Все задачи снабжены подробными решениями, но решения выделены в отдельную часть. Предполагается, что изучающий будет пытаться всегда сначала самостоятельно решить предлагаемую задачу, употребив, если это окажется нужным, на более трудную задачу по крайней мере несколько часов на размышления, и только в случае неудачи обратится к предлагаемому нами ее решению; оно, к слову сказать, может быть не всегда наилучшее, которое можно для данной задачи придумать.

Нам кажется, что всех геометрических задач не очень большой трудности, существенно различных друг от друга и имеющих принципиальный геометрический интерес, не так-то много, так что наш сборник можно считать довольно полным. Мы не говорим, конечно, о задачах, отличающихся друг от друга лишь численными данными или совершенно искусственных (например, на тела вращения или на пересечение разных тел), которых можно составить любое число (мы поместили таких задач очень мало). Было бы весьма желательно собирать дальнейшие принципиально интересные задачи, в духе нашего сборника, но уже не давать их решения, чтобы можно было их использовать в разных соревнованиях.

Планиметрическая часть этого задачника составлена О. К. Житомирским, а стереометрическая — Б. Н. Делоне.

Настоящее, третье издание печатается без изменений. Исправлены замеченные ошибки и опечатки.

ЗАДАЧИ

ПЛАНИМЕТРИЯ

Отрезки и углы

1. На прямой даны два отрезка а, b и общая часть их с. Определить отрезок, покрываемый обоими отрезками вместе.

2. На прямой даны два отрезка ОА = а, ОБ — Ъ. Определить расстояние АВ и расстояние между точкой О и серединой М отрезка АН.

3. Углы MON = a, NOP — Р приложены друг к другу. Определить угол между их биссектрисами. Применить результат к случаю, когда эти углы смежные.

5. Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?

6. Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на два равных треугольника?

7. Точка М лежит внутри треугольника АБС. Который из углов ВАС, ВМС больше?

10. В треугольнике ABC проведена высота АН. Как расположена точка Н по отношению к точкам В, С, когда углы ABC, АСВ оба острые, когда один из них тупой и когда один из них прямой?

11. В треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса AD и высота АН. Доказать, что точка D лежит между точками М и Н, если стороны АВ, АС не равны.

Сравнительная длина объемлемых и объемлющих

12. По известной теореме сумма боковых сторон треугольника больше основания. Доказать, что она превышает основание менее чем на удвоенный отрезок, соединяющий вершину с какой угодно точкой основания.

13. Если выпуклый многоугольник заключен внутри какого-нибудь другого многоугольника, то по известной теореме периметр наружного многоугольника больше периметра внутреннего. Доказать, что наружный периметр превышает внутренний менее чем на удвоенную сумму отрезков, соединяющих вершины наружного многоугольника с какими-нибудь последовательно расположенными точками контура внутреннего.

14. Доказать, что сумма расстояний всякой точки от вершины многоугольника больше полупериметра его.

15. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.

16. Зная стороны треугольника, найти границы, между которыми заключается сумма его медиан.

17. Найти точку, сумма расстояний которой от вершин данного четырехугольника наименьшая.

Перпендикуляры и наклонные

18. Доказать, что отрезок, заключенный между вершиной и противолежащей стороной треугольника, меньше наибольшей из остальных сторон.

19. Доказать, что отрезок, заключенный между двумя сторонами треугольника, меньше наибольшей из его сторон.

20. Доказать, что отрезок, заключенный весь внутри треугольника, меньше наибольшей из его сторон.

21. В прямоугольном или тупоугольном треугольнике один из острых углов разделен на несколько равных частей. Доказать, что делящие прямые разделят противоположную сторону на части, возрастающие при удалении от вершины прямого или тупого угла.

22. В прямоугольном или тупоугольном треугольнике одна из сторон прямого или тупого угла разделена на несколько равных частей. Доказать, что прямые, соединяющие точки деления с вершиной противолежащего угла, разделят этот угол на части, убывающие при удалении от другой стороны тупого или прямого угла.

