ЕДИНСТВО ПРИРОДЫ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ В «ПОРАЗИТЕЛЬНОЙ АНАЛОГИЧНОСТИ» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗНЫМ ОБЛАСТЯМ ЯВЛЕНИЙ.

В. И. ЛЕНИН

ВВЕДЕНИЕ

...Аналогия иногда бывает так поразительна, что трудно подвергать сомнению вывод, которому она благоприятствует. Если же отказаться от ее пособия, то часто надобно будет отказаться от всякого положительного вывода.

Н. Г. Чернышевский

До открытия алмазных месторождений в Якутии было известно, что геологическая структура Южно-Африканского плоскогорья имеет много общего с геологической структурой Восточно-Сибирской платформы. Случайное обнаружение в устье одной из речек Якутии голубоватого минерала, который находили ранее в алмазных жилах Южной Африки, еще больше укрепило предположение о возможности алмазных россыпей в Якутии. Последовавшие затем настойчивые поиски действительно подтвердили это предположение, и теперь в Якутии налажена индустриальная добыча этого драгоценного камня.

Таких открытий, совершаемых по аналогии, много как в обыденной жизни человека, так и в деятельности ученого. Умозаключения по аналогии присутствуют в логике рассуждений врача, ставящего диагноз по сходству признаков болезни. Без суждения по аналогии не могут обойтись юристы, решая правовые вопросы.

В биологии Чарльз Дарвин ввел в употребление понятия «естественный отбор», исходя из аналогичного явления — искусственного отбора, веками практикуемого человеком для улучшения породы домашних животных.

Д. И. Менделеев, как известно, совершил великий научный подвиг, открыв периодическую систему элементов. Им же были предсказаны свойства новых элементов — здесь также немалую роль сыграла аналогия. Так, в одной из

групп таблицы, названной его именем, оказались элементы: S32 (сера), AS75 (мышьяк), Se_r (селен — неизвестный еще элемент), Вг₈₅ (бром), Те^т (теллур). Требовалось определить атомный вес еще ненайденного элемента — селена, занимавшего в данной группе среднее положение.

Менделеев применил простейшую формулу среднего арифметического:

х = —(32 + 75+85+127) «78,5. 4

Действительный атомный вес селена, определенный позднее, оказался весьма близким к предсказанному. На справедливость данного умозаключения указывало то, что у других известных элементов аналогичных групп было подмечено то же соотношение количественных характеристик.

В творчестве ученых, работающих в любой отрасли науки, сопоставление предметов и явлений и умозаключения по аналогии является основой при разработке новых гипотез и выявлении новых закономерностей. Например, закономерность распространения звука в воздухе была установлена на основе сравнения этого явления с распространением волн на поверхности воды. В свою очередь, оказалось, что звуковые и световые волны также имеют много одинаковых свойств (отражение, преломление, интерференция). Поскольку звук вызывается механическими колебаниями тела, то по аналогии была высказана гипотеза, что и свет тоже имеет волновую природу (что и было подтверждено впоследствии).

Определенное соответствие обнаружилось между двузначной формальной логикой (суждения которой могут быть либо истинными, либо ложными) и двоичной системой счисления в арифметике, оперирующей лишь двумя цифрами (1 и 0). Благодаря этому оказалось возможным с невероятной скоростью решать на электронных вычислительных машинах разнообразные логические задачи, ранее считавшиеся исключительной прерогативой «таинственной* духовной деятельности человека.

В других случаях, когда требуется быстро получить приближенные результаты, более удобными оказываются так называемые аналоговые вычислительные машины. Аналогии, используемые в этих машинах, позволяют решать, например, механические задачи с помощью соответствующих электрических схем, и наоборот.

При конструировании электростанций, самолетов, мостов и прочих сложных сооружений выбор оптимального решения производят сравнением нескольких основных вариантов не только на реальных моделях (уменьшенных копиях объекта), но и нередко на так называемых функциональных моделях. В смысле своего физического воплощения функциональные модели не имеют ничего общего с оригиналом. Так, скажем, параметры проектируемой плотины могут быть представлены в виде электрической, схемы. Как результат широкого применения этих методов на практике, в современной науке возникла научная дисциплина — теория моделей, конечная цель которой состоит в обслуживании подобных исследований.

