Тригонометрия острого угла на основе практических задач (Андронов, Окунев) 1959  год - старые учебники

ВВЕДЕНИЕ

Отметим, что как в русской, так и зарубежной школе и литературе сложились две системы преподавания тригонометрии: 1) система, имеющая дедуктивный характер, когда курс тригонометрии начинают с общего учения о круговых функциях любого действительного аргумента (гониометрии), а заканчивают решением треугольников и сводимых к ним фигур с частичным использованием таблиц круговых функций острого угла, а главным образом с помощью таблиц логарифмов круговых функций; 2) система, имеющая индуктивный характер, когда начинают с тригонометрии острого угла и ее применения при решении сперва прямоугольных треугольников, а затем любых треугольников и сводимых к ним фигур на основе полного использования таблиц круговых функций острого угла, а заканчивают обобщением — круговыми функциями любого действительного аргумента с установлением свойств этих функций и их применением при изучении различных гармонических движений.

Естественно, встает вопрос, как создались эти две системы в преподавании тригонометрии; для этого обратимся к истории тригонометрии и к истории ее преподавания.

Тригонометрия в своем развитии прошла две стадии. Первой стадией положены начала в античном мире; в связи с запросами астрономии возникает учение о взаимной связи круговых дуг и их хорд и составляются таблицы хорд через каждые полградуса до 180° в трудах Александрийских ученых Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в. н. э.).

В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию зачатков нового предмета, заложенного Гиппархом и Птолемеем. Особенно усиленно шло развитие тригонометрии в средневековое время, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Мухаммед сын бен-Мусы, Нассир Эд- дин, ал-Каши, ал-Бируни), Арабии (Ахмад Ибн-Абдаллах, ал-Батани), а затем и в Европе (Пейербах, Иоганн Мюллер — Региомонтан, Коперник, Ретик). Творения ученых этого периода привели к выделению нового самостоятельного предмета сперва в Азербайджане Насирэддином Туси (1201—1274) в его «Трактате о полном четырехстороннике», а позднее в 1595 году и в Европе в труде Варфоломея Питискуса «Triqonometria sive de Solutione triangu- lorum fractorum libris et perstricuns» (в переводе — «Тригонометрия, или краткий обзорный трактат о решении треугольников»).

Итак, на первой стадии тригонометрия сложилась как теория вычислительного приема решения треугольников и фигур, сводимых к ним, причем решение проводилось с помощью таблиц синусов и тангенсов, основой для вычисления которых послужили теоремы Пифагора и Птолемея.

Тригонометрия возникла на геометрических основах, имела геометрический язык и применялась к геометрическим задачам, которые выделялись из конкретных задач естествознания и техники того времени.

Вторая стадия, начало которой положено в трудах Франсуа Виета (1540—1603), полностью раскрывается в школе нашего академика Леонарда Эйлера (1707— 1783), когда создается аналитическая теория тригонометрических (круговых) функций.

Эта стадия была подготовлена всем ходом развития механики колебательных движений, физики звуковых, световых и электромагнитных волн.

Так, если на первой стадии развития тригонометрии со-отношение sin2x + cos2.r=l лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 1, то на второй стадии это соотношение отражает также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией (см. рис. 1).

В этот период даны обобщения многим теоремам три-гониометрии, и в частности выведены соотношения для sin(ai + а2 + ... +ал), tg /га, где п — натуральное число, и другие.

Одновременно развивается учение о тригонометрических функциях комплексных чисел.

В связи с открытием великим геометром Николаем Ивановичем Лобачевским новой геометрии выясняется, что тригонометрия состоит из двух принципиально различных частей:

а)  первой — гониометрии, части математического анализа, где независимо от геометрических соображений чисто аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй — собственно тригонометрии, где соединяются две ветви математики — математический анализ и геометрия того или иного пространства: в частности, тригонометрия евклидова пространства — учение об аналитическом решении треугольников и сводимых к ним фигур, рассматриваемых в евклидовом пространстве, и тригонометрия пространства Лобачевского — учение об аналитическом решении треугольников и фигур, сводимых к ним, рассматриваемых в пространстве Лобачевского.

