Урок № 2 Развертка цилиндра. Выкройка. Боковая и полная поверхность цилиндра. Вычисление площади поверхности 62

Урок № 3 Решение задач. 66

Урок № 4 Объем цилиндра. 67

Урок № 5 Практические работы. 72

Урок № 6 Контрольная работа 74

122

VIII КЛАСС

Вычисление площадей и объемов геометрических тел.

Урок № 1 Правильная призма 76

Урок № 2 Поверхность правильной призмы 79

Урок № 3 Практическая работа 80

Урок № 4 Объем правильной призмы 81

Урок №5 Образцы контрольных работ 82

Правильная пирамида

Урок № 1 Пирамида. Правильная пирамида. Ее свойства 83

Урок № 2 Угол между прямой и плоскостью 87

Урок № 3 Площадь поверхности правильной пирамиды. Развертки 91

Урок № 4 Объем правильной пирамиды. 95

Урок № 5 Практическая работа. 98

Конус

Урок № 1 Повторение 100

Урок № 2 Площадь поверхности конуса. 104

Урок № 3 Объем конуса 107

Урок № 4 Решение задач. Практическая работа 109

Урок №5 Решение задач. Контрольная работа ПО

Шар

Урок № 1 Шар и его свойства 114

Урок №2 Поверхность шара 117

Урок №3 Объем шара 118

Урок № 4 Самостоятельная работа. Контрольная работа 120

Литература 121

ОТ АВТОРА

Среди вопросов, возникших в связи с перестройкой школьных программ по математике, немаловажное место занимает вопрос о том, как поставить курс стереометрии в VII и VIII классах восьмилетней школы.

Ученики VII класса, изучая в течение полутора лет систематический курс I части геометрии — планиметрию, привыкли пользоваться дедукцией, «доказывать» теоремы. Как возраст, так и еще недостаточная подготовка учащихся по математике, а также незначительное число часов, отводимое для изучения стереометрии в VII и VIII классах, не позволяют продолжать изучение геометрии в плане систематического дедуктивного курса. Возникает большая опасность — впасть в другую крайность, излагать стереометрию на индуктивно-экспериментальной основе, что было довольно распространено в 20—30 годах в советской школе.

Несоответствие такого преподавания характеру геометрии как науки, недооценка дедукции могут послужить препятствием для продолжения образования. Интересен факт, имевший место в одной из школ, когда учащиеся VII класса после первых уроков стереометрии спросили учительницу: «А когда мы будем доказывать теоремы?»

В объяснительной записке к программе по математике для общеобразовательной школы с политехническим обучением указаны специфические задачи, которые стоят перед преподаванием стереометрии в восьмилетней школе.

Основным методическим приемом при обучении стереометрии в восьмилетней школе является наблюдение предметов окружающей действительности, заготовленных рисунков, чертежей и моделей; практические работы, индуктивные заключения.

Некоторые предложения принимаются без доказательств, что вполне допустимо в подготовительном курсе стереометрии; об этом следует ясно сказать учащимся.

Без доказательства принимается ряд геометрических фактов, в справедливости которых можно убедить ученика, опираясь на наглядность, на накопленные пространственные представления, на результаты выполненных работ.

Элементы доказательства вступают постепенно, когда в них появляется надобность и создается возможность их применения. Широко используются модели геометрических тел, чертежи и решается большое число задач практического характера, в частности производственного, и с применением тригонометрии прямоугольного треугольника.

Курс стереометрии восьмилетней школы можно охарактеризовать как наглядно-доказательный, или наглядно-дедуктивный.

Одним из центральных и трудных вопросов этого курса является вопрос введения основных понятий стереометрии, создания у учащихся отчетливых представлений о каждом из вводимых понятий. Сформированные понятия должны быть образными и прочными. Большую помощь в этом может и должна оказать правильно осуществленная наглядность. В вопросе о том, какими образами и сравнениями формировать у учащихся основные понятия, учителю открывается широкое поле деятельности.

Так, например, понятия линии (прямой, кривой), поверхности вводятся путем рассмотрения границ поверхности и тел; при выяснении понятия «плоская поверхность» показывают, что плоскость отличается от всякой другой поверхности тем, что, какие бы две точки ее мы ни взяли, прямая, соединяющая эти точки, лежит на этой поверхности, а для неплоских поверхностей это не выполняется и т. д.

4

Вообще для более прочного и сознательного усвоения этих основных понятий необходимо как можно шире привлекать модели, как можно полнее использовать те практические возможности, которые предоставляет учителю окружающий ученика реальный мир.

В основном при изучении стереометрии учащиеся изготавливают картонные модели, реже каркасные—для показа сечений. Работая в мастерских, они охотно вытачивают из металла модели конусов, цилиндров и др. Самодельные и наглядные пособия используются для выполнения практических работ в классе и дома.

Большую роль не только для решения узких задач того или иного курса, но для общего математического развития учащихся, для воспитания их математического мышления, при изучении любого раздела курса математики играет насыщение всего курса идеей функциональной зависимости. В качестве примеров реализации этой идеи при изучении стереометрии можно указать рассмотрение вопросов, связанных с геометрической иллюстрацией некоторых алгебраических функций, как например (а 4- Ь)³\ изменение площади поверхности и объема параллелепипеда и других пространственных тел при изменении их линейных размеров; изменение площади сечения тела при параллельном перемещении секущей плоскости и др.

