§ 10. Основные тригонометрические тождества и их следствия 19

§11. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них 21

§ 12. Чётность и нечётность тригонометрических функций 22

§ 13. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции 23

Глава III. Теоремы сложения и их следствия

§ 14. Сложение и вычитание углов 27

§ 15. Теорема сложения для косинуса —

§ 16. Формулы дополнительных аргументов ... 29

§ 17. Теорема сложения для синуса 30

§ 18. Теорема сложения для тангенса 31

§ 19. О формулах сложения для нескольких аргументов —

§ 20. Формулы приведения 32

§ 21. Формулы удвоения аргумента 35

§ 22. Формулы деления аргумента пополам .-36

§ 23. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму .... 37

§ 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение 38

§ 25. Преобразование в произведение выражения a sin a+bcosa 40

§ 26. Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента 41

Глава IV. Основные свойства тригонометрических функций

§ 27. Тригонометрические функции числового аргумента и области их определения 42

§ 28. Свойство ограниченности и неограниченности тригонометрических функций 43

§ 29. Интервалы знакопостоянства . . . . • 43

§ 30. Свойство периодичности тригонометрических функций 44

§ 31. Промежутки монотонности тригонометрических функций 45

§ 32. Графики тригонометрических функций 50

Глава V. Вычисления при помощи таблиц

§ 33. Тригонометрические таблицы 56

§ 34. О применении логарифмической линейки 60

Глава VI. Вычисление элементов геометрических фигур

§ 35. Элементы треугольника 62

§ 36. О решении треугольников —

§ 37. Решение прямоугольных треугольников 63

$ 38. Теорема синусов 65

§ 39. Теорема косинусов 66

§ 40. Формулы для площади треугольника 67

§ 41. Теорема тангенсов —

§ 42. Решение треугольника по двум его углам и стороне 68

§ 43. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними .... 69

§ 44. Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему

одной из них 70

§ 45. Решение треугольника по трём сторонам 72

§ 46. Применение тригонометрии к измерениям на местности 74

§ 47. Применение тригонометрии к решению геометрических задач .... 77

§ 48. О применениях тригонометрии в физике, механике, технике .... 79

Глава VII. Тригонометрические уравнения

§ 49. Простейшие тригонометрические уравнения 82

§ 50. Способ приведения к одной функции 84

§ 51. Способ разложения на множители 86

§ 52. О потере решений и появлении посторонних решений при выполнении преобразований 87

§ 53. Частные приёмы решения тригонометрических уравнений 88

§ 54. О приближённом решении тригонометрических уравнений 90

§ 55. О способе рационализации 91

Исторический очерк ... ...... 92

Г л а в а I

УГЛЫ И ДУГИ; ИХ ИЗМЕРЕНИЕ § 1. Углы произвольной величины

В геометрии углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

Всякий угол может быть образован вращением в плоскости луча вокруг начальной точки. Так, при вращении луча вокруг точки О, от начального положения ОД до конечного положения ОВ образуется угол ДОВ (черт. 1).

При вращении луча может образоваться угол, больший развёрнутого (черт. 2).

Вращающийся луч, описав в плоскости несколько полных оборотов вокруг точки О, совпадёт с первоначальным положением.

Поворот луча может складываться из нескольких полных оборотов и угла, составляющего часть полного оборота (черт. 3). Примером может служить движение спицы вращающегося колеса.

Вращение луча в плоскости может происходить в двух взаимно противоположных направлениях (черт. 4). Так, например, два зубчатых колеса одинакового радиуса, сцеплённые друг с другом, как показано на чертеже 5, вращаются во взаимно противоположных направлениях и при повороте одного из них на некоторый угол другое повернётся на такой же угол, но в противоположном направлении.

Одно из двух возможных направлений вращения на плоскости будем считать положительным, а

Черт. 5.

другое отрицательным. Тогда угол, образованный вращением луча в положительном направлении, считается положительным, а угол, образованный вращением луча в отрицательном направлении, — отрицательным.

Любое из двух возможных направлений вращения в плоскости можно принять за положительное. В дальнейшем положительным направлением вращения мы будем считать направление, противоположное вращению стрелки часов, положенных на плоскость, в которой происходит вращение, и обращённых циферблатом к наблюдателю.

Если луч ОА, не совершив никакого вращения, остался в первоначальном положении, то говорят, что угол поворота луча равен нулю.

Определение. Начальное положение вращающегося луча называется начальной стороной соответствующего угла поворота, а конечное положение луча — конечной стороной этого угла.

Существует бесконечное множество углов, для которых начальная и конечная стороны имеют данное положение: все эти углы отличаются друг от друга целым числом полных (положительных или отрицательных) оборотов.

§ 2. Дуги окружности произвольной величины

Всякому углу, образованному двумя радиусами окружности, соответствует дуга этой окружности, ограниченная концами данных радиусов (черт. 6). Если радиус ОА вращается вокруг центра О, то конец А радиуса движется по Z" окружности. Говорят, что точка движется по окружности в положительном (или отрицательном)

к О у направлении, если радиус, соединяющий её с цен- троп, вращается в положительном (соответственно отрицательном) направлении.

Черт. 6. Дуга, образованная движением точки по окружности в положительном направлении, считается положительной, а в отрицательном направлении — отрицательной (черт. 7).

Если радиус совершит полный (положительный или отрицательный) оборот, то конец радиуса, описав полную окружность, возвратится в начальное положение.

Можно рассматривать дуги, содержащие какое угодно число положительных или отрицательных полных окружностей. Представление о такой даёт намотанная на катушку тонкая нить: она может содержать любое количество витков, намотанных в том или ином направлении.

