Указание, приложите к основанию модели лист бумаги вырежьте из бумаги круг, равный основанию. Центр этого, круга вы сумеете найти (см. стр. 23). Затем наложите лист опять на основание модели и отметьте центр этого основания, проткнув лист в центре иголкой или карандашом.

Соедините мысленно центры обоих оснований цилиндра прямой линией. соединяющая центры оснований цилиндра, называется осью цилиндра.

5. Цилиндр—тело вращения. Проткните ваш бумажный цилиндр тоненькой спицей так, чтобы спица прошла через центры обоих оснований. Проведите по боковой поверхности цилиндра прямую. Она будет непременно параллельна оси. Соедините концы этой прямой с центрами оснований—радиусами. Какую фигуру образуют эти три прямые и ось цилиндра?

Приведите цилиндр во вращение около спицы и наблюдайте, какой путь описывает каждая сторона и каждая вершина этого прямоугольника.

6. Вырежьте из картона прямоугольник, приклейте его одной стороной к тонкой деревянной спице (черт. 116) и приведите спицу в быстрое вращение. Какого вида тело образует прямоугольник при этом вращении? Какая сторона прямоугольника будет осью этого цилиндра? Какая сторона образует верхнее основание? Какая сторона — нижнее? Какая сторона образует боковую поверхность? Какие точки образуют окружности?

Сторона прямоугольника, противоположная оси, производит при вращении боковую поверхность цилиндра и называется поэтому образующей.

Мы видим, что цилиндр может быть получен вращением прямоугольника около одной из сторон, поэтому цилиндры относят И так-называемым телам вращения.

7. Сечение цилиндра плоскостью. Разрежьте мысленно цилиндр по оси плоскостью. Какая фигура получится в сечении?

Разрежьте цилиндр мысленно плоскостью папаллельно основанию? Какая фигура получится в сечении?

Проверьте ваше предположение, разрезав цилиндр, приготовленный из мягкой глины, мыла или картофеля, сначала параллельно основанию, а затем по оси.

8. Равные вопросы. Каково взаимное положение оси цилиндра и любого радиуса основания?

Вращайте мысленно прямой линейный угол около одной из его сторон. Какого рода поверхность опишет при этом другая его сторона?

Вращайте мысленно острый угол около одной его стороны. Какого вида поверхность образует при этом другая сторона этого угла?

9. Конус. Вырежьте из картона прямоугольный △ , приклейте

его одним катетом к тонкой быстрое вращение (чертеж 117). нии цилиндр? Сколько плоских при зтом тело? Сколько кривых

деревянной спице и приведите в , Образуется ли при этом враще- граней будет имет образующееся поверхностей?

Тело, образующееся при вращении прямоугольного треугольника около его катета, называется конусом. Вот и модель конуса (черт. 118). Итак, конус ограничен одним плоским основанием,

Черт. 118.

диаметра; но так как все точки полуокружности одинаково уда лены от центра, который при вращении остается па месте, то все точки шаровой поверхности одинаково удалены от одной внутренней точки, называемой центром шара.

Есть ди на таре ребра? углы? вершины?

Назовите еще несколько тел, имеющих форму шара,

14» Радиус и диаметр шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-либо точкой его поверхности, называется радиусом шара. Каковы между собою радиусы шара? Почему?

Прямая, соединяющая две точки поверхности и проходящая при этом через центр, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам ого. Каковы между собою все диаметры шара? Почему?

15. Свойства шара. Попробуйте провести по поверхности шара прямую линию.

Попробуйте обложить поверхность шара бумагой; ото вам не удастся.

Можно ли склеить шар из бумаги?

Выберите круглую картофелину, разрежьте ее, направляя нож через центр; какая фигура получится в сечении? Рассеките шар плоскостью, не проходящей через центр. Каково будет сечение?

При всяком сечении шара плоскостью получится в сечении круг.

17. Большой круг. Наибольшие круги получатся отсечения шара через центр; эти круги называются большими кругами. Радиус большого круга равен радиусу. шара. Все большие круги равны между собою и каждый из них делит шар на две равные части, называемые полушариями.

18. Глобус. Приготовьте из мыла (глины, пластилина) возможно большой шар. Разрежьте его, направляя плоскость сечения через центр. Поставьте одно полушарие так, чтобы круг сечения бил горизонтален и обращен кверху. Проткните в этом положе* ниж полушарие металлической спицей, направляя ее черев центр вертикально вниз. Укажите часть спицы, равную радиусу шара. Соедините опять оба полушария и проткните весь шар

спицей в том же направлении. Вы получите глобус. Укажите на атом глобусе полюсы, экватор. Проведите меридианы.

