Глава 2

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

• 1. Задача деления круга. 47
• 2. Трисекция угла 50
• 3. Движение 51
• 4. Симметрия. 54
• 5. Группы 56
• 6.* Произведение двух осевых симметрий 58
• 7. Калейдоскоп 60
• 8. Звездчатые многоугольники. 63

Глава 3

ДВИЖЕНИЯ в евклидовой плоскости

• I. Собственные и зеркальные движения 68
• 2. Параллельный перенос 72
• 3. Скользящая симметрия 75
• 4. Осевые и центральные симметрии 78
• 5. Сводка результатов, относящихся к движениям 79
• 6. Теорема Хьельмслева. 80
• 7. Узоры на полосе. 81

Глава 4

ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

• 1. Решетки и их области Дирихле 85
• 2. Группа симметрий общей решетки 92
• 3. Искусство М. К. Эшера. 94
• 4. Шесть узоров из кирпичей. 97
• 5. Кристаллографические ограничения 99
• 6. Правильные мозаики 100
• 7. Задача Сильвестера о коллинеарных точках 105

Глава 5

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ

• 1. Гомотетия 109
• 2. Центры подобия двух окружностей 112
• 3. Центр окружности девяти точек 114
• 4. Центрально-подобное вращение и центрально-подобная симметрия 115
• 5. Собственное преобразование подобия 117
• 6. Зеркальное преобразование подобия 118

Г л а в а 6

ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ

• 1. Инверсия (симметрия относительно окружности) 122
• 2. Ортогональные окружности. 125
• 3. Образы прямых и окружностей при инверсии 127
• 4. Круговая плоскость 131
• 5. Пучки окружностей 134
• 6. Окружность Аполлония 139
• 7. Круговые преобразования 142
• 8. Инверсия в пространстве. 144
• 9. Эллиптическая плоскость. 145

Глава 7

ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

• 1. Собственные и зеркальные движения 152
• 2. Центральная симметрия 154
• 3. Вращение и параллельный перенос 155
• 4. Произведение трех симметрий относительно плоскостей 156
• 5. Винтовое перемещение 158
• 6. Центрально-подобное вращение 160
• 7. Круговые преобразования в пространстве 165

ЧАСТЬ 2

Глава 8

КООРДИНАТЫ

• 1. Декартовы координаты. 167
• 2. Полярные координаты 172
• 3. Окружность 175
• 4. Конические сечения. 178
• 5. Касательная, длина дуги и площадь 184
• 6. Гиперболические функции. 189
• 7. Равноугольная спираль 190
• 8. Трехмерное пространство. 193

Глава 9

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

• 1. Рациональные числа. 204
• 2. Действительные числа. 206
• 3. Диаграмма Аргана 208
• 4. Модуль и аргумент. 211
• 5. Формула 0^nt + l=O 214
• 6. Корни уравнений. 215
• 7. Конформные преобразования 216

Глава 10

ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

• 1. Пирамиды, призмы и антипризмы 221
• 2. Чертежи и модели 225
• 3. Формула Эйлера 227
• 4. Радиусы и углы 230
• 5. Взаимные многогранники 234

Глава 11

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС

• 1. Деление в крайнем и среднем отношении 236
• 2. De divina proportione 238
• 3. Золотая спираль. 240
• 4. Числа Фибоначчи. 243
• 5. Филлотаксис 247

ЧАСТЬ 3

Глава 12

ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА

• 1. Извлечение из Евклида двух различных геометрий 253
• 2. Промежуточность 256
• 3. Задача Сильвестера о коллинеарных

точках 262

• 4. Плоскости и гиперплоскости. 264
• 5. Непрерывность 270
• 6. Параллельность 271

Глава 13

АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• 1« Аксиома параллельности и аксиома Де-

