ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Первое издание книги «Число и наука о нем» вышло в свет в 1948 г. (кроме того, в 1949 г. был отпечатан дополнительный тираж). Второе издание книги вышло в 1954 г. после смерти автора Георгия Николаевича Бермана (последовавшей 9 фев* раля 1949 г.). При подготовке настоящего третьего издания к печати Издательство внесло в текст книги некоторые уточнения и исправления.

Число и наука о нем

Редактор И. Е. Морозова. Техн, редактор И. Ш. Аксельрод.

Обложка, титул, заставки и концовки художника В. Л. Селенгинского.

Корректор К. Н. Мартинкина

Сдано в набор 29/V1960 г. Подписано к печати 30/111 1960 г. Бумага 84X1081/яд.

Физ. печ. л. 5,125. Условн. печ. л. 8,4. Уч.-изд. л. 7,77.

Т-01063. Тираж 40 000. Цена 2 р. 45 к. С 1/1 1961 г. 25 к. Заказ № 929.

Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, Ленинский проспект, 15.

Ленинградский Совет народного хозяйства. Управление полиграфической промышленности. Типография № I «Печатный Двор» имени А. М, Горького, Ленинград, Гатчинская, 2о.

Памяти

НИКОЛАЯ БОРИСОВИЧА ГОФМАНА,

павшего смертью храбрых

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Существует много книг — хороших книг, — задача которых возбудить интерес к математике. У этой книжки цель иная: удовлетворить тех, кто уже интересуется математикой, но не имеет достаточной подготовки, чтобы читать специальную литературу. Поэтому читатель не найдет здесь ни математических головоломок, ни забавных анекдотов. Книжка эта посвящена общедоступному, но серьезному изложению некоторых глав учения о целых числах. Для ее понимания достаточно знать арифметику и немного алгебры в объеме примерно VIII—IX классов средней школы. Дать материал для чтения начинающим учителям, студентам педагогических училищ, а главное старшим школьникам, работающим в математических кружках, — вот к чему стремился автор.

Книга эта ни в коем случае не является учебником. Поэтому автор, чтобы сделать ее живее, сознательно отказался от систематического изложения основ учения о числе. Но, возможно, студенты-математики увидят в ней удобный трамплин для прыжка из уютной элементарной арифметики в серьезную и чопорную теорию чисел.

Автор благодарит всех, кто содействовал написанию и опубликованию этой книги. Особенно благодарен автор проф. А. Ф. Берманту, внимательно прочитавшему рукопись и давшему ряд ценных указаний.

Москва 1947 г.

ВВЕДЕНИЕ

Понятие натуральных чисел возникло из потребностей счета на самых ранних ступенях развития человеческого общества, задолго до появления понятий дробных и отрицательных чи^сел. Натуральными называются числа: один, два, три, четыре, пять, шесть и т. д. Современный человек знакомится с ними еще в дошкольном возрасте. И все же, несмотря на свою привычность и повседневность, натуральные числа обладают многими свойствами, далеко не общеизвестными. Существует целая наука — теория чисел, — которая занимается их изучением. Наука эта обладает интересной особенностью: задачи ее кажутся простыми и понятными; о результатах ее можно рассказать всякому достаточно грамотному человеку. Но путь решения задач, способы достижения результатов порою очень трудны и сплошь да рядом недоступны даже лучшим математикам. Недаром крупнейший немецкий математик Гаусс (1777—1855) говорил, что арифметика—царица математики. Он имел в виду, разумеется, не элементарную арифметику, а именно теорию чисел, которую называют иначе высшей арифметикой и на дальнейшее развитие которой оказали большое влияние труды самого Гаусса.

Натуральных чисел бесконечно много: среди них нет наибольшего. Нам это кажется ясным. В самом деле, какое бы большое число мы ни взяли, если мы прибавим к нему единицу, то получим число еще большее. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом обосновании арифметики.

