Упражнения. 31

ГЛАВА II. Рациональные числа 33

• 1. Определение рациональных чисел 33

Упражнения. 35

• 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби . . 36

Упражнение. 39

• 3. Различные способы формулировки и доказательства предложений 39

Упражнения. 45

• 4. Периодические десятичные дроби 45

Упражнение. 50

• 5. Всякую конечную десятичную дробь можно

представить в виде периодической десятичной дроби 50

Упражнения. 52

• 6. Краткие выводы. 53

ГЛАВА III. Действительные числа 54

• I. Геометрическая точка зрения 54
• 2. Десятичные представления. 56
• 3. Иррациональность числа У2 59
• 4. Иррациональность числа V3 60
• 5. Иррациональность чисел Уб и У*24*У~3 . 61

Упражнения. 63

• 6. Слова, которыми мы пользуемся 63
• 7. Приложение к геометрии 65
• 8. Краткие выводы 70

ГЛАВА IV. Иррациональные числа. 72

• 1. Свойства замкнутости 72

Упражнения. 75

• 2. Алгебраические уравнения. 76

Упражнения. 79

• 3. Рациональные корни алгебраических уравнений 79

Упражнения. 85

• 4. Дальнейшие примеры 86

Упражнения. 88

• 5. Краткие выводы 88

ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций 90

• 1. Иррациональные значения тригонометрических функций 90

Упражнения. 93

• 2. Одно общее правило. 93

Упражнения. 95

• 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов 95

Упражнения. 97

• 4. Трансцендентные числа 97

Упражнения. 101

• 5. Три знаменитые задачи на построение . 101

Упражнения. 108

• 6. Дальнейший анализ числа У 2 108

Упражнения. 109

• 7. Краткие выводы. 109

ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рацио* нальными 111

• 1. Неравенства. 112

Упражнения. 114

• 2. Приближение целыми числами 115

Упражнения. 117

• 3. Приближение рациональными числами . . .117

Упражнения. 120

• 4. Лучшие приближения 121

Упражнения. 127

• 5. Приближения с точностью до 1/л². 128

Упражнения. 132

• 6. Ограничения точности приближений 132

Упражнения. 135

• 7. Краткие выводы. 136

ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел . . . 137

• 1. Предварительные сведения из алгебры . . . 139

Упражнения. 142

• 2. Один способ приближения числа а 142
• 3. План доказательства 143

Упражнения. 145

• 4. Свойства многочленов. 145
• 5. Трансцендентность числа а 147
• 6. Краткие выводы 149

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Доказательство бесконечности числа простых чисел 151

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы ариф* метики 153

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел. 159

Упражнения. 167

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. И. М. Яглом. Доказательство иррациональности значений тригонометрических функций 168

Ответы и указания к упражнениям 188

Литература 194

Доказательство основной теоремы арифметики

В настоящем приложении доказывается, что каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено в произведение простых множителей лишь единственным способом, если отвлечься от порядка следования множителей. При этом понимается, что натуральное число, являющееся простым, как, например, 23, само является своим «разложением на простые множители». Рассматриваемое утверждение легко проверить для маленьких натуральных чисел. Например, 10 можно разложить в произведение 2*5, и по опыту мы знаем, что других разложений у 10 нет. То же самое верно и для всех чисел, меньших 10:

2 = 2, 3 = 3, 4 = 2-2, 5 = 5, 6 = 2-3,

7 = 7, 8 = 2-2-2, 9 = 3-3, 10 = 2-5.

Этот список можно было бы продолжить, однако такое перечисление, как бы длинным оно ни было, не может рассматриваться как доказательство. В самом деле, натуральных чисел бесконечно много, и поэтому нельзя проверить разложение их всех.

Мы должны обратиться, таким образом, к математическому рассуждению. Натуральные числа от 2 до 10 были выше перечислены, и мы видели, что каждое из них разлагается на простые множители единственным образом. Далее, либо этот список можно продолжить неограниченно, и тогда все натуральные числа разлагаются на простые множители единственным образом, либо на некотором этапе продолжения свойство единственности разложения нарушается. Имеются

лишь эти две возможности. Нашей целью является доказательство того, что в действительности имеет место первая возможность. Мы воспользуемся для этого косвенным рассуждением: допустим, что имеет место вторая возможность, т. е. что на некотором этапе перечисления натуральных чисел свойство единственности разложения на простые множители нарушается, и покажем, что такое допущение приводит к противоречию.

Прежде чем проводить это довольно длинное рассуждение во всех деталях, дадим для ориентировки читателя его краткий набросок.

Обозначим через т первое из чисел, которое можно разложить на простые множители более чем одним способом, и рассмотрим два различных разложения т на простые множители. В части I доказательства будет показано, что никакой из простых множителей одного разложения tn не встречается в другом разложении. Показав, что если т имеет два разных разложения, то все простые множители одного разложения отличны от всех простых множителей другого разложения, мы затем построим в части II доказательства число п, меньшее чем т, также имеющее два разных разложения на простые множители. Тем самым мы получим противоречие с допущением, что т есть наименьшее целое число, обладающее двумя различными разложениями на простые множители, и это завершит доказательство.