В последние десятилетия, как известно, бурно развивается кибернетика. Ее возникновение связано с установлением определенного сходства между машинами, с одной стороны, и живыми организмами — с другой. Выяснилось, что структурные и функциональные аналогии разного рода существуют между организмами, стоящими на низших и высших ступенях эволюционной лестницы, между частями одного организма и всем организмом, между клеткой и группой клеток и т. д.

На стыке биологии и кибернетики возникла другая новая наука — бионика. Бионические исследования помогают создавать новые приборы для переработки информации на основе изучения информационных структур живой природы. Так, на основе изучения особенностей зрительной системы лягушки удалось сконструировать устройство, автоматически регулирующее полеты над аэродромом (количество самолетов в воздухе, очередность захода на посадку и т. п.); исследование соответствующего органа медуз позволило создать прибор, предупреждающий о приближении шторма, не случайно названный «ухом медузы», и т. д.

Понятия «информация», «память», «обратная связь», «управление», «самоорганизация» стали фундаментальными понятиями кибернетики. Они характеризуют сходные в чем-то (пусть в остальном различающиеся) явления, наблюдаемые в природе. Это понятия столь разных на первый взгляд процессов, как взаимодействие механизмов внутри общей системы машин, взаимодействие людей в коллективе, коллективов в обществе и др.

Логические основы всех подобных исследований связаны самым тесным образом с умозаключениями по аналогии. Можно сказать без преувеличения, что аналогия «обслуживает» буквально все науки.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ

Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны... без аналогии.

Д. ПОЙ А

Отнюдь не случайно, что общей проблеме аналогии в математике посвящены крупные исследования и математиков и логиков (см., например, книги Д. Пойа [5, 6] и А. И. Уемова [8]).

Суждения по аналогии имеют особо важное значение в математическом мышлении. Владение этими средствами умозаключения в равной мере помогает как творчеству ученого-математика, так и успешному обучению этой науке или самостоятельному изучению ее.

В процессе изучения окружающего мира и овладения силами природы человек многократно замечал характерную связь: если два предмета имеют некоторые одинаковые признаки, то очень часто (но не всегда!) оказывалось, что они имели и некоторые другие общие признаки. В результате подобных наблюдений, где данная элементарная связь между предметами проявлялась много и много раз, выработался следующий прием формирования новой мысли. На основе того, что два предмета имеют некоторые общие признаки, и установлено, что первый из них имеет еще некоторый признак X, наличие которого у второго предмета пока неизвестно, делается предположение, что второму предмету, по-видимому, тоже присущ признак X.

Таким образом, умозаключения по аналогии являются умозаключениями правдоподобными; для того чтобы выяснить достоверность или ложность «выводов по аналогии», необходимо дополнительно исследовать этот вывод. Этим и отличается рассматриваемый вид умозаключений от логических умозаключений, которые непосредственно приводят к исчерпывающему результату, — аналогия лишь открывает путь исследования и не имеет доказательной силы.

Рассмотрим пример. Известно, что в любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест (множеств) точек, равноудаленных от сторон треугольника. Сравнивая с треугольником (простейшим многоугольником) тетраэдр, являющийся простейшим многогранником, естественно предпо*

дожить, что в него, видимо, тоже можно вписать сферу, притом также единственную. Исследовав это предположение, можно убедиться в его правильности: центр вписанной сферы лежит на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра. Вывод, сделанный по аналогии, будучи рассмотрен в единстве с процессом доказательства, диалектичен в своей сущности: здесь в теснейшей взаимосвязи встречаются элементы индукции и дедукции.

В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второму (от треугольника к тетраэдру, от окружности к сфере) состоит в установлении связей между одними частными свойствами (простейший многоугольник, наличие трех внутренних углов, существование равноделящих — биссектрис и др.) и другими частными свойствами (простейший многогранник, наличие шести внутренних двугранных углов, существование их равноделящих — биссектральных плоскостей и др.).

В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством — то, что в любой тетраэдр можно вписать сферу и притом единственную, надо доказать по правилам обычного дедуктивного доказательства. Достоверный вывод, сделанный на основе аналогии, начинается, таким образом, индукцией и завершается дедукцией.