19. Увеличьте мысленно этот шар до громадных размеров, до размеров земли. Выберите на поверхности воображаемой земли точку и покажите, как в этом месте стоял бы человек, каково было бы направление отвеса, направление горизонтальной прямой.

20. Посмотрите с разных сторон на этот шар. Какая чаль поверхности со всех сторон открыта глазу?

$ 13. Графики.

1. Значение клетчатой бумаги. Мы пользовались клетчатой бу* магой при черчении тре гольников и четыреугольпиков определенных размеров, при черчении разверток многих 'ел и т. д. и знаем уже, как легко по данному образцу на клетчатой бумаге чертятся довольно сложные фигуры.

Попробуйте на нелинованной бумаге начертить фигуру, помещенную хотя бы на черт. 103. Легко ли это сделать?

Почему же фигуры чертятся легко на клетчатой бумаге’

Во-первых, потому, что на этой бумаге легко строить перпендикулярные и параллельные прямые, так как таких напечатано на ней множество, и, во-вторых, потому, что на этой бумаге легко определяется положение одной точки относительно других точек и относительно данных линий.

Рассмотрим подробнее, как это делается.

2. Подготовительные упражнения. Возьмите каждый по листу клетчатой бумаги; найдите две такие смежные стороны ее, где линия шла бы как раз по самому краю (если таких сторон нет, то отрежьте два лишних края ножницами), и положите лист перед собой так, чтобы одна из этих сторон пришлась бы налево, а другая — внизу.

Покажите на листе какую-либо точку, отстоящую от левого ярая на 1 см.; покажите еще несколько таких точек. Где лежат все точки, удаленные от левого края листа на 1 см.? — Покажите, где лежат все точки, удаленные от левого края листа на 2 см.; па 3 см.; на б см.; на 10 см.

15. Соедините попарно прямыми те точки, которые получились одним уколом острия. ПуCTbAAt пересечет линию перегиба в некоторой точке a, BB_t в точке b и т. д. Если перегнуть чертеж снова по той же линии, то точка А ляжет на А„ В на B_t и т. д., а отрезок Аа на А,а, ВЬ на В,Ь и т. д. Вы увидите, что. ось симметрии (линия перегиба) перпендикулярна ко всякой прямой, соединяющей попарно симметричные точки (к AA_t, ВВ„ CC_t и т. д.) и делит каждую из этих прямых пополам (Аа = Ада ВЬ = ВдЬ).

16. Если две фигуры (ABDC и АДВД) расположены так, что они совпадают при перегибании чертежа по некоторой прямой, то эти фигуры называются симметричными, относительно этой прямой, называемой осью симметрии.

Ось симметрии перпендикулярна к каждой прямой, соединяющей попарно симметричные точки симметричных фигур, и делит каждую из них пополам.

Очевидно, что две симметричные фигуры равны между собою.

17. Начертите на клетчатой бумаге три точки: А (1;2), В (3;5) и С'(4;1), и затем три точки A_t B_t Cj, симметричные соответственно первым относительно оси абсцисс; постройте △ АВС и △ АдВдСд.

Перегните чертеж по оси абсцисс и определите, симметричны ли эти А-ки относительно оси абсцисс.

18. Начертите А по следующим координатам вершин: D (—5; — 1), Е (— 1;— 1) и F (—4;— 6), а затем треугольник, симметричный первому относительно оси ординат.

19. Симметричные линии. Начертите точки А (—4;2), В (—2;3), С (—1;4), D (—0;1) и Е (— 3;3) и соедините их последовательно прямыми. Получится линия ABCDE; начертите линию AjBjCjD, Е„ симметричную ей относительно оси абсцисс.

20. Проведите на клетчатой бумаге от руки кривую линию, (выше оси абсцисс) и постройте линию, симметричную ей относительно оси абсцисс.

УмбКМК NONMfMB. *

Указание: Дм исполнения «адате следуетяа кривой линии отметить некоторое число точек (важнейших—в местах поворотов), из этих точек опустить на ось абсцисс перпендикуляры и продолжить их по другую сторону оси абсцпсс иа расстояние, равное длине каждого из них; через концы этих продолжений я провести кривую.

21. Разные задачи. Вырежьте из цветной бумаги два равных треугольника и наклейте их на клетчатой бумаге симметрично относительно некоторой прямой.