Параллельные линии

23. Доказать, что прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно основанию, делит внешний угол при вершине пополам.

24. Через точку пересечения биссектрис внутренних углов при основании треугольника проведена прямая параллельно основанию. Доказать, что часть этой прямой, заключенная между боковыми сторонами, равна сумме отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой и основанием.

25. Как изменится предыдущая теорема, если одну из биссектрис внутренних углов или обе заменить биссектрисами внешних углов?

Сумма углов треугольника

26. Определить углы равностороннего треугольника.

27. Определить углы прямоугольного треугольника, гипотенуза которого вдвое больше одного из катетов.

28. По углу при вершине треугольника определить острый угол между биссектрисами внутренних углов при основании, острый угол между биссектрисами внешних углов при основании и острый угол между биссектрисой внутреннего угла при одном из концов основания и биссектрисой внешнего угла при другом конце.

29. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла при вершине А до пересечения с основанием ВС в точке D, на большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне АС, и точки D, Е соединены. По данным углам В, С треугольника определить угол BDE.

30. В треугольнике ABC проведена биссектриса внешнего угла при вершине А до пересечения с продолженным основанием ВС. в точке D, на продолжении большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне А С, и точки D, Е соединены. По данным углам В, С треугольника определить угол BDE.

31. По углам при основании треугольника определить угол между высотой и внутренней биссектрисой угла при вершине, противолежащего основанию.

32. По углам прямоугольного треугольника определить угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

33. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

34. По углам четырехугольника определить углы между биссектрисами двух соседних углов, между биссектрисами двух противоположных углов и между биссектрисами двух углов, образуемых парами противоположных сторон, продолженных до пересечения.

Параллелограммы и трапеции

35. Доказать, что в шестиугольнике, противоположные стороны которого равны и параллельны, три диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

36. Доказать, что во всяком четырехугольнике середины сторон суть вершины некоторого параллелограмма.

37. Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон суть вершины некоторого параллелограмма.

38. Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами три прямые, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей, пересекаются в одной точке.

39. Доказать, что в трапеции середины диагоналей и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

40. По данным основаниям трапеции определить отрезок, соединяющий середины ее диагоналей.

41. По данным расстояниям концов отрезка от прямой определить расстояние его середины от той же прямой.

42. По данным расстояниям двух противоположных вершин параллелограмма от прямой, проходящей через третью вершину, определить расстояние четвертой вершины от той же прямой.

43. Доказать, что сумма расстояний всякой точки основания равнобедренного треугольника от его боковых сторон равна высоте, проведенной из конца основания. Какой вид принимает эта теорема для точек на продолжениях основания?

44. Доказать, что сумма расстояний всякой точки внутри равностороннего треугольника от его стороны равна его высоте. Как изменится эта теорема для точек вне треугольника?

Круг

45. Какому условию должен удовлетворять параллелограмм, чтобы около него можно было описать окружность?

46. Какова должна быть трапеция, чтобы около нее можно было описать окружность?

47. В какой параллелограмм можно вписать окружность?

48. Которая из хорд, проходящих через точку внутри круга, наименьшая?

49. Которая из секущих, проходящих через точку вне круга, имеет наибольшую внутреннюю часть?

50. Найти наименьшее и наибольшее расстояние точки от окружности.

51. Найти наименьшее и наибольшее расстояние двух окружностей.

52. Найти наименьшее и наибольшее расстояние прямой и окружности.

54. Сколько кругов одинакового радиуса можно расположить вокруг одного круга того же радиуса так, чтобы каждый из них касался этого круга и двух соседних?

55. Расположить на плоскости бесконечное множество равных кругов так, чтобы каждый касался шести соседних.

56. По углам между диагоналями и между противоположными сторонами вписанного четырехугольника определить углы этого четырехугольника.

57. По углам при основании вписанного треугольника определить угол между касательной к кругу в его вершине и основанием.