Гониометрия не зависит от аксиомы параллельных, а тригонометрия в собственном смысле зависит от аксиомы параллельных. Соотношение sin2x + cos2x == 1 характеризует в общем виде операции с соответствующими рядами и только в евклидовом пространстве выражает соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с постоянной гипотенузой, равной единице.

Благодаря сложному ходу развития тригонометрии становится все более затруднительной ее связь с содержанием учебного предмета тригонометрии. Если на первой стадии своего развития тригонометрия мало чем отличалась от ее учебного предмета, то во вторую стадию такое различие становится весьма большим и существенным. В XVIII и особенно в XIX в. в связи с бурным развитием дифференциального исчисления возникает новый предмет — математический анализ, и тригонометрия становится составной частью этого предмета, а учебный предмет тригонометрии с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. В содержании учебного предмета тригонометрии возникают два направления: прежнее — аналитическое решение треугольников, и новое — изучение свойств тригонометрических функций.

II

Возник вопрос методического характера: как построить преподавание тригонометрии с учетом двух ее направлений?

Впервые и сравнительно рано (середина XIX в.) дал на этот вопрос принципиально правильный ответ, как нам представляется, наш замечательный академик Михаил Васильевич Остроградский. Он предложил (1848) систему индуктивного характера преподавания тригонометрии так, что

а)  сперва (в младших классах) изучается тригонометрия острого угла как учение о вычислительном приеме решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) потом (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого угла, т. е. ставится теория тригонометрических функций любого действительного аргумента.

При жизни Остроградского его система была принята в кадетских корпусах (типа наших суворовских училищ), но в дальнейшем не нашлось смелых продолжателей его дела, умеющих ломать отживающие традиции.

Ф. И. Семашко, написавший первое издание учебника тригонометрии в духе Остроградского, в третьем издании (1886 г., после смерти М. В. Остроградского) отступает от новой системы и возвращается к системе дедуктивного характера.

В дальнейшем побеждает дедуктивное направление в методике тригонометрии, и в конце XIX — начале XX в. в нашей стране появляются учебники тригонометрии (Малинина, Шапошникова, Рыбкина, Злотчанского и др.), написанные по системе дедуктивного характера.

В годы политического подъема (1905—1906) нашей родины передовые педагоги настойчиво ставят проблему о коренном изменении характера преподавания математики, и в частности тригонометрии; выходят новые программы для одной из прогрессивных ветвей средней общеобразовательной школы — для реальных училищ, где тригонометрия изучается по индуктивной системе.

Появляются новые учебники и задачники, соответствующие новым программам (Слетова, Билибина, Мрочека, Лямина, Кильдюшевского, Глазенапа и др.).

Советская методика основ математических наук строит свою систему на идее развития и на психологических основах соответствия системы преподавания возрастным особенностям учащихся.

К сожалению, во многих программах по математике (с 1919 г. и далее) терялась мера в этом вопросе, переоценивались концентрические системы во многих отделах элементарной математики (в изучении действий над числами, в постановке учения об уравнениях, в учении о площадях и объемах соответствующих фигур), и в частности в системе преподавания тригонометрии.

Авторы данной работы считают, что индуктивная система в преподавании тригонометрии почти необходима или во всяком случае желательна; хорошо бы было, если бы передовые учителя начали ее экспериментировать.

Эта книга, являясь пособием для учителей, может быть рекомендована для внеклассного чтения учащимся, заинтересовавшимся предметом математики.

Нам представляется, что наилучшим местом для введения в школу систематического учения о приближенных измерениях и вычислениях являются начала тригонометрии. Вот почему с самого начала обращено внимание на точность как непосредственных, так и косвенных измерений; причем мы следовали известным правилам вычислений с приближенными данными по системе В. М. Брадиса, беря данные примерно одной и той же точности и давая ответ с точностью, обусловленной точностью данных значений величин.

Отметим, что в системе исчисления точности по Крылову— Брадису имеется один недостаток, выявляющийся при раздроблении именованных чисел. Так 3,7 м = 370 см = = 3700 мм, но первое число имеет два значащих знака, второе — три, третье — четыре: произошло кажущееся повышение точности в процессе раздробления именованного числа. Чтобы избегать указанного недостатка, авторы в данной книге всюду применяют такое обозначение: 3,7 м = = 370 см = 3700 мм, подчеркивая снизу те знаки, за которые не ручаются.

