• 7. Смежные углы . 16
• 8. Свойство смежных углов. 18
• 9. Противоположные углы 19
• 10. Окружность .19
• 11. Пересечение окружности с прямою и с окружностью 20
• 12. Измерение углов 21
• 13, Параллельные прямые. Углы при них 23
• 14 Углы с параллельными сторонами 25

III. Первые сведения о треугольниках. Параллелограммы. § 15 Сумма углов треугольника 26

• 16. Следствия предыдущего § 27
• 17. Как построить треугольник по трем сторонам 29
• 18. Как построить угол, равный данному. 31
• 19. Как разделить угол пополам 32
• 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними 33
• 21. Как разделить отрезок пополам 34
• 22. Как построить треугольник по стороне и  двум углам . 35
• 23 Параллелограммы 36

IV Измерение площадей. § 24 Квадратные меры. Палетка 38

$ 25.  Площадь прямоугольника 39

• 26. Площадь треугольника 41
• 27. Площадь параллелограмма 43
• 28. Площадь трапеции 43
• 29. Площадь многоугольника и неправильных фигур 44

V. Поверхность и объем некоторых тел.

• 30. Куб . 45
• 31. Прямоугольный параллелепипед. 46
• 32 Призмы . 48
• 33. Объем и вес. 50

Таблица удельных весов. 50

VI. Круглые фигуры. § 34. Длина окружности. , . 52

• 35 Площадь круга 54
• 36. Цилиндр . . 55
• 37. Литр 57

VII. Занятия на открытом воздухе. § 38. Мерный шнур и работа с ним  57

• 39^ Расстановка вех 59
• 40. Эккер и его употребление. 60
• 41. Съемка плана небольшого участка 62
• 42. Измерение площади участка . 64
• 43. Маршрутная съемка . 65
• 44. План речки. *. 67
• 45. Измерение ширины речки 67
• 46. Измерение расхода воды в речке. 68
• 47. Нивелирование 70

ВТОРОЙ КОНЦЕНТР.

VIII. Дополнительные сведения о треугольниках.

• 48. Равнобедренный треугольник 72
• 49. Угол, опирающийся на диаметр. 74
• 50. Прямоугольный треугольник 74
• 51. Равносторонний треугольник. 75
• 52. Катет против угла в 30°. 76
• 53. Неравные стороны и углы 75
• 54. Перпендикуляр, наклонная, проекция. 78
• 55. Следствие предыдущего §. 78
• 56. Средняя линия треугольника. 79
• 57. Деление отрезка на равные части 80
• 58. Средняя линия трапеции. 82

IX. Многоугольники.

• 59. Сумма углов многоугольника. 83
• 60. Правильные многоугольники. 84

X. Дополнительные сведения об окружностях. § 61. Разыскание центра. Хорды. 84

• 62. Касательные и их построения 85
• 63. Площадь частей круга 89

XI. Подобие фигур.

• 64. Подобие многоугольников 90
• 65. Подобие треугольников 91
• 66. Построение четвертой пропорциональной 95
• 67. Поперечный масштаб. 95
• 68. Пантограф . 97
• 69. Площади подобных треугольников 97
• 70. Площади всяких подобных фигур . 98

XII.  Теорема Пифагора и ее приложения.

• 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треуголь­ника 99
• 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике . 109
• 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд 101
• 74. Длина касательной 103

XII. Вписанные и описанные фигуры. § 75 Определения 104

• 76. Как описать окружность около данного треугольника . 104
• 77. Как вписать круг в данный треугольник. 105
• 78. Вписанный и описанный квадраты 105
• 79. Вписанный правильный шестиугольник 107
• 80. Вписанный равносторонний треугольник 107
• 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник 108
• 82. Круг около правильного многоугольника 108
• 83. Площадь правильного многоугольника 119

XIV.  Начальные сведения из тригонометрии.

• 84. Конусность. Тангенс и котангенс острого угла. 119
• 85. Таблица тангенсов и котангенсов 114
• 86. Синус и косинус острого угла. 116
• 87. Таблица синусов и косинусов 117

XV. Дополнительные сведения о телах.

• 88. Пирамида. Ее боковая поверхность и объем 129
• 89. Конус. Его боковая поверхность и объем. 122
• 90. Шар, его объем и поверхность. 123
• 91. Поверхность подобных тел 127
• 92. Объем подобных тел 127

Тригонометрические таблицы 129

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Изложение представляет некоторые особенности, облегчающие усвоение предмета:

1)  Материалу придано концентрическое расположение. Это значит, что в первой части книги излагается краткий, но по-сво­ему законченный круг наиболее существенных сведений (первый концентр), который во второй части дополняется и углубляется новыми, составляющими в совокупности второй концентр пред­мета. Для усвоения первого концентра почти достаточно знания арифметики; второй концентр требует знания алгебры.

