ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Такие задачи рассыпаны по обширной популярной или просто развлекательной математической литературе, и часто бывает очень трудно установить, в каком именно сборнике появилась впервые та или иная задача.

Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто оказывается трудно указать, где кончается одна задача и где начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы, — все это, разумеется, тесно связанное с историей, проблематикой и методами «большой математики».

Такой теорией является и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей почти семисот пятидесятилетнюю давность*), числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, приводятся во многих популярных изданиях по математике,

*) А сейчас, к моменту очередного издания данной брошюры,— уже более чем семисот пятидесятилетнюю давность.

рассматриваются на занятиях школьных математических кружков, предлагаются на математических олимпиадах.

Предлагаемая книжка содержит круг вопросов, послуживших темой нескольких занятий математического кружка школьников при Ленинградском государственном ордена Ленина университете им. А. А. Жданова в 1949/50 учебном году. В соответствии с желаниями участников кружка на этих занятиях рассматривалась преимущественно теоретико-числовая сторона вопроса, которая развита более подробно и в настоящей брошюре.

Книжка рассчитана в основном на школьников 9—10 классов. Понятие предела встречается здесь только в пп. 8 и 9 § 3. Читатель, не знакомый с этим понятием, может без ущерба для понимания дальнейшего эти пункты при чтении пропустить. Сказанное относится также к биномиальным коэффициентам (пп. 11—15 § 1) и к тригонометрии (пп. 3 и 4 § 4). Излагаемые в брошюре элементы теории делимости и теории непрерывных дробей никаких предварительных знаний, выходящих за рамки школьного курса, у читателя не предполагают.

Читателям, которые заинтересуются самим принципом построения рекуррентных рядов, можно рекомендовать небольшую, но содержательную книжку А. И. Маркушевича «Возвратные последовательности», «Наука», М., 1983. Тех же, кого заинтересуют факты, относящиеся к теории чисел, можно отослать к серьезным курсам по этой дисциплине.

Первый вариант текста этой книжки писался почти тридцать лет тому назад. С тех пор изменилось очень многое.

Прежде всего, и это главное, изменился математический уровень основного круга читателей популярных математических книг: интересующихся математикой школьников старших классов и их преподавателей. Созданная сеть специализированных математических и физико-математических школ и классов предопределила существенное расширение математического кругозора соответствующего контингента учащихся, которых теперь можно заинтересовать скорее не забавными элементарными фактами, а уже достаточно глубокими и сложными результатами.

Кроме того, и это является фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр тяжести математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел, и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр* По существу возникла вычислительная математика* Все это не могло не сказаться и на содержании научно-популярной литературы по математике.

Далее, числа Фибоначчи проявили себя еще в нескольких математических вопросах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Дж. Кифером.

Наконец, было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщилось к благородному хобби «фибоначчизма». Наиболее убедительным свидетельством этому может служить журнал The Fibonacci Quarterly, издаваемый в США с 1963 г.

Все сказанное определило изменения содержания книги от издания к изданию и тот вид, в котором она предлагается читателю сейчас. Во втором издании был добавлен параграф о фибоначчиевых планах поиска экстремума унимодальной функции вместе с возникающими при этом общематематическими и вычислительными вопросами. В третьем издании была расширена теоретико-числовая тематика, и этот материал из § 2 оказался полезной информацией при решении десятой проблемы Гильберта. Наконец, в настоящем издании «подтягиваются» до общего уровня и объема § 3 и 4. В § 3 приводятся ставшие классическими теоремы о точности приближений подходящими дробями и описывается роль чисел Фибоначчи в этих фактах, а в § 4 включен анализ игры «цзяньшицзы», теоретико-игровой анализ которой опирается на детальное рассмотрение фибоначчиевых представлений натуральных чисел.

Книга по-прежнему не требует от читателя знаний, выходящих за пределы школьного курса. Более трудные ее места выделены мелким шрифтом и могут быть при чтении пропущены без ущерба для понимания остального материала.

Вырица Н. И. Воробьев

1978 г.

Настоящее издание отличается от предыдущего (1978 г.) лишь незначительными исправлениями.

ВВЕДЕНИЕ

1. Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.

Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виеты, жившего, впрочем, уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

Тем больший интерес представляет для нас сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке»), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, т. е. сын Боначчи). Эта книга, написанная в 1202 г., дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

«Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.

Сообщаемый в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

Сам по себе такой вывод не содержит ничего удивительного. В самом деле, значения х мы должны находить с той предельной точностью, с какой мы можем в наших условиях найти минимизирующую точку х (мы знаем, что эта точность равна _ц ) Значения же функции f должны вычисляться с точностью, обеспечивающей сравнение пар значений этой функции и выделение из каждой такой пары наименьшего и наибольшего значения. Поэтому если в действительности какие-нибудь f(a) и f(b) сильно отличаются друг от друга, и это отличие заметно уже при грубом определении f(a) и [(b), то мы можем вычислять эти значения с малой точностью. Наоборот, если эти f(a) и f(b) в действительности близки, то для выяснения того, какое из них больше другого, приходится вести вычисление с большей точностью. Так как мы наперед (до фактического выполнения вычислений) не знаем, насколько отличаются друг ос друга сравниваемые значения функции, мы можем «промахнуться» и вычислить их с недостаточной точностью, которая не даст возможности решить, какое из этих значений больше. В этом случае придется произвести повторные, более точные вычисления, затратив на это дополнительные усилия.

Все сказанное вызывает необходимость рассмотрения дальнейших проблем, касающихся «управления точностью» вычислительного процесса. Однако эти вопросы довольно сложны и с темой данной книжки непосредственно уже не связаны.