§ 3. Измерение углов и дуг

Понятие об измерении углов известно из геометрии. Для измерения углов принимают некоторый определённый угол за единицу измерения и с её помощью измеряют все прочие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол.

На практике часто углы измеряют в градусах, принимая за единицу измерения ~ часть полного оборота, называемую градусом. Для измерений, требующих большой точности, градус делится на 60 равных частей — минуты; минута делится на 60 равных частей — секунды.

В геометрии иногда углы измеряют «в долях d», принимая за единицу измерения прямой угол.

В технике часто за единицу измерения углов принимают полный оборот. Так, поворот колеса машины или пропеллера самолёта обычно измеряется числом оборотов.

В артиллерии за единицу измерения углов принимают -sr часть 360°

полного оборота, т. е. -эд-=6°; этот угол называют большим делением угломера. Для более точного измерения углов большое деление угломера делят на 100 равных частей; угол 6°—=3'36" называют малым делением угломера.

Величина положительного угла выражается положительным числом, а отрицательного угла — отрицательным числом.

Углы, которые изучаются в тригонометрии, могут измеряться любыми действительными числами, так как при вращении луча может образоваться угол произвольной величины (поло-жительный, отрицательный, нулевой, содержащий любое число полных оборотов).

При измерении дуг данной окружности за единицу принимают дугу, на которую опирается центральный угол, взятый за единицу измерения углов. Тогда величина центрального угла и величина дуги, на которую он опирается, выразятся одним, и тем же числом в угловых и в дуговых единицах (соответственно).

Исторический очерк

Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человечества. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур по известным значениям других их элементов, найденных путём непосредственных измерений. Так, например, на основе данных, полученных в результате наблюдений и измерений, астрономы вычислили расстояние от Земли до других небесных тел.

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык оно обозначает «измерение треугольников»: (тригонон)— треугольник, цетрес» (метрейн)—измерение.

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Ещё задолго до н. э. древневавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии.

Во II в. до н. э. накопившийся материал астрономических наблюдений потребовал математической обработки. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинение

«Великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во второй половине II в. н. э. В этих таблицах давались значения хорд окружности для различных значений соответствующего центрального угла. Единицей измерения хорд служила — часть 60

радиуса. Эти таблицы, говоря современным языком, являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для углов 0°,5; 1°; 1°,5; 2°; 2°,5; ...; 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку, а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесён индийской математикой в период V—XII вв. и. э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а её половину (т. е. линию синуса). Индийцы составили таблицу «синусов», в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности. Индийским математикам были известны соотношения, которые в современных обозначениях пишутся так:

sin® a-t-cos® а — 1; cos a = sin (90° — a).

В период IX—XV вв. ведущая роль в развитии математики принадлежала народам Средней Азии и Закавказья. Развитие среднеазиатской математики происходило также в тесной связи с необходимостью решения практических вычислительных задач, которые ставились астрономией, географией, геодезией. Среднеазиатскими учёными были введены в рассмотрение шесть тригонометрических линий (синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса). Для решения задач об определении высоты Солнца арабский астроном А л ь-Б а т- тани (живший в X в.) составил небольшую таблицу значений котангенса. Выдающийся астроном и математик Абу-ль-Вефа из Хорасана (ныне территория Ирана) выразил словесно алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями; он же составил таблицы синусов с точностью до— 604 через каждые 10', а также таблицы тангенсов.

Трудами среднеазиатских учёных тригонометрия сформировалась в самостоятельную научную дисциплину, в которой средством исследования явились не только геометрические построения, но и алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями. Знаменитый азербайджанский математик и астроном Насирэддин Туси (живший в XIII в.) в сочинении «Трактат о полном четырёхугольнике» (трактат переведён на русский язык) изложил тригонометрию в виде самостоятельной науки. В этом сочинении был впервые введён ряд новых понятий и получен ряд важных результатов.

В обсерватории знаменитого астронома Улугбека, жившего в Самарканде (XV в.), был разработан весьма точный способ составления тригонометрических таблиц.

В ряде важнейших открытий среднеазиатская математика значительно опередила западноевропейскую науку. Насирэддин Туси развил тригонометрию как самостоятельную дисциплину почти на 200 лет раньше основоположника тригонометрии в Европе Региомонтана.

Первые научные работы по тригонометрии в Западной Европе относятся к XV в. Развитие мореплавания требовало умения точно определять положения небесных светил, что привело к необходимости составления весьма точных тригонометрических таблиц. В XV в. немецкий учёный Региомонтан (Иоганн Мюллер) написал трактат «Пять книг о различного рода треугольниках», где было дано систематическое изложение тригонометрии в виде самостоятельной научной дисциплины. Им же были составлены таблицы синусов с точностью до-^ • В таблицах Региомонтана радиус круга принимался вместо числа кратного 60 за 10000000, т. е. по сути дела был совершён переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной.

Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение теории отрицательных чисел

позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий для любых углов. Таким образом, создалась база для изучения тригонометрических функций как функций от числового аргумента. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем великого учёного, члена Русской академии наук Л. Эйлера (1707—1783). До Эйлера тригонометрические функции рассматривались как отрезки в круге (так называемые тригонометрические линии); Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа — величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу. Эйлер дал окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций в различных четвертях, упростил и дал общие доказательства ряда теорем тригонометрии, открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского учёного Н. И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж- Фурье (1768—1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний.

На первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач и её содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, т. е. треугольников. В современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций.

Этим функциям принадлежит исключительно важное значение в современном математическом аппарате, необходимом для изучения закономерностей явлений природы и для использования этих закономерностей в практической деятельности человека.