СЛОВО к УЧАЩИМСЯ

Много трудностей преодолел каждый из вас при изучении различных предметов из основ математических наук.

Пройдена арифметика — учение о числах и действиях над ними, т. е. тот предмет, который создавали все народы всех времен, так как на протяжении всей истории от первобытной общины до наших дней в процессе труда люди нуждались в знании натуральных и дробных чисел и решали с их помощью практические задачи. Этот предмет в древней Греции (VI в. до н. э.) получил свое название: арифметика (слово греческое — арифмос — число и т е х - ния — искусство, действие, а в целом — числовое искусство).

Изучается алгебра — учение об обобщенных числах, некоторых элементарных функциях и уравнениях — берущая свое начало у передовых мыслителей древнего Китая, Египта и Вавилона за много столетий до нашей эры, получившая свое дальнейшее развитие в Индии (IV — VIII вв.) и оформившаяся в самостоятельный предмет в трудах гениального узбекского математика из Хорезма Мухаммеда бенМусы, в его книге «Ал-джебр валмукабала» (в переводе с арабского — «Членовосстановление и членоупрощение»). Особенно расцвел этот предмет позднее в XVI, XVII и XVIII вв., когда и название из Альджебр перешло в Альгебр и, наконец, в алгебру.

I Изучается геометрия — учение о свойствах фигур и измерении геометрических величин. Этот предмет возник вначале на основе землеизмерения (что и сохранилось до сих пор в его греческом названии: гео — земля, метрия — измерять) и получил свое научное оформление в эпоху расцвета греческой культуры III в. до н. э. в особенности в трудах знаменитого Евклида.

Геометрические величины (отрезки, углы, площади) сперва научились измерять непосредственно. Так, чтобы измерить отрезок, к нему прикладывают соответствующим образом измерительную ленту (как это делает, например, портной); чтобы измерить угол, на него накладывают определенным образом транспортир (как это делает чертежник); чтобы измерить площадь фигуры, на нее накладывают па-

летку и подсчитывают число квадратиков, заключенных внутри фигуры (так, например, поступают с фигурами на топографических картах).

Приемы непосредственного измерения величин и простейшие измерительные инструменты были изобретены еще в глубокой древности. Так, например, градусом как единицей меры угла и транспортиром пользовались вавилонские астрономы (звездочёты) за 2 тысячи лет до нашей эры.

Техника непосредственного измерения величин весьма проста и доступна каждому. Однако в окружающей нас жизни

существует много таких величин, непосредственное измерение которых связано с большими трудностями, а иногда и вовсе невозможно.

Для определения угла с недоступной вершиной, например угла между двумя прямыми дорогами MN к PQ, пересекающимися в недоступной для нас местности1 (см. рис. 3), провешивают прямую АВ и измеряют углы NAB и QBA.

Пусть NAB = 57°, QBA = 85°, тогда по теореме о сумме углов треугольника находят искомый угол:

х = 180° — (57° + 85°) = 38°.

Однако изученная вами часть геометрии далеко не всегда дает средства косвенных измерений величин на основе вычислений.

Пусть требуется определить расстояния от пунктов С и В до недоступного нам предмета Л, например, здания

расположенного за рекой (рис. 4), при условии, что данный предмет из этих пунктов виден и расстояние между С и В возможно измерить.

Измерив расстояние между пунктами В и С и углы, образуемые прямой ВС и направлениями из точек В и С на предмет А получим:

ВС~ 456 л, ^B^82°30z, ^С^65°20'.

Таким образом, треугольник АВС вполне определен стороной и двумя углами, однако найти в нем стороны АВ и АС вычислением мы пока не можем. Геометрия дает в этом случае лишь графический метод, заключающийся в следующем:

Вычерчивают на листе бумаги треугольник Л1В1С1 (рис. 5), подобный треугольнику ЛВС, приняв за масштаб, например, 100 м в 1 см. Коэффициент подобия:

45600

£ = ~ = ^= = 20 000. Ci-Dj Z , ZO      

Измеряют на чертеже неизвестные стороны треугольника Л1В1С1

1 Местность, в которой пересекаются дороги, может оказаться недоступной в связи с наводнением, разрушением мостов и т. п. получают: AiBi~4,25 см, AiCi~3,85 см. Умножив эти числа на коэффициент подобия, получают искомые расстояния:

АВ^А iBi.^^4,25-10 000^850 (м)- АС~А iCi-^~3,85-Т0"000^770 (м).