Итак, пусть tn — первое натуральное число, которое можно разложить на простые множители более, чем одним способом. Иными словами, мы предполагаем, что каждое, меньшее чем tn, натуральное число разлагается единственным образом, а разложение tn не единственно. Согласно предположению, имеется по крайней мере два различных разложения числа т. Пусть это будут разложения

т = р₁р₂Рз Рг и m = q_xq₂q₃ • • • q_s.

При этом обозначении подразумевается, что для т имеется разложение на простые множители р₂, Рз и т. д. вплоть до р_г, а также имеется другое разло

жение на простые множители q_u q₂, q$ и т. д. вплоть до q_s. Во втором разложении последний член обозначен через q_s, а не через q_r, потому что мы не можем, исходя из известных нам фактов, предполагать равенство числа простых множителей в обоих разложениях.

Введенное обозначение требует еще дальнейших пояснений. Вовсе не имеется в виду, что, как это было в приложении A, pi есть лишь иное обозначение для простого числа 2, р₂ — иное обозначение для простого числа 3 и т. д. Нам вообще неизвестно принадлежит или нет простое число 2 совокупности р₂, • • •» Рг- Таким образом, pi может быть равным простому числу 2, или простому числу 23, или простому числу 47, или ни одному из них. Это есть попросту некоторое простое число. Точно так же р₂ есть некоторое простое число. Оно может как совпадать, так и не совпадать с р\. Единственное, что мы предполагаем — это возможность разложить натуральное число т на простые множители двумя различными способами.

Доказательство. Часть I. Покажем, что все простые числа pi, р₂, ., р_г из первой совокупности отличны от всех простых чисел qi, q₂, q_s из второй, совокупности. Таким образом, если, например, простое число 7 принадлежит первой совокупности, то оно не может принадлежать второй совокупности. Поскольку это вовсе не очевидно, мы должны дать соответствующее доказательство. Предположим, что имеется простое число, принадлежащее обеим совокупностям. Изменив, если нужно, обозначения, мы можем считать, что совпадают первые числа обеих совокупностей, т. е. что p\ = qi. (Это можно сделать, поскольку в каждом разложении простые числа могут находиться в любом порядке.) Заменяя во втором разложении qi на pi, мы получаем, что имеются следующие два разложения:

m = PiP₂P3 • • • р_г и m = Piq₂q₃ . q_s.

Деля эти равенства на pi, находим т т

— — р.₂р₃ . р_г и — — q₂q₃ • q_s.

Мы пришли к двум различным разложениям натурального числа tnfpi, поскольку мы исходили из двух различных разложений для т. Но это невозможно, так как /и, согласно предположению, есть наименьшее число, обладающее более, чем одним разложением, a m/pi меньше т.

Часть II. Итак, нами установлено, что все простые числа pi, рг, р_г из первого разложения т отличны от всех простых чисел q\, q₂, ., q_s из второго разложения т. В частности, pi не равно qi, что можно записать как P\=kqi. Предположим, что р\ есть наименьшее из чисел pi, q_lt т. е. что pi<qi. Мы вправе это сделать в силу полной симметрии обозначений в обеих совокупностях простых чисел. Таким образом, если мы проведем доказательство в случае pi<qi, то по симметрии аналогичное доказательство применимо к случаю piqi с р, замененными на q, и наоборот.

Предполагая, что pi<qt, мы укажем число, которое меньше, чем т, но имеет два различных разложения. Тем самым доказательство будет завершено, поскольку существование такого числа противоречит сделанному нами допущению, что tn есть наименьшее натуральное число, обладающее более, чем одним разложением. Таким числом является

» = (?!— Pt) •••?.•

Обратим внимание на то, как строится число л: оно равно произведению q\—pt и простых чисел q₂, 7з,. ., q_s. Его можно записать в виде разности:

^п — QiQiQz • • • Qs — PxQiQ^ • • • Qs или

п^т~ ptf₂q₃ . q_s.

Из этой записи видно, что п меньше т, поскольку число p\q₂qz •. q_s положительно.