зарга 277

• 2. Гомотетии 279
• 3, Аффинные координаты. 287
• 4_t Площадь. 293
• 5. Двумерные решетки 300
• 6. Векторы и центроиды 306
• 7. Барицентрические координаты 311
• 8. Аффинное пространство. 318
• 9. Трехмерные решетки 323

Глава 14

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• L Аксиомы общей проективной плоскости 331
• 2« Проективные координаты. 337
• 3j Теорема Дезарга. 342
• 4. Четырехугольные и гармонические множества 345
• 5. Проективные соответствия 348
• 6. Коллинеации и корреляции. 356
• 7, Конические сечения 363
• 8. Проективное пространство. 369
• 9. Евклидово пространство 377

Глава 15

АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• 1. Равенство (конгруэнтность) 380
• 2. Параллельность 383
• 3* Движение 388
• 4. Конечные группы вращений. 391
• 5. Конечные группы движений 400
• 6. Геометрическая кристаллография 402
• 7* Трехмерный калейдоскоп. 405
• 8. Дискретные группы, порождаемые инверсиями 408

Глава 16

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• 1. Евклидова и гиперболическая аксиомы параллельности 415
• 2. Непротиворечивость гиперболической геометрии 417
• 3. Угол параллельности 421
• 4. Конечность площади треугольников 427
• 5. Площадь и угловой дефект 429
• 6. Окружности, орициклы и эквидистанты 434
• 7. Модель Пуанкаре на полуплоскости 437
• 8. Орисфера и евклидова плоскость 439

ЧАСТЬ 4

Глава 17

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

• 1. Векторы в евклидовом пространстве 442
• 2. Векторные функции и их дифференцирование 448
• 3. Кривизна, эволюты и эвольвенты 449
• 4. Цепная линия 455
• 5. Трактриса 457
• 6. Пространственные кривые. 459
• 7. Винтовая линия. 462
• 8. «Линия откоса. 465
• 9. Конхо-спираль. 466

Глава 18

ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• 1. Взаимные базисы 469
• 2. Фундаментальный тензор. 470
• 3. Взаимные решетки. 474
• 4. Критические решетки на сфере 478
• 5. Общие координаты. 482
• 6. Альтернирующие символы 487

Глава 19

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

• 1. Задание поверхности двумя параметрами 490
• 2. Направления на поверхности 494
• 3. Нормальная кривизна. 499
• 4. Главные кривизны 502
• 5. Главные направления и линии кривизны 509
• 6. Омбилические точки. 512
• 7, Теорема Дюпена и теорема Лиувилля 514
• 8. Индикатриса Дюпена 517

Глава 20

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ

• 1. Theorema egregium. 522
• 2. Дифференциальные уравнения геодезических линий 525
• 3. Полная кривизна геодезического треугольника 529
• 4. Характеристика Эйлера—Пуанкаре 531
• 5. Поверхности постоянной кривизны 533
• 6. Угол параллельности 534
• 7. Псевдосфера 536

Глава 21

ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

• 1. Ориентируемые поверхности 540
• 2. Неориентируемые поверхности 543
• 3. Правильные карты. 547
• 4. Проблема четырех красок 553
• 5. Теорема шести красок 555
• 6. Достаточное число красок для раскраски произвольной поверхности 559
• 7. Поверхности, для раскраски которых необходимо полное число красок 560

Глава 22

ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• 1. Простейшие четырехмерные фигуры 564
• 2. Необходимое условие существования политопа {р, q, г) 568
• 3. Построение правильных политопов 570
• 4. Плотная упаковка равных сфер 575
• 5. Статистические соты 584