Данный здесь графический метод обладает рядом существенных недостатков, из которых отметим два:

1)  аккуратное вычерчивание треугольника А1В1С1 и последующее измерение его сторон связано с затратой большого времени и труда и не всегда возможно (в полевых условиях, в условиях плавания на корабле и т. п.);

2)  при таком определении расстояния неизбежны значительные погрешности, зависящие не только от неточности измерительных инструментов и измерений на местности, но и от неточности чертежа и чертежных инструментов, а также от неточности измерений, производимых на самом чертеже после его выполнения.

В самом деле, всякая линейная ошибка на чертеже влечет за собой в 20 000 раз большую ошибку на местности. Если, например, при вычерчивании треугольника А1В1С1 и измерении его стороны AiCi допустили ошибку только в 3 мм, то в результате мы получим отклонение от истинного расстояния АС, равное 3 мм-20 000^60 м.

А если принять во внимание возможность и других неточностей чертежа, которые к тому же нельзя учесть, то становится очевидным, что геометрическим построительным методом мы не только не найдем истинных расстояний, но и не сможем оценить допущенные нами погрешности.

Более того, в случаях, когда в условии задачи имеются весьма малые углы, построительный прием вообще не применим, так как построение треугольника с углом, меньшим 1°, уже практически невозможно. А между тем в задачах на определение диаметров планет и расстояний до небесных светил (которые дальше будут рассматриваться) мы часто имеем дело с углами в несколько минут. Например, угол видимости Луны с нашей планеты равен 0°ЗГ.

Возникает необходимость в открытии общего вычисли-тельного приема нахождения сторон и углов любой фигуры по заданным элементам, вполне определяющим эту фигуру (например, треугольник вполне определяется заданием трех его независимых элементов, остальные его элементы надо научиться находить вычислением).

Этот новый прием зарождается в геометрии, в учении о подобии треугольников.

Исторически он возник в связи с развитием астрономии. Первыми творцами этого приема были греческие математики Гиппарх (II в до н. э.) и Птолемей (II в. н. э.). Их вычислительные способы решения задач были усовершенствованы индийским математиком Брамагуптой в VIII в., а затем узбекскими математиками ал-Каши и Улугбеком в XIII в.

Накопление и систематизация всех вычислительных приемов решения геометрических задач привели к выделению нового предмета математики, который назвали в конце XVI в. тригонометрией (т. е. треугольнико-измерение, понимая под этим косвенное измерение на основе свойств треугольника).

К изучению указанных приемов и началам предмета тригонометрии мы и приступим.

Глава I

ПЛОСКИЕ УГЛЫ И ИХ КОСВЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЧЕРЕЗ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

• 1. Непосредственное и косвенное измерение величин

Столяр непосредственно измеряет отрезки тех или иных поделок, но астроном находит вычислением расстояние от центра Земли до центра Солнца; так как это расстояние недоступно непосредственному измерению, его измеряют косвенно.

Чертежник непосредственным накладыванием транспортира измеряет плоский угол, а мастер, направляющий работу на токарном станке, находит угол конусности обтачиваемой детали косвенно посредством вычисления.

В лаборатории небольшой объем жидкости измеряют непосредственно градуированной мензуркой, а объем воды водохранилища находят косвенно, расчетом по установленной формуле.

Вес небольшого предмета находится непосредственным его взвешиванием на весах, а запасы ископаемых (например, руды, каменного угля и пр.) горные инженеры находят косвенно путем соответствующих расчетов.

Непосредственное измерение отрезков и углов, как и других величин, возможно только приближенно с соответствующей точностью. Точность непосредственных измерений отрезков и углов колеблется от 2-х до 5—6 значащих цифр и достигает только в исключительно обставленных условиях до 7—8 значащих цифр.

Степень точности измерений зависит не только от измерительных приборов и навыка мастера, производящего измерение, но также от материала, из которого изготовлена 14