Установим, наконец, что натуральное число п имеет два различных разложения. Для этого рассмотрим п в той его форме, в которой оно было введено, а именно:

^п = (?i - Pt) ЯчЯз. Я„-

Все числа q_2t 7з, • • •, q$ являются простыми, но число Qi—Pi не обязательно простое. Если qi—pi разложить на простые множители, то мы получим такое разложение п, которое н е содержит простого числа pi в качестве множителя. Для доказательства этого заметим сначала, что, как показано в части I доказательства, число pi не встречается среди чисел q₂, qs, ., q_s- Далее, как бы число qi—pi ни разлагалось на простые множители, простое число Pi не может оказаться среди них. В самом деле, если бы pi было множителем в разложении qi—pi на простые множители, то pi было бы делителем qi—pi. Иными словами, выполнялось бы равенство

Яг— Pi = Pfi

где b есть частное от деления q_{— pi на pi. Но из этого равенства следуют равенства

?i = /i + Pi* и ?, = л(1 + *)-

последнее из которых можно понимать как утверждение, что pi есть делитель qi. Такое утверждение, конечно, ложно, поскольку никакое простое число не является делителем другого простого числа.

Покажем далее, что п имеет также другое разложение на простые множители, в которое входит Pi. Для этого вернемся к выведенному ранее равенству

n = m — piq₂q₃ . q_s.

Заменяя в нем т по формуле

/п == _Р1р₂р₃ . р_п

получаем

л = Р1Р₂р₃ • • • Рг~ P1Q2Q3 • • =

— Pi (Р2Р3 • • • Рг — Q2Q3 • • • q_s\

Стоящее в скобках число не обязательно является простым; однако если его разложить на простые множители, то мы получим разложение на простые множители для и, включающее pi. Таким образом, нами указано два разложения п (или, скорее, два способа

получения разложений п на простые множители), одно из которых содержит простое число р\ в качестве множителя, а другое не содержит. Иными словами, число л, будучи меньше /и, имеет два различных разложения на простые множители. Тем самым теорема доказана ^!).

У читателя может возникнуть сомнение в необходимости доказательства, причем доказательства не очень простого, факта, который сам по себе кажется бесспорным: а как может быть разложение числа на простые множители не единственным? Однако наше убеждение в справедливости самого факта на самом деле диктуется нам лишь привычкой не задумываться над возможностью иной ситуации. Для того чтобы разрушить это убеждение, приведем следующий пример. Рассмотрим совокупность четных чисел; под «простыми» четными числами будем понимать такие числа, которые нельзя разложить в произведение двух четных чисел. Разумеется, каждое четное число можно разложить в произведение «простых», но такое разложение может быть не единственным-, так

180 = 6-30= 10-18

и числа 6, 10, 18 и 30— все «простые»»

Мы рекомендуем читателю самому разобрать, почему проведенное выше доказательство единственности разложения каждого целого числа на простые множители не может быть использовано для доказательства того, что каждое четное число единственным образом разлагается на «простые» четные множители (последнее утверждение, как мы видели, просто не верно!),— Прим, ред.

Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел

В гл. VII было указано одно трансцендентное число и, таким образом, доказано существование таких чисел. В этом приложении будет дано независимое доказательство существования трансцендентных чисел посредством совершенно иного метода, а также будет показано, что трансцендентных чисел имеется бесконечно много. В действительности мы установим даже, что в известном смысле трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.

Вначале отметим, что мы рассматриваем только действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа. Корнями уравнения х²+1=0, например, являются алгебраические, но не действительные алгебраические числа. Устанавливаемые нами результаты и их доказательства верны также и в комплексном случае, однако, ограничиваясь лишь действительными числами, мы достигаем некоторого упрощения.

Под множеством S понимают любую совокупность определенных различимых объектов. Эти объекты называют членами множества S, или элементами S. Множество S может быть конечным, как, например, множество простых чисел, меньших, чем 20:

5= (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), и может быть бесконечным, как, например, множество всех натуральных чисел:

5=(1, 2, 3, 4, 5, 6, .).

Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно представить в виде последовательности

^1» ^2’ ^а3 ^4* * ’ ’

так, что каждый элемент множества является членом этой последовательности. Например, множество четных натуральных чисел можно записать в виде последовательности

2, 4, 6, 8, 10, 12, .,

n-й член которой равен 2м, и поэтому это множество счетно.

Множество всех целых чисел счетно, поскольку его можно представить в виде последовательности

0, 1, —1, 2, —2, 3, -3, 4, -4, . .

Конечно, это множество может быть представлено в виде последовательности также другими способами, и любой из способов достаточен для доказательства счетности рассматриваемого множества.

Чтобы убедиться в счетности некоторого множества, вовсе не необходимо знать какую-либо определенную формулу для п-го члена последовательности. Например, множество простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .

счетно, хотя мы и не знаем точного значения стомиллионного простого числа. Достаточно лишь знать, что такое простое число существует, и тем самым иметь возможность понять, что все множество имеет вид последовательности.

Установим далее, что множество всех рациональных чисел счетно. Заметим, что любое рациональное число является корнем уравнения первой степени ях+Ь = 0 с целыми коэффициентами а и Ь. Мы будем, кроме того, считать число а положительным, не ограничивая, конечно, этим общности наших рассуждений. Например, рациональное число 3/5 есть корень уравнения 5х—3 = 0. Условимся говорить, что уравнение ах 4-6 = 0 имеет высоту Ж-НН