2)  Небольшой объем этой книги объясняется тем, что число излагаемых в ней геометрических фактов доведено до минимума: включались только те положения, которые имеют более или ме­нее широкое применение на практике или же необходимы для обоснования других, практически применимых положений. Все бесполезные в указанном смысле положения, по традиции фигу­рирующие в курсах геометрии, в этой книге отсутствуют. Уча­щийся должен усвоить сравнительно небольшое число геометри­ческих фактов*, но зато должен уметь уверенно распоряжаться ими для решения практических задач и для самостоятельного вывода новых соотношений, если они ему понадобятся. Никакое обилие знаний не может заменить умения ими пользоваться.

3)  Благодаря указанным особенностям, а также некоторым дидактическим приемам (например, предварительным упражне­ниям), прохождение предмета для начинающего облегчается на­столько, что представляется возможным с первых же страниц

* В предлагаемом курсе всего 60 теорем.

логически обосновывать почти все его положения. Доказатель­ства нужны в курсе геометрии не столько для того, чтобы оправдать ее положения, сколько для того, чтобы придать им внутреннюю связанность и систематическую упорядоченность; без этого невозможно ни твердо удерживать их в памяти, ни без­ошибочно применять их к разрешению практических задач. Пред­лагаемые доказательства в общем не труднее для усвоения, чем те их суррогаты, к которым приходится прибегать, чтобы обой­тись без доказательств.

Советы занимающимся.

Работу по этой книге надо начинать, конечно, с вниматель­ного чтения ее текста. Читать необходимо с карандашом в руке, чтобы самому зачерчивать на бумаге все относящиеся к тексту чертежи. Точно так же нужно отмечать у себя на бумаге все то, что в книге выражено математическими обозначениями, и на бумаге же проделывать выкладки и преобразования как бы под диктовку книги. Читая так, вы прежде всего лучше уясните себе смысл читаемого, — а только хорошо поняв мысль, можно ее твердо запомнить. Кроме того, запоминание облегчается, когда в чтении участвуют не только глаза (зрительная память), но и мускулы (двигательная память). При чтении старайтесь до­словно запоминать лишь определения и основные положения. Объяснения же и доказательства затверживать наизусть нет на­добности: достаточно уловить ход мыслей, их порядок и взаим­ную связь.

Прочтя параграф раза два, постарайтесь, не глядя на текст, ответить на относящиеся к нему „повторительные вопросы", воспроизводя также на память и соответствующие чертежи. За­ботьтесь при этом, чтобы не только помнить содержание па­раграфа, но и излагать усвоенное ясно, четко, с правильным употреблением терминов. Если это достигнуто, можно читать дальше; если нет, — приходится восполнять пробелы по книге и снова пытаться повторить прочитанное. Только хорошо поняв и усвоив один отдел, можно переходить к дальнейшим. Не спе­шите чрезмерно с прохождением курса, торопясь забежать впе­ред, чтобы скорее покончить с предметом. Поспешность только замедлит его усвоение. И еще совет: подвигаясь вперед, почаще заглядывайте в пройденное. Каждый раз, когда почувствуете, что какое-нибудь место из ранее пройденного потускнело в вашей памяти, не ленитесь разыскать соответствующую страницу книги и освежить забытое. Работая над учебной книгой, надо перели­стывать ее назад больше, чем вперед, — в этом залог прочного усвоения. Будьте уверены, что, продвигаясь медленно, не спеша, вы достигнете твердого овладения предметом гораздо вернее и быстрее.

Еще одно важное замечание. В геометрии, как и во всех ма­тематических науках, можно немного знать, зато необходимо много уметь. Эта книга содержит менее сотни параграфов;

однако ошибочно думать, что, выучив их, вы овладеете гео­метрией: нет, вы только ознакомитесь с содержанием предмета; будете знать, но не будете уметь. Уменье придет только тогда, когда проделаете значительное число разнообразных упраж­нений. Усвоил геометрию тот, кто не только твердо знает пра­вила, но и умеет уверенно их применять. „При изучении наук, — писал Ньютон, — задачи (примеры) важнее правил Каждый па­раграф предлагаемой книги сопровождается поэтому указанием на его применения. Но эти указания объясняют лишь, как надо решать соответствующие задачи. Для овладения предметом их недостаточно: надо самостоятельно проделать множество упраж­нений. Подбор таких задач для самостоятельного решения вы найдете в составленном автором этой книги, применительно к ней, „Новом задачнике по геометрии", ГИЗ (включен в список учеб­ных книг, рекомендованных Государственным Ученым Советом для трудовой школы).