В этой книжке основы арифметики (аксиомы и простейшие правила) не рассматриваются.

Ряд натуральных чисел — чисел, которые служат для пересчитывания предметов, — начинается с единицы, а не с нуля. Нуль вводится вместе с отрицательными числами для того, чтобы сделать операцию вычитания возможной и в тех случаях, когда вычитаемое равно или больше уменьшаемого. Положительные целые, отрицательные целые числа и нуль образуют систему целых чисел, основные правила действий над которыми рассматриваются в начале школьного курса алгебры. Здесь в основном будет говориться о свойствах натуральных чисел. Но там, где это может упростить изложение, будут использованы и отрицательные числа и нуль.

Какие же свойства натуральных чисел мы будем рассматривать? Прежде всего — различные способы их записи и обозначения, развитие и взаимную связь этих способов. Далее — вопросы, которые возникают при делении целых чисел друг на друга (делимость, общий наибольший делитель, разложение на простые множители и т. д.). В заключительных главах будут разобраны некоторые свойства простых чисел.

Учением о простых числах занимались лучшие русские математики: Чебышев, Золотарев и другие. В двадцатом веке самые крупные, самые блестящие результаты в этой области были получены советскими математиками: Л. Г. Шнирельманом и особенно академиком И. М. Виноградовым. Об этих результатах будет рассказано в последней главе этой книжки.

ГЛАВА XIII

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

предыдущей главе мы познакомились с во* просом распределения простых чисел среди всех натуральных. Оказалось, что простые числа, расположенные сравнительно густо в начале на* туралыюго ряда, в дальнейшем встречаются все реже и реже, промежутки между ними становятся

все больше и больше. В этих промежутках попадаются числа, представляющие собой сумму двух простых чисел. Вот, например, числа первого десятка: 1 (в счет не идет); 2 (простое); 3 (простое); 4 (4 = 2 -|- 2 — сумма двух простых); 5 (простое); 6 (3 -|- 3 — сумма двух простых); 7 (простое); 8 (3 о — сумма двух простых); 9 (2 —7 — сумма двух простых); 10 (3-J-7 — сумма двух простых). Мы видим, что

все числа первого десятка или являются простыми, или представляют собой сумму двух простых. Но уже 27 представить в виде такой суммы не удается. Зато 27 можно записать как сумму трех простых слагаемых: 27 = 3 11 -р 13.

Спрашивается, для какого натурального числа трех простых Слагаемых не будет уже достаточно? Какое наименьшее число будет суммой не меньше чем четырех, пяти и т. д. простых слагаемых?

Подобные задачи можно ставить применительно не только к простым числам. Математиков давно интересует вопрос, как заданное число записать в виде суммы некоторого числа квадратов. Если это возможно, то сколькими способами осуществляется разложение? Те же вопросы можно поставить для разложения числа на сумму кубов и т. д. Возникает своеобразная область теории чисел, в которой вместо делителей и множителей приходится иметь дело со слагае

мыми и суммами. Ее называют аддитивной теорией чисел, производя название от латинского слова additio (аддйцио), что значит «сложение». Что касается той части теории чисел, которая имеет дело с множителями и делителями (учение о делимости и т. д.), то она носит название мультипликативной теории ч и се л (от латинского multiplicatio— мультипликцио,— что значит «умножение»).

Вернемся к простым числам, именно к задаче о представлении любого числа в виде суммы некоторого количества простых. Этой задачей более двухсот лет тому назад занялся член Петербургской Академии наук Хр. Гольдбах. Он перепробовал очень много чисел, пытаясь разложить их на сумму простых, и пришел к убеждению, что трех слагаемых всегда достаточно. Не сумев доказать это предложение, не найдя даже путей к доказательству, он написал о нем своему другу Эйлеру, с которым уже без малого 15 лет переписывался и который был тогда в зените славы. В письме от 7 июня 1742 г. Гольдