§ 3. Определение тригонометрических функций 38

§ 4. Тригонометрические тождества 52

ГЛАВА III

Формулы приведения и графики

§ 1. Аппарат тригонометрии 56

§ 2. Формулы приведения 60

§ 3. Графики тригонометрических функций 67

ГЛАВА IV

Формулы сложения и следствия из них

§ 1. Вывод формул сложения 75

§ 2. Следствия из формул сложения 77

§ 3. Тригонометрические таблицы 00

ГЛАВА v

Тригонометрические уравнения

§ 1. Понятие о тригонометрических уравнениях 04

§ 2. Некоторые приёмы для решения тригонометрических уравнений . . 08

ГЛАВА VI

Обратные тригонометрические функции

§ 1. Понятие об обратных тригонометрических функциях  111

§ 2. Формальные свойства обратных тригонометрических функций . . . 120

ГЛАВА VII

Решение треугольников  127

Тригонометрическая таблица  132

Таблица для перевода радианной меры в градусную 138

 СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ.

§ 1. Критика сложившегося школьного курса тригонометрии.

Разрыв между школьным курсом тригонометрии и наукой. Ни В ОДНОЙ математической дисциплине нет столь резкого разрыва между школьным курсом и наукой, как в тригонометрии. Школьные курсы алгебры И геометрии, хотя и далеки по своему содержанию от современной науки, но, во всяком случае, не содержат ничего противоречащего ей. Эти курсы содержат элементы науки, и ученик, усвоивший их, может беспрепятственно изучать математику дальше. Школьный же курс тригонометрии, как будет показано в этом параграфе, прививает ученикам антинаучные навыки, приносящие при дальнейшем изучении математики прямой вред. При изучении высшей математики приходится отучаться от многих идей, прививаемых в школьном курсе тригонометрии.

Ниже мы подробно рассмотрим противоречия между школьным курсом тригонометрии и наукой, а пока укажем, что эти противоречия, несмотря на их многообразность, имеют одну общую причину: тригонометрия как наука представляет главу анализа, а в школьном курсе её рассматривает как главу геометрии.

Цели преподавания тригонометрии в школе.  

Преподавание математики в средней школе преследует различные цели. Одна из них — подготовка учеников к высшей школе. Эта цель — не единственная и даже не главная. Её роль для различных математических предметов различна. В курсе арифметики эта цель почти совсем стушёвывается, потому что арифметика имеет повседневное применение в практической жизни и необходима каждому человеку сама по себе, независимо от того, на какой ступени он прервёт своё образование. В алгебре и геометрии эта цель имеет несколько больший удельный вес. В курсе же тригонометрии эта цель является первостепенной. Непосредственные применения тригонометрии в практической жизни гораздо более ограничены, чем применения арифметики, алгебры и геометрии. Эти применения сводятся почти исключительно к решению прямоугольных треугольников. Есть также некоторые применения тригонометрии в школьном курсе физики: то же решение прямоугольных

треугольников в школе плюс теория гармонического колебания. Тот широкий курс тригонометрии, который проходится в средней школе, не может быть оправдай только этими примитивными применениями. Одна из важнейших его целей — подготовка к высшей школе. Само собой разумеется, что эта цель нисколько не исключает других целей и не противоречит им. Мы лишь должны не забывать о ней, рассматривая содержание курса тригонометрии. Изучение свойств тригонометрических функций играет также важную общеобразовательную роль, совершенно не зависящую от решения треугольников. Это изучение обогащает сведения учеников о функциях и их свойствах.

Поэтому содержание школьного курса тригонометрии следует обсудить с точки зрения того, даёт ли этот курс необходимую подготовку для изучения высшей математики и для изучения физики в средней школе и содействует ли он расширению кругозора учащихся в области изучения функций. Говоря о высшей математике, мы будем подразумевать потребности студентов втузов. Во-первых, это — самый многочисленный контингент «потребителей» тригонометрии. Во-вторых, если будет доказано, что школьный курс тригонометрии не годится в качестве фундамента даже для курса высшей математики во втузах, то это тем более будет относиться к гораздо более солидному курсу математики, проходимому на математических факультетах университетов и пединститутов.

Существует наука «тригонометрия»?

Часто приходится сталкиваться с возражением: не существует особой науки — тригонометрии. В современной математике тригонометрия никогда не

выделяется в особую науку, равноправную с алгеброй или геометрией. О науке, называющейся «тригонометрия», говорят только в школьном курсе. Всё это верно, и тем не менее, в рамках школьного курса, выделение тригонометрии в особую науку вполне законно. Тригонометрия есть глава математического анализа, изучающая свойства некоторого класса функций и некоторые приложения этих функций. Поскольку курс анализа в средней школе отсутствует, эта глава уже перестаёт быть главой, и её значение вырастает до ранга науки.

Могут ещё сказать, что тригонометрия — не единственный раздел анализа, проходимый в средней школе. Прогрессии, показательная и логарифмическая функции, изучаемые в курсе алгебры, тоже относятся к анализу. Однако нецелесообразно присоединять эти вопросы к тригонометрии. Поскольку в средней школе отсутствуют общие методы исследования функций, теорию тригонометрических функций, с одной стороны, и аналитические элементы в курсе алгебры, с другой стороны, следует рассматривать как обломки анализа, связь между которыми (при тех точках зрения, какие даются в средней школе незаметна. Если бы изучались какие-нибудь общие вопросы, относящиеся к функциям, то эти обломки осознавались бы как части единого целого. При существующем же положении вполне естественно и законно, говоря о школьном курсе, рассматривать тригонометрию как автономную науку.