно, положить п = 1. Искомый угол оказывается равным 120°. (Все углы при других значениях п пли отрицательные, или большие 180° и, следовательно, не могут быть углами треугольника.)

ИЗУЧЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

• 96. Общее понятие обратной функции. Прежде чем обратиться к изучению обратных тригонометрических функций и к их графикам, обратимся к общему понятию обратной функции.

Пусть нам дана функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у. Обычно выбор одной из них в качестве независимой переменной (аргумента) может быть сделан вполне произвольно, по нашему усмотрению. Если, скажем, х выбрана аргументом (независимой переменной), то функцией будет у; обратно: если в силу каких-нибудь соображений целесообразнее считать аргументом у (т. е. выбирать значения у по нашему усмотрению), то функцией (зависимой переменной) будет х.

Однако у как функция х выражается, вообще говоря, иначе, чем х как функция у. Эти две функции называются взаимно обратными. Разъясним понятие взаимной обратное™ двух функций на примере.

Пусть х и у находятся между собой в такой зависимости, что значение у получается из соответствующего значения х возведением последнего в квадрат. Такую зависимость можно выразить равенством:

у = х².

Здесь у — функция, явно представленная через аргумент х. Но ту же самую зависимость можно выразить, очевидно, и таким равенством:

Х = + Уу.

Это только другая запись предыдущего равенства. Считая здесь у независимой переменной, замечаем, что х как функция выражается через свой аргумент (у) иначе, чем у как функция своего аргумента (х). Первая функция (у = х²) определяется тем, что для получения её значения нужно значение независимой переменной возвести в квадрат', вторая же функция (х = ^Ы/у) определяется тем, что для получения её значений нужно из значения независимой переменной извлечь квадратный корень. Две функции, из которых одна есть квадрат аргумента, а вторая — корень квадратный из аргумента, являются взаимно обратными.

Обозначим независимую переменную во втором из равенств, как обычно принято, через х, а функцию — через у (т. е. переменим в равенстве х = Ч- у местами х и у).

Тогда мы будем иметь два таких выражения для наших взаимно обратных функций:

у = х² и у = Ч- Ух.

График одной из взаимно обратных функций легко получить по графику другой. Покажем это на взятом уже примере. Графиком функции у = х² служит, как мы знаем, парабола (черт. 65, жирная линия). Она же является графиком функции х = Ч- У у (ибо последнее равенство только своим видом

отличается от равенства у = х²). Но если заменить у на х, а х на у, то мы получим функцию у = Ч~Ух, график которой в той же системе осей должен быть, очевидно, так расположен относительнз оси ОХ, как график функции х = Ч- V у относительно осп OY. Таким образом, сразу находим график функции у =

= Ч-Ух (черт. 65, тонкая линия). Легко видеть, что он может быть вычерчен по графику функции’ у = х² при помощи тежа по биссектрисе первого и третьего углов между осями

Черт. 65.

простого перегибания чер-

ОХ и ОУ.

Такой автоматический способ вычерчивания графика обратной функции является вполне общим. В одной и той же системе осей графики двух любых взаимно обратных функций (с одинаково обозначенными аргументами) совмещаются между собой, если чертеж перегнуть по биссектрисе первого и третьего углов между осями.

Рассмотрим ещё вопрос о том, как отражается на графике функции свойство её однозначности. Если каждому значению х соответствует одно значение у, то прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересекать график функции не больше чем в одной точке.

В случае многозначности функции прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересекать график больше, чем в одной

'точке. Так, например, функция у = х²— однозначная и каждая прямая, перпендикулярная к оси ОХ, пересекает параболу- график функции только в одной точке (черт. 65). Функция же у — -4- Ух (обратная первой) — двузначная (каждому положительному значению х соответствуют два значения у — одно положительное, другое отрицательное), и прямая, перпендикулярная к оси ОХ, не пересекает график функции у = Ч-Ух. если она расположена левее оси OY, или пересекает его в двух точках (черт. 65), если она расположена правее оси OY-. одна из этих точек находится над осью ОХ, другая — под осью ОХ.

Из этого примера видно, что функция, обратная данной однозначной функции, может быть и многозначной.

• 97. Функция у = Arc sin х. Пусть дана тригонометрическая функция

v = sin х.

Так как по определению у есть значение синуса угла (дуги) в х радианов, то (см. § 93)

х = Arcsinj/.

Рассматривая х как функцию у, мы приходим к функции, обратной функции у = sin х, т. е. именно к обратной тригонометрической функции арксинус. Меняя местами х и у, получаем запись функции арксинус в обычном виде, когда аргумент и функция обозначены так же, как и в прямой функции:

у = Arc sin х.

Функцией. Arc sin х называется функция, обратная функции sinx.

В равенстве у = Arc sin х переменные х и у могут выражать разнообразные величины. Так, у (значение функции) может выражать и длину, и время, и температуру и т. д. То же самое относится и к другим обратным тригонометрическим функциям, которые мы изучаем ниже.

Но численное значение у мы определяем как радианную меру угла, синус которого равен х.

Функция у = Arc sin х имеет смысл лишь для значений х, по абсолютной величине не превосходящих единицы: — 1 =0^1. В противоположность прямой функции у = sin X, обратная функция у = Arc sin х не однозначная, а многозначная.