Задачи для повторения геометрии в восьмилетней школе (Гронский) 1969 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи настоящего сборника не только являются материалом для повторения курса геометрии в восьмилетней школе, но и могут служить дополнением к стабильному задачнику по геометрии Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой. В сборнике много задач на построение и доказательство, задач с практическим содержанием, есть задачи повышенной трудности. Ко всем задачам повышенной трудности в конце сборника даны краткие указания. Но в указаниях к задачам на построение не дано доказательств и исследований. Решение задачи на построение, по мере необходимо-сти, должно состоять из четырех этапов (анализа, построения, — с кратким его описанием, —доказательства и исследования).

Для решения задач, связанных с построением на местности, можно использовать пришкольный участок. Решать эти задачи следует с применением школьных астролябии и мензулы. Другие приборы, нужные для решения задач на местности, могут изготовить учащиеся.

Легкие задачи по мере возможности надо решать устно.

Во всех случаях, кроме специально оговоренных, числовые данные в задачах следует считать точными.

Задачи № 2, 9, 11, 15, 19 (а и б), 24 (б), 27, 41, 60, 76, 97, 108, 121, 134, 137, 138, 148, 149, 155, 175 (б), 182 (а), 190, 191 (а и б), 204 (а и б), 212, 237 (а и б), 251, 262, 268 (б), 269, 280 (а и б), 283, 293, 295 (а), 306—334 предназначены для кружковой работы.

Приношу благодарность методистам А. В. Соколовой, 3. А. Ско- пецу и | Е. Д. Загоскиной , давшим ценные советы и указания по содержанию рукописи.

И. Гронский

VI класс

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Дан отрезок АВ прямой MN и точка С (черт. 1), не лежащая на этой прямой. Построить лучи, исходящие из точки С и 1) пересекающие отрезок АВ\ 2) проходящие через концы отрезка АВ', 3) пересекающие прямую MN, но не пересекающие отрезок АВ.

2. а) Провешить на местности от данной точки в произвольном направлении луч.

б) Между двумя данными на местности точками провешить отрезок прямой и при помощи рулетки измерить его.

Черт. 1

Черт. 2

3. Определить длину забора школьного участка при помощи: 1) рулетки, 2) полевого циркуля и 3) шагами; полученные результаты перевести в метры и сравнить между собой.

4. (У с т н о.) Отрезки АВ и CD (черт. 2) не имеют общих концов и все точки второго из них принадлежат первому. Чему равна разность АВ — CD?

5. Через каждые 75 м вдоль колхозного поселка по прямой линии электропередачи поставлено 10 столбов. Найти расстояние между крайними столбами арифметически и построением, изображая промежутки между столбами в масштабе: 100 м в 1 см.

6. Деревянная планка длиной 15,3 см распилена на 5 равных частей. Найти длину каждой части, если ширина распила равна 2 мм.

7. За один ход лесопильная рама распиливает 15,3 мм бревна. Сколько ей надо сделать ходов, чтобы распилить бревно длиной 6,85 м?

8. а) Отрезок прямой, равный а см, состоит из четырех частей. Расстояние между серединами крайних частей равно b см. Определить расстояние между серединами средних частей.

J О 3 6 9км

б) Четыре смежные полосы колхозного поля имеют прямоугольную форму. Посреди каждой из них вдоль поля по направлению параллельных прямых вырыты осушительные каналы. Общая ширина полос 1180 м; расстояние между каналами средних полос 200 м. Определить расстояние между каналами крайних полос.

9. В одном ряду фруктового сада через каждые 7,8 м посажены яблони, всего 27 яблонь; между каждыми двумя соседними яблонями посажен куст смородины. Определить расстояния от крайнего в ряду куста смородины: 1) до крайних в ряду яблонь; 2) до средней яблони; 3) до второго крайнего куста и 4) до двух средних кустов. (Размеры даны приближенные.)

10. Доказать, что если отрезок разделен на три равные части, то расстояние между серединами крайних частей равно 2/3 всего отрезка. Сформулировать и решить аналогичную задачу для случая, когда отрезок разделен на пять равных частей, на п равных частей.