В случае умозаключения по аналогии совершается сложный мыслительный процесс, в котором применяются в единстве и взаимопроникновении приемы анализа и синтеза. Так, в приведенном выше примере умозаключение по аналогии стало возможным лишь благодаря тому, что в результате сравнения треугольника и тетраэдра и анализа их свойств было установлено наличие у них нескольких сходных свойств. На основе их было сделано предположение о наличии некоторого нового свойства (сферы, вписанной в тетраэдр). Доказательство сформулированного предположения сводится к синтезу понятий, относящихся к тетраэдру, причем синтез ведется в том же порядке, что и синтез соответствующих понятий, относящихся к треугольнику (центр вписанной сферы есть точка пересечения биссектральных плоскостей, подобно тому как центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис).

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться или подтвердиться лишь частично.

Рассмотрим такой пример. Площадь любого треугольника, как известно, выражается формулой Герона:

S = р • (р—а) • (р—Ь )• (р—с).

Рассуждая о формуле для вычисления площади четырех

угольников, мы можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника? Исследование этого вопроса показывает, что для четырехугольников, вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления площади:

S = / (р—а) • (р—Ь) • (р—с) • (p—d).

Оказалось, что полной аналогии здесь нет, но есть некоторое сходство формул. Попытаемся теперь выяснить причину этого сходства, учитывая, что существует некоторая связь между треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность) и четырехугольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность).

Итак, как мы уже установили, в смысле общности формулы Герона, существенным признаком, объединяющим треугольник и четырехугольник, является возможность вписать их в окружность. Сравнение двух понятий — «треугольник» и «четырехугольник» завершилось в этом случае неполным обобщением: «обобщенная формула Герона» верна лишь для части объектов, входящих во второе понятие. В данном примере, хотя аналогия в целом и не подтвердилась, она привела к возникновению новых идей (например, треугольник можно рассматривать как вырожденный вписанный четырехугольник).

Разовьем эту мысль. Пусть вершина D вписанного четырехугольника ABCD приближается как угодно близко к вершине А (рис. 1). Тогда сторона DA = d в пределе становится равной нулю и обобщенная формула

превращается в обычную формулу Герона:

S = ■/ (р—а) • (р—Ь) • (р—с) • (р—0) = =/ (р—а) • (Р—Ь) • (р—с) • р.

Итак, применение аналогии дает нам в некоторых случаях благоприятную возможность более точно исследовать открытые свойства и доказывать или опровергать их — в обоих случаях мы можем научиться чему-нибудь полезному.

Использование аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и любой науки вообще. Предметы и явления действительности, отмечал И. М. Сеченов, запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами.

Аналогия помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, которые лучше усваиваются тогда, когда они вводятся

не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных или отличительных признаков. Так, рассматривая окружности, вписанные в четырехугольники, может поставить вопрос: всегда ли возможно в четырехугольник вписать окружность? По аналогии с треугольником можно сделать поспешное умозаключение: «в четырехугольник всегда можно вписать окружность». Показав на примере, что в некоторые четырехугольники невозможно вписать окружность, следует выяснить, в какие четырехугольники можно вписать окружность, а в какие нет, то есть перейти к доказательству теоремы о признаках вписанного четырехугольника.

Здесь мы сравнивали треугольники и четырехугольники с точки зрения их «вписуемости» в окружность и пришли на основании аналогии к заключению о возможности выразить площадь их единой формулой. Если перейти от геометрии плоскости к геометрии пространства, то сопоставления можно вести на ином уровне. Так можно получить следующие пары суждений, которые удобно записывать в виде совмещенных фраз:

Около любого треугольника (четырехугольника, тетраэдра) можно описать окружность (сферу), притом только одну, которая пройдет через все вершины треугольника (четырехугольника).

В любой треугольник (тетраэдр) можно вписать окружность (сферу), притом только одну.

Как в первом, так и во втором случае наблюдаются аналогичные свойства: не всякий четырехугольник можно вписать в окружность и не во всякий четырехугольник (тетраэдр) можно вписать сферу, касающуюся всех его ребер.

Приведем теперь несколько теорем, полученных на основе обобщения понятия касания (несложные доказательства их опускаем):

Окружность (сфера) касается всех сторон четырехугольника (ребер тетраэдра) тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон (ребер) равны (рис. 2, а и б).

Ав+СО^вС+АО AB+CD=BC+AO=AC+tM)