58. По углам вписанного треугольника определить углы треугольника, ограниченного касательными к кругу в его вершинах.

59. Доказать, что хорды двух пересекающихся кругов, соединяющие концы двух секущих, проходящих через точки пересечения, параллельны между собой. Как изменится эта теорема, когда концы секущих на одном из кругов совпадут?

60. Доказать, что хорды двух касательных кругов, соединяющие концы двух секущих, проходящих через точку касания, параллельны между собой. Как изменится эта теорема, когда секущие совпадут?

61. Доказать, что отрезки общей секущей двух внутренне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями и не налегающие друг на друга или, наоборот, налегающие друг на друга, видны из точки касания под равными углами. Как изменится эта теорема, когда секущая обратится в хорду наружного круга, касательную к внутреннему?

62. Доказать, что отрезки общей секущей двух внешне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями, один’из которых составляет часть другого, видны из точки касания под углами, в сумме составляющими два прямых. Как

изменится эта теорема, когда секущая обратится в общую касательную обоих кругов?

63. Доказать, что прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая боковые стороны, отсекает от него четырехугольник, который может быть вписан в круг.

64. Противоположные стороны четырехугольника продолжены до пересечения, и около четырех образовавшихся треугольников описаны круги. Доказать, что все они пересекаются в одной точке.

65. Стороны пятиугольника продолжены до образования пятиугольной звезды и около пяти треугольных лучей описаны круги. Доказать, что пять наружных точек пересечения соседних кругов лежат на одной окружности (теорема Микеля).

66. Равносторонний треугольник вписан в круг. Доказать, что расстояние всякой точки дуги, стягиваемой какой-нибудь из его сторон, от противолежащей вершины равно сумме расстояний той же точки от остальных вершин.

Замечательные точки и линии в треугольнике

67. Как известно, перпендикуляры в серединах сторон треугольника сходятся в точке, равноудаленной от вершин, — в центре описанного круга. К которой из сторон эта точка ближе всего ?

68. При каких условиях центр описанного круга лежит внутри, вне и на границе треугольника?

69. Найти части плоскости, в которых лежат вершины остроугольных и тупоугольных треугольников, опирающихся на заданное основание.

70. Доказать, что высота треугольника и радиус описанного круга, проведенный к вершине, образуют равные углы с боковыми сторонами.

71. Треугольник разбит на два других треугольника прямою, проведенной из вершины. Доказать, что центры кругов, описанных около всех трех треугольников, лежат на одной окружности с вершиной.

72. Известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника сходятся в точке, равноудаленной от сторон треугольника, — в центре вписанного круга. К которой из вершин эта точка ближе всего?

73. Доказать, что биссектриса внутреннего угла при всякой вершине треугольника сходится с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в точке, равноудаленной от стороны,

противолежащей этому внутреннему углу, и от продолжений двух других сторон (центр вневписанного круга).

74. Доказать, что прямые, проведенные через вершины треугольника параллельно противолежащимсторонам, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются перпендикулярами в серединах сторон. Вывести отсюда, что высоты треугольника пересекаются в однойточке(ортоцентр).

75. Доказать, что прямые, соединяющие основания высот треугольника, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются биссектрисами. Вывести отсюда теорему о пересечении высот.

76. К которой из вершин ортоцентр ближе всего?

77. К которой из сторон ортоцентр ближе всего?

78. Которая из высот наименьшая?

79. Доказать, что из четырех точек, одна из которых есть ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными, каждую можно рассматривать как ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными.

80. Доказать, что из шести биссектрис треугольника каждые три, сходящиеся в одной точке, суть высоты треугольника, ограниченного тремя остальными.

81. Доказать, что каждая медиана треугольника отсекает от каждой другой одну треть, считая от основания. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести).

82. К которой из вершин и к которой из сторон центр тяжести ближе всего?

83. Которая из медиан наименьшая?

84. Доказать, что прямые, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, рассекают диагональ, соединяющую две другие вершины, на три равные части.