Правила действий с приближенными числами.

Большая часть числовых данных, приводимых в упражнениях этой книги, получена путем измерения. Но так как ни одно из­мерение не может быть выполнено абсолютно точно, то все по­добные числа — числа приближенные. Правила выполнения действий с приближенными числами таковы:

Округление. Округление числа состоит в том, что его укорачивают на одну или несколько значащих цифр. Если первая из отбрасываемых цифр не больше 4, то оставшихся цифр не изменяют, а вместо отброшенных пишут нули (в случае целого числа). Например 354,3 округляют в 354 или в 350.

Если первая из отбрасываемых цифр больше 4, то последнюю остающуюся цифру увеличивают на 1. Например, 267,86 округ­ляют в 267,9 в 268 или в 270.

Но в тех случаях, когда отбрасывается только цифра 5 (или 5 с последующими нулями), принято округлять число так, чтобы последняя остающаяся цифра оказывалась четной. На­пример, 4,25 округляют в 4,2, число 3750—в 3800.

Результат сложения или вычитания не должен окан­чиваться значащими цифрами в тех разрядах, которых нет хотя бы в одном из данных чисел. Если такие цифры получаются, их следует заменять нулями. (Нули, стоящие между значащими цифрами, также считаются значащими)

Примеры:

283 [а не 283,15]  ^{175,8 fBMecT0 175}

Результат умножения и деления не должен состоять из большего числа значащих цифр, чем их имеется в том из дан­ных чисел, которое содержит наименьшее число значащих цифр.

Примеры:

_v 37  57.8:3,2 = 18 [вместо 18,06]

^х 245

9100 [вместо 9065]  25: 3,14 = 8,0 [вместо 7,961]

Число значащих цифр степени или корня не должно пре­вышать числа их в основании или в подкоренном количестве.

Примеры:

157² — 24 600 [вместо 24 649]

5,81³ = 196 [вместо 196,122 941]

]/з29—18,1 [вместо 18,1 <384]

"^0,638 = 0,861 [вместо 0,86088]

Указанные правила выполнения действий относятся только к окончательным результатам выкладок. Если же выполняемое действие не окончательное, т.-е. если с полученным результатом предстоит выполнять еще и другие действия, то в результате оставляют одною цифрою больше, чем указано в предыдущих правилах. Например вычисление:

36 v 1.4 ’ 3,4 выполняют так:

36 X 1,4 = 50,4 (а не 50)

50,4 : 3,4 = 15.

Этими правилами следует руководствоваться не только при собственных выкладках, но и при пользовании готовыми резуль­татами из таблиц.

ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР.

I. Прямая линия и ее измерение.

• 1. Прямая линия.

Среди линий мы нередко встречаем такие, которые имеют форму туго натянутой нити. Линии эти называются прямыми линиями, а каждая часть их — отрезком прямой линии. Для удобства часто говорят коротко: „прямая", „отрезок", без слова „линия".

Линии иного вида носят другие названия. Те непрямые ли­нии, которые составлены из отрезков прямой (черт. 1), называются ломаными. Все прочие линии — не прямые и не лома­ные— называются кривыми (черт. 2).

Прямые линии чертят на бумаге, пользуясь линейкой.

Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий. Но через две точки сразу может проходить не более одной прямой: нельзя через две точки провести больше одной прямой так, чтобы проведенные линии не сливались в одну. Этим свойством прямых линий пользуются для перекалывания узоров, составленных из прямых линий. Предположим, что вы желаете изобразить в точности узор черт. 3 а, т. е. желаете, как говорят, „снять с него копию". Вы можете поступить так: подложить под узор чистую бумагу и проколоть иглой (или ножкой циркуля) конечные точки всех его линий. У вас получится на чистой бу­маге то, что вы видите на черт. ЗЬ. Если затем, глядя на узор, вы соедините точки черт. ЗЬ по линейке прямыми линиями — у вас получится точная копия узора; так как между двумя точками можно провести только одну прямую линию, то ясно, что от­резки, соединяющие точки черт. ЗЬ, должны быть те самые, что и на черт.