11. Из колхоза в РТС для ремонта требуется переправить шесть тракторов. Это можно сделать по двум дорогам ABCDE и AMNPQE (черт. 3). Пользуясь данным масштабом, найти, на сколько километров первая дорога короче второй, и определить экономию горючего при условии, что все тракторы будут переправлены кратчайшей из этих дорог (на пути 1 км каждый трактор сжигает 0,3 кг горючего).

12. В результате повышения давления на одну атмосферу стрелка манометра отклоняется вправо, описывая угол, равный х/15 d. Какой угол опишет стрелка манометра при увеличении давления на 8 атмосфер?

13. На местности с помощью универсального школьного угломера провешить: а) две взаимно перпендикулярные прямые; б) две прямые, пересекающиеся под углом в 63°; в 138°.

14. (У ст н о.) На сколько при повороте общей стороны двух смежных углов (черт. 4) уменьшится первый из них, если второй при этом увеличится в 2,3 раза?

15. Доказать, что угол, дополнительный к меньшему из двух смежных углов, равен полуразности этих углов.

16. Углы, образуемые осями любых соседних спиц колеса, равны между собой; спицы колеса занумерованы по порядку от 1-й

т

в

до последней, 16-й; ось первой из спиц расположена вертикально. Указать порядковый номер спиц, оси которых расположены гори

зонтально.

17. Дуги AmD и ВтС (черт. 5) не имеют общих концов и все точки второй из них принадлежат первой. Чему равна разность \yAmD — ^>ВтпС?

18. (У с т н о.) Сумма двух углов равна 80°, их разность 46°. Найти оба угла.

19. а) Объяснить по чертежу 6, как по данной сумме (\JABC) двух дуг и их разности (^CD) найти построением обе дуги (<у АВ = = <yBD).

б) Объяснить по чертежу 7, как вторым способом можно решить задачу 19(a) (о Л В = <УВГУ).

20. Построить две пересекающиеся окружности и провести: 1) их общую хорду; 2) диаметры с общими концами; 3) отрезок прямой, состоящий из: а) двух хорд этих окружностей, б) двух хорд и от

резка, лежащего вне кругов.

21. Как изменяется угол между часовой и минутной стрелками часов в течение одной минуты, 12 минут, 47 минут?

22. Угол отклонения Л ОС, равный 42°15' (черт. 8), при каждом отклонении (в одну сторону) маятника (представляющего собой груз, подвешенный на нити) в среднем уменьшается на 2° 16'. Через сколько таких отклонений маятник остановится

Черт. 8 в положении равновесия ОС?

II. ТРЕУГОЛЬНИКИ

23. Начертить произвольный четырехугольник и при помощи масштабной линейки и транспортира определить длины его сторон, диагоналей, величины углов, периметр.

24. а) Сколько сторон имеет многоугольник, если отношение числа его диагоналей к числу сторон равно: 1) 1; 2) 1,5?

б)* Доказать1, что существует только два многоугольника (с разным числом сто-рон), у которых отношение числа сторон к числу диагоналей, проведенных из одной вершины, равно целому числу.

25*. Доказать, что в треугольнике отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с любой точкой его основания, меньше половины периметра треугольника.

Сравнить длину высоты, медианы, биссектрисы треугольника с его полупериметром.

Черт. 9

26. Построены равносторонние треугольники: один на основании, равном а, равнобедренного треугольника, другой на его боковой стороне, равной b (а> Ь). Сравнить периметры этих треугольников.

27. В школьной мастерской сделать деревянный треугольник и при помощи уровня и отвеса установить направления высот этого треугольника.

28. Построить на глаз несколько пар симметричных относительно данной прямой отрезков и при помощи чертежного треугольника и измерителя проверить правильность построения.

29. В четырехугольнике ABCD (черт. 9) АВ = ВС и Z. BAD = Z_ BCD. Доказать, что AD = DC.