Неплохо было бы привлечь к выводу некоторых формул вычисления объемов тел принцип Кавальери, на котором мы не останавливаемся, так как это не входит в задачу данной работы.

Цель работы показать начинающему учителю, как наиболее успешно поставить преподавание стереометрии в VII и VIII классах общеобразовательной школы применительно к учебнику «Геометрия» Н. Н. Никитина и «Сборнику задач» Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой¹, принятым для преподавания геометрии в 8-летней школе в настоящее время. Число задач, рекомендуемых по различным темам курса стереометрии, в данном пособии ограничено. Учитель может его пополнить, используя сборники задач и упражнений, указанные в списке литературы.

Вся совокупность, даваемых в курсе стереометрии VII и VIII классов знаний и навыков, служит делу политех-

¹ В дальнейшем именуемые учебник геометрии и сборник задач,

5

нической подготовки учащихся, так как вся производственная деятельность людей, изучение окружающей действительности связаны с измерениями, вычислениями, в частности с вычислением по формулам, с приближенным вычислением, с применением вспомогательных средств при расчетах (таблиц и счетных приборов).

Изготовление и использование моделей, а также построение правильных (наглядных) стереометрических чертежей на классной доске при проведении уроков геометрии способствуют развитию пространственного воображения учащихся и облегчают восприятие пространственных фигур при рассмотрении теоретических вопросов и при решении задач.

Надо добавить, что преподавание черчения в VII классе общеобразовательной школы (согласно программе по черчению) дает необходимые знания, на основе которых можно строить преподавание стереометрии по программным темам «Призма» и «Цилиндр». Благодаря умению учащихся изобразить призмы и цилиндр в кабинетной и аксонометрической проекциях, можно очень скоро при решении задач по названным темам перейти от рисунков к чертежам.

Все знания, необходимые для выполнения чертежей при изучении вопросов стереометрии в VIII классе (правильная пирамида, конус, шар), учащиеся получают раньше, еще в VII классе на занятиях по черчению.

В настоящей работе принимали участие студенты V курса математического факультета МГПИ имени В. И. Ленина — в разработке уроков по стереометрии в восьмилетней школе и частично их проверке в 1958/59 и 1959/60 учебных годах, а также в проведении уроков в VII классе в 1961/62 учебном году.

VII КЛАСС

ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

УРОК Ml

УКАЗАНИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Приступая к ознакомлению учащихся VII класса с основными сведениями из курса стереометрии, надо напомнить им содержание первых уроков геометрии VI класса, а именно: «Предмет геометрии. Геометрическое тело. Поверхность. Линия, прямая линия, точка. Плоскость».

Поэтому к первому уроку ученикам дается задание: прочитать по учебнику геометрии § 1—4.

В процессе беседы на первом уроке уточняют, что наука геометрия, которую они изучают, возникла в процессе трудовой деятельности человека как при измерении земельных участков¹, так и при решении других жизненно практических задач, в которых приходилось учитывать форму и размеры предметов, их расположение, как например, при вычислении вместимости сооружений, сосудов и др.

В геометрии изучаются пространственные свойства фигур, которые встречаются в предметах и явлениях окружающей природы и в технике; изучаются их формы, размеры и расположение среди других предметов; остальные свойства фигур рассматриваются в других науках.

В геометрии рассматриваются геометрические тела (§ 2 учебника).

Далее в своем вводном слове к уроку учитель указывает, что до сих пор в курсе геометрии учащиеся главным обра-

¹ «Геометрия» (греч.) — в переводе «землемерие», что должно быть известно учащимся из курса VI класса.

7

зом изучали плоские фигуры и их свойства — изучали треугольники, четырехугольники, круги. Если посмотреть на окружающие нас предметы, например классную доску, стол, шкаф и др., то можно заметить, что большинство из них имеют такую форму, что не все их точки лежат на одной плоскости. Такие фигуры называют «пространственными фигурами или телами». К изучению геометрических свойств этих тел мы и приступаем.

Отдел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных тел (форма, размер и расположение), называется стереометрией; отдел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости, называется планиметрией. До настоящего времени учащиеся в курсе геометрии изучали планиметрию.

Изучение стереометрии начинается с рассмотрения знакомых учащимся тел — куба и прямоугольного параллелепипеда.

Записывают тему урока: «Куб и прямоугольный параллелепипед».

Оборудование. Модели куба, прямоугольного параллелепипеда, их развертки. Масштабная линейка.

План урока. Грани, ребра и вершины куба и прямоугольного параллелепипеда. Развертки; боковая и полная поверхность этих тел. Площадь боковой и полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда.

Вопросы. 1. Чем отличаются пространственные тела от фигур, изучаемых в курсе планиметрии: треугольников, квадратов и т. д.?

Устанавливают, что основное отличие заключается в том, что эти тела (куб и параллелепипед) занимают часть пространства, имеют объем. Эти тела имеют три измерения: длину, ширину и высоту (высота иногда называется толщиной или глубиной). Каждое тело со всех сторон ограничено поверхностью.

Поверхность тела—это граница, которая отделяет одно тело от других тел и от всего остального окружающего его пространства.

Поверхность тела не имеет никакой толщины, она имеет только два измерения — длину и ширину; ее нельзя отделить от тела.

2 Показывают всю поверхность куба и прямоугольного параллелепипеда (ладонью руки), показывают поверхность сверху, снизу, с боков, т. е. грани этих тел.