Расположите на столе два пера симметрично относительно карандаша.

Укажите в природе фигуры, расположенные симметрично относительно некоторых прямых.

22. Плоскость симметрии. Поместите какой-нибудь предмет перед зеркалом и наблюдайте симметричность предмета и изображения относительно плоскости зеркала.

Плоскости зеркала тут служит плоскостью симметрии.

Укажите еще несколько тел, расположенных симметрично относительно плоскости.

Расположите два куба симметрично относительно листа бумаги. Укажите несколько тел, имеющих плоскость симметрии.

23. Назовите симметричные части человеческого тела. Подержите ваши руки несимметрично, симметрично.

24. Находятся оси симметрии точек. Даны точки А и А, (черт. 130); проведите одним и тем же радиусом из А и из A_t по дуге; пусть эти дуги пересекутся в точках

*^А* В и С; проведите затем через точки В и С прямую и перегните чертеж по этой прямой. Вы увидите, что точки А и А, симметричны относительно ВС. Следовательно, полученная прямая ВС — ось симметрия

Черт. 130. данных точек.

Отметьте новую пару точек и постройте их ось симметрии.

25. Вернемся к тоннам А и A_t (черт. 130). Соедините А и Ai прямою. — Каково будет взаимное положение ВС и AA_t? — Каковы АО и AjO между собою?

Как разделить некоторый отрезок пополам? Как провести перпендикуляр через середину данного отрезка (без наугольника и транспортира)?

Начертите равносторонний и равнобедренный △ и пропадите в них оси симметрия.

26. Симметричное перенесение. Начертите ла клетчатой бумаге квадрат ABGD и перенесите его в новое положение так, чтобы точка A_t оказалась на расстоянии 10 см. от А.

Указание: Надо отметить точку A_t на расстоянии 10 см. от А и провести ось симметрии KL точек А и А₍, и построить квадрат АДС^, симметричный квадрату ABCD относительно полученной оси KL.

27. Начертите квадрат и перенесите его в новое положение так, чтобы точка пересечения диагоналей его переместилась на 12 см.

Начертите на нелинованной бумаге △ АВС и перенесите его так, чтобы точка А переместилась в произвольно выбранную вами точку A_t.

28. Черчение симметричных фигур от руки. Начертите на клетчатой бумаге треугольник, квадрат и неправильный четырехугольник, а затем — от руки —фигуры, симметричные им.

Проведите на клетчатой бумаге прямую и начертите от руки две прямые, симметричные относительно первой.

29. Проведите на клетчатой бумаге прямую и, приняв ее за ось симметрии, постройте от руки две симметричные фигуры.

Начертите на тонкой нелинованной бумаге ось, а затем по обе стороны ее от руки симметричные точки.

Проверьте, перегнув бумагу по оси и смотря через нее на свет, и поправьте.

30. Начертите ось и по обе стороны от нее от руки две симметричные прямые. Проверьте и поправьте, как раньше.

Начертите от руки две симметричных фигуры, проверьте и поправьте.

31. Начертите некоторую фигуру ABCD и перенесите(чертя от руки) ее на новое место, задав предварительно точку A_t.

32. Работы при помощи гномона. Установите на ровном плацу возможно устойчиво вертикальный шест длиною в 2 метра (черт. 131.) В солнечный дель шест будет отбрасывать тень.

Черт. 131.

Произведем следующую интересную работу: отметим конец тени ровно в 8 часов утра (камешком), ровно в 9, ровно в 10, ровно в 11, ровно в полдень, ровно в 1 час, в 2, в 3, в 4 пополудни.

Когда тень короче всего? в какие часы тени одинаковой длины?

Проведите полуденную линию. Каковы точки, отмеченные в 8 ч. утра и в 4 ч. пополудни, относительно полуденной линии?

Каковы точки, отмеченные: 1) в 9 и 3 ч.; 2) в 10 и 2 ч.; 3) в 11 и 1 ч., относительно полуденной липни?

Мы видим, что конец тени, отбрасываемой шестом, описывает кривую линию, симметричную относительно полуденной линии. Полуденная линия, значит, — ось симметрии этой кривой.

33. Определение полуденной линии. Пусть вы отметили положение конца тени в 7 часов утра и в 5 часов пополудни; других данных нет; как найти полуденную линию?

Нужно найти ось симметрии отмеченных точек, для чего следует расстояние между ними разделить пополам, полученную точку соединить с основанием шеста. Почему полученная линия будет осью симметрии и полуденной линией?