30. Доказать, что два треугольника равны, если основание, медиана .основания и высота, опущенная на основание, одного треугольника соответственно равны основанию, медиане основания и высоте, опущенной на основание, другого треугольника.

31. На чертеже треугольника АВС сохранились сторона АВ и точка О пересечения его высот. Восстановить не сохранившиеся на чертеже стороны треугольника.

32. Указать различные способы определения недоступных расстояний, основанные на применении признаков равенства треугольников.

33. Построить треугольник: 1) по боковой стороне, высоте и медиане, проведенным к основанию; 2)* по основанию, медиане основания и углу между этой медианой и высотой, опущенной на основание.

34*. а) Построить прямоугольный треугольник: 1) по острому углу и сумме (или разности) катетов; 2) по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

б) Построить треугольник по основанию, углу при основании и сумме боковых сторон.

35. В школьной мастерской сделайте из проволоки четыре прямых стержня длиной в 4 см, 7 см, 10 см и 13 см. Соединяя концами

1 Значком ♦ отмечены задачи повышенной трудности.

Черт. 10

три стержня из четырех, выясните, из каких трех стержней можно сделать фигуру, представляющую треугольник, а из каких нельзя.

Объясните ваши выводы, используя зависимость между сторонами треугольника.

36. В железнодорожной ферме (черт. 10) на расстояниях АВ, ВС, ..., FM(AB > ВО CD; CD = DE; EF = ВС и MF = АВ) установлены равной длины стойки: BBt = СС^ = DD^ = EEi = = FFi, к концам стоек прикреплены раскосы ABlt BtC, CDb DiE, EFlt FiM. Сравнить по длине раскосы. (Обосновать свои выводы.)

37. а) Найти точку, которая одинаково удалена от сторон АВ и ВС треугольника ЛВС и одинаково удалена от его вершин Л и С. (Когда задача имеет бесчисленное множество решений?)

б) Два наблюдательных пункта М и N расположены на двух прямых пересекающихся дорогах АВ и ВС (черт. 11). Как найти место, одинаково удаленное от дорог и одинаково удаленное от мест расположения наблюдательных пунктов?

38. На одной стороне угла Л отложены произвольные отрезки АВ и АС, а на другой —отрезки АВ{ = АВ и ACt = АС. Доказать, что точка пересечения прямых ВС{ и ВtC лежит на биссектрисе угла Л.

Вывести отсюда способ деления угла пополам с помощью масштабной линейки.

Ш. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

39. Привести примеры расположения предметов или их частей по направлению параллельных прямых.

40. Назовите все известные вам приборы, которые применяются для построения параллельных прямых.

Как применяют каждый из этих приборов для вычерчивания параллельных прямых?

41. На чертеже 12 изображена металлическая пластина. Как с помощью рейсмаса отделить от этой пластины часть прямоугольной формы с наибольшей шириной?

42. Два груза и Р2 (черт. 13) подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В. На той же нити между блоками в

Черт. 12

точке С подвешен груз Р, который уравновешивает грузы Pi и Р2. Доказать, что Z. АСВ = Л. PiAC + Z СВР2.

Указание. Близко расположенные отвесные линии принимаются параллельными.

43. Какой вид имеет треугольник, если углы его относятся как: 1) 3 : 4 : 5; 2) 2 : 3 : 5; 3) 1 : 2 : 6?

44. а) Два угла треугольника равны аир. Найти углы между его биссектрисами.

б) Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными? (Объяснить.)

45. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30°, а гипотенуза равна 32 см. Найти отрезки, на которые высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.

46. С помощью циркуля и линейки разделить прямой угол на три равные части.

V/I класс

IV. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

47. Из точки, взятой внутри четырехугольника, на его стороны опущены перпендикуляры. Три угла между этими перпендикулярами равны 8Г, 90° и 139°. Найти углы четырехугольника.

48. Дан угол АВС и внутри его точка М. Через эту точку провести две прямые так, чтобы их отрезки с отрезками сторон данного угла образовали параллелограмм.