85. Доказать, что расстояние центра описанного круга от стороны треугольника вдвое меньше расстояния ортоцентра от противолежащей вершины.

86. Доказать, что центр описанного круга, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

87. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на стороны вписанного треугольника, лежа г на одной прямой (прямая Симеона).

88. Доказать, что окружность с центром в середине отрезка, соединяющего центр описанного круга и ортоцентр, и с радиусом, равным половине радиуса описанного круга, проходит через основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами (круг девяти точек).

Задачи на построение

Пояснение. При решении задач на построение чаще всего применяется метод геометрических мест. Возьмем простейший случай, когда задача заключается в построении некоторой точки, удовлетворяющей данным условиям. Если этим условиям удовлетворяет только одна или несколько точек, то, отбросив одно из условий, мы обычно получаем уже целую линию—геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.

Если это геометрическое место есть окружность или прямая, которую мы можем построить на основании данных условий, то дальнейшее решение облегчается, так как мы можем искать требуемые точки не среди всех точек плоскости, а только среди точек найденного геометрического места.

Если нам удастся, отбросив другое условие, построить другое геометрическое место, то искомые точки найдутся как общие точки обоих геометрических мест. Может случиться, что нужно построить не точку, а какую-нибудь другую фигуру, но очень часто нетрудно свести задачу к построению точки. Например для построения прямой, одна точка которой известна, достаточно найти еще одну точку; для построения круга данного радиуса достаточно найти его центр и т. п. Но допустим, что геометрические места, получаемые поочередным отбрасыванием условий задачи, не удается построить, или они не могут быть построены, потому что это не окружности и не прямые.

Отсюда еще не следует, что мы должны отказаться от применения метода геометрических мест. Нужно поискать такие вспомогательные точки, с помощью которых можно наверное построить искомую фигуру и которые можно рассчитывать построить по методу геометрических мест. Все это, конечно, относится к тому случаю, когда условия задачи не подсказывают применения другого метода.

Полезно проверить, что и простейшие задачи, как деление отрезка пополам, опускание перпендикуляра, построение треугольника по его элементам и т. д., решаются по существу с помощью метода геометрических мест.

Иногда нужно найти не точку, а прямую, удовлетворяющую некоторым условиям. Отбросив одно из условий, мы часто получаем такую совокупность бесчисленного множества прямых, из которой уже нетрудно выбрать требуемую, например, совокупность прямых, проходящих через данную точку, или касательных к данному кругу и т. п. Этот метод есть простейшее обобщение метода геометрических мест.

Часто удается притти к решению задачи с помощью метода преобразования фигур, и даже во многих случаях успех этого метода можно предвидеть с первого взгляда. Этот метод состоит в замене данной, или искомой фигуры, или какой-нибудь части их, новой фигурой, связанной с первоначальной определенным построением и позволяющей решить задачу или приблизиться к ее решению. Мы рассмотрим пока только такие преобразования, при которых новая фигура равна старой и отличается от нее только положением. Такие преобразования называются перемещения-м и. Сюда относятся:

a) параллельный перенос, при котором все точки фигуры перемещаются на равные параллельные и одинаково направленные отрезки; все прямые фигуры остаются цри этом параллельными сами себе;

b) поворот, при котором некоторая точка остается неподвижной, а все полупрямые, исходящие из нее, поворачиваются вокруг нее на данный угол в данном направлении;

c) симметрия относительно точки, илн поворот на сто восемьдесят градусов;

d) симметрия относительно прямой, при которой эта прямая остается неподвижной, а вся фигура поворачивается вокруг нее, как вокруг оси, и -нова падает на плоскость обратной стороной.

Первые три перемещения можно осуществить непрерывным движением, не выходя из плоскости. При непрерывном параллельном перемещении точки фигуры описывают параллельные прямые, а при непрерывном вращении — концентрические круги. Мы получаем как бы геометрическое место целой фигуры.