Ответы к упражнениям 587

Литература 636

ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА

Автор этой книги Гарольд Скотт Макдональд Кокстер (Harold Scott Macdonald Coxeter) *) — один из крупнейших современных геометров, член английского Королевского общества, профессор университета в Торонто (Канада). Кроме этой книги и переведенной не так давно на русский язык «Действительной проективной плоскости» (М., Физматгиз, 1959), Г. С. М. Кокстер является также автором «Проективной геометрии» (Projective Geometry, New York, 1964) и неоднократно переиздававшийся «Неевклидовой геометрии» (Non- Euclidean Geometry, 4-е изд., Toronto, 1961), «Правильных многогранников» (Regular polytopes, 2-е изд., New York, 1963) и посвященной теории кристаллографических групп книги «Образующие и соотношения для дискретных групп» (Generators and relations for discrete groups, 2-е изд., Berlin, 1965), совместной с Мозером (W. 0. J. Moser). Для всех этих шести книг характерно мастерское сочетание аналитических и синтетических методов; однако наибольшей симпатией автора явно пользуются синтетические методы, благодаря чему все книги Г. С. М. Кокстера могут служить школой геометрического мышления.

) Более правильной является русская транскрипция «Коксе- тер», противоречащая, однако, уже установившейся в нашей литературе традиции.

Последнее особенно важно теперь, когда во всем мире, в том числе и в нашей стране, идут активные дискуссии о судьбах геометрического образования в средней и в высшей школе, причем традиционная система изложения подвергается ожесточенной критике, а пути модернизации преподавания во многом еще не ясны. В предисловии к настоящей книге автор жалуется на то, что за последние годы «многие американцы как-то потеряли интерес к геометрии», и эти слова вполне можно повторить в применении к нашей стране. В США имеются активные приверженцы той точки зрения, что геометрия вообще должна быть исключена из курса математики в старших классах средней школы; у нас аналогичная идея находит меньше поддержки, хотя и она высказывалась некоторыми учеными во время недавних обсуждений содержания математического образования в средней школе. Много недовольства вызывает традиционное построение курса геометрии в системе подготовки будущих учителей — в наших педагогических институтах или в американских учительских колледжах (teachers colleges), при котором этот курс разбивается на ряд отдельных учебных предметов, в значительной степени независимых между собой, что сильно затрудняет восприятие геометрии как единой науки.

Настоящая книга представляет собой существенный вклад в эти дискуссии, сделанный выдающимся геометром и видным педагогом. Автор рассматривает свою книгу как единый учебник геометрии, который должен дать представление читателю о разнообразии используемых в геометрии идей и методов, об основных направлениях геометрической науки и стоящих йеред геометрами задачах и в то же время показать все то общее в этих задачах и методах, что, собственно, и понимается под термином «геометрия». Общие установки автора лучше

всего передает заглавие немецкого перевода этой книги— Unvergangliche Geometric, т. е. «непрерывающаяся геометрия», «геометрия как единое целое». Автор писал нам, что и в русском переводе своей книги он охотнее всего сохранил бы немецкое название; однако ввиду отсутствия подходящего русского термина, способного выразить мысль, которую несет немецкий заголовок книги, нам пришлось сохранить в переводе название английского оригинала книги.

«Введение в геометрию» представляет собой популярное изложение основ почти всех разделов геометрии. Книга сострит из четырех частей, отражающих содержание основных курсов, читающихся в наших педагогических институтах: элементарной геометрии; аналитической геометрии; так называемой высшей геометрии (в том смысле, который придается этому названию, скажем, известным учебником Ефимова [1]*)), включающей в себя элементы оснований геометрии, аффинной, проективной и неевклидовой геометрий; дифференциальной геометрии, к которой отнесены также начала топологии и первые понятия простейшей многомерной геометрии — геометрии четырех измерений. Для обработки своих педагогических воззрений Г. С. М. Кокстер неоднократно выступал с лекциями в США перед учителями математики и будущими учителями; содержание этих лекций и излагает настоящая книга. Украшением книги являются яркие и интересные задачи, доставляющие читателю возможность самоконтроля и удачно дополняющие материал, изложенный в основном тексте.