49. Дан треугольник АВС. Построить параллелограмм со стороной, равной т, так, чтобы его угол совместился с углом А данного треугольника, а вершина угла, противолежащего углу А, лежала на стороне ВС.. (Рассмотреть случаи, когда задача имеет одно решение, два решения, не имеет решений.)

2 И. Ф. Гронский

9

Черт. 15

50. Построить параллелограмм: 1) по углу, стороне и высоте, опущенной на эту сторону; 2) по углу, высоте и диагонали, лежащей против этого угла.

51. Доказать, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины одного из углов, равен другому углу параллелограмма.

52. Из точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр образовавшегося параллелограмма в два раза больше длины боковой стороны треугольника.

53. Доказать, что сумма расстояний любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до его сторон есть величина постоянная для данного параллелограмма.

54. В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону AD в точке Е пополам. Найти сторону АВ и отрезок АЕ, если периметр параллелограмма равен Р и больше периметра треугольника ABD на d. Вычислить при Р = 7ли</ = 2;и.

55. Даны параллельные прямые АВ и СО и между ними точка М. Через эту точку провести отрезок, равный а см, так, чтобы он концами лежал на двух данных прямых (а больше расстояния между параллельными).

56. Построить параллелограмм так, чтобы его диагонали лежали на двух пересекающихся прямых MN и PQ (черт. 14), а две данные точки А и В этих прямых были вершинами параллело

грамма.

57. Построить параллелограмм так, чтобы его угол был совмещен с данным углом АВС (черт. 15), а данная точка О внутренней области угла была точкой пересечения диагоналей.

58. Доказать, что всякий четырехугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.

59. Доказать, что сумма двух смежных

сторон параллелограмма меньше суммы его диагоналей, но больше их полусуммы.

60. Из проволоки изготовить четыре прямых попарно равных стержня; из них составить: 1) параллелограмм; 2) четырехугольник, не представляющий собой параллелограмм. Объяснить, чем первая из этих фигур отличается от второй.

А с,

61. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD от вершин А и С отложены равные отрезки АЕ и CF; точки Е и F соединены отрезком прямой. Доказать, что этот отрезок диагональю АС делится пополам.

62*. Начертить параллелограмм так, чтобы середины трех его сторон были в трех данных точках, не лежащих на одной прямой. (Три решения.)

63*. Как можно использовать центральную симметрию, чтобы найти расстояние между двумя точками Л и В, разделенными препятствием?

64. В двух центрально-симметричных параллелограммах ABCD и AtBiCtDi вершины, обозначенные одинаковыми буквами, тоже центрально-симметричны. Построить эти параллелограммы, если даны их стороны АВ и CtDi и центр симметрии О (черт. 16).

65. Применяя свойства центральной симметрии, доказать, что: 1) противоположные стороны параллелограмма равны; 2) противоположные углы параллелограмма равны; 3) биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны (или совпадают).

66. Доказать, что параллелограмм любой прямой, проходящей через точку пересечения его диагоналей, делится на две равные части.

67. Участок сенной базы имеет форму прямоугольника длиной 244 м и шириной 198 м. Для ограждения его нужно обтянуть в три ряда проволокой. Сколько для этого потребуется мотков проволоки, если в каждом мотке содержится 120 погонных метров проволоки?

68. Как при помощи рулетки убедиться в том, что оконная рама имеет форму прямоугольника?

69. В данный треугольник вписать прямоугольник так, чтобы одна его сторона лежала на основании этого треугольника, другая проходила через данную точку, лежащую внутри треугольника, и две вершины лежали на боковых сторонах. (Два решения.)

70*. В данный треугольник АВС вписать прямоугольник со стороной, равной а, так, чтобы эта сторона лежала на основании АВ, а две вершины — на боковых сторонах АС и ВС.

71. а) Доказать, что в прямоугольнике большая сторона меньше диагонали, но больше ее половины.

б) Доказать, что диагональ прямоугольника меньше его полупериметра и больше четверти периметра.