Стержнем, связывающим всю книгу воедино, являются геометрические преобразования — симметрии, движения общего вида, подобия, инверсии, аффинные и

) Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы, помещенному в конце книги,

проективные преобразования. Много внимания уделяется приложениям геометрии к механике, кристаллографии, биологии и архитектуре. «Введение в геометрию» является весьма ценным пособием по геометрии для студентов математических отделении университетов и педагогических институтов, и мы надеемся, что преподаватели геометрических дисциплин в нашей высшей школе не пройдут мимо интересного опыта замечательного канадского геометра. Эта книга несет на себе слишком явную печать яркой личности автора (см., в частности, главы 4, 10 или 11, включение которых в настоящий элементарный учебник было подсказано Г. С. М. Кокстеру его научными интересами), чтобы ее можно было принять в качестве основного учебника для какого угодно из наших вузов; некоторые частности ее структуры можно критиковать с точки зрения ощущающегося в последние десятилетия стремления к разрушению границ между отдельными ветвями математики — алгеброй, геометрией и анализом (так, аналитическую геометрию, видимо, нецелесообразно излагать в отрыве от линейной алгебры, а основания геометрии — в отрыве от оснований арифметики или анализа). Однако стремление автора к объединению всего комплекса геометрических дисциплин в единый учебный предмет представляется нам весьма актуальным и чисто методические достоинства этой интересной книги — совершенно бесспорными.

При переводе книги наибольшие затруднения у переводчиков и редакторов вызвал вопрос о выборе наиболее рациональной системы наименований. Г. С. М. Кокстер относится к этому вопросу с большим вниманием; им разработана глубоко продуманная геометрическая терминология, которой он придерживается во всех своих книгах. Однако принятая автором терминология зачастую довольно далека от применяемой в русской литературе; ее использование способствовало бы еще большему увеличению терминологического разнобоя, от которого и так страдают наши читатели. Эти соображения заставили нас заменить терминологию Г. С. М. Кокстера более привычной русскому читателю; в нескольких местах это обстоятельство повлекло за собой необходимость внесения редакционных изменений в изложение автора.

При этом в основу нами была положена терминология книги Яглома (подобно тому как в английском переводе названной книги по инициативе Г. С. М. Кокстера терминология была заменена терминологией английского оригинала книги «Введение в геометрию»).

Одно существенное отступление от привычной русскому читателю терминологии заслуживает того, чтобы быть отмеченным специально. В книге «Введение в геометрию», как и в большинстве зарубежных книг, термин «гомотетия» означает точечное преобразование, переводящее каждую прямую в параллельную ей прямую, т. е. то преобразование, которое называется гомотетией и в русской литературе, или параллельный перенос. В противоположность этому в русской литературе параллельный перенос не принято относить к числу преобразований геометрии. Это словоупотребление представляется нам столь же неудачным, как, например (также бытующее в русской литературе!), исключение параллелограммов из множества всех трапеций; оно лишает нас возможности говорить о группе гомотетий, так как произведение двух «центральных» гомотетий может представлять собой параллельный перенос. В настоящем переводе слово «гомотетия» употребляется в том смысле, который придается этому термину в английском оригинале книги.

Автор «Введения в геометрию» с большим вниманием следил за подготовкой к печати русского издания его книги. Он прислал нам полный комплект чертежей, а также 12 писем с поправками, учитывающими все изменения, внесенные в немецкое издание книги, и содержащими ряд новых усовершенствований изложения. Нам приятно выразить здесь Г. С. М. Кокстеру искреннюю благодарность за это внимание.

В русском переводе ссылки на популярные английские учебные пособия пополнены (а частично заменены) ссылками на русские учебники. Все немногочисленные дополнения переводчиков и редакторов книги в тексте отмечены угловыми скобками ( ); принадлежащие редакторам и переводчикам подстрочные примечания отмечены звездочками, в отличие от нумерованных сносок автора. Звездочками же отмечены в списке литературы книги, включенные в этот список редакторами. Часть эпиграфов к отдельным разделам книги переведена Ю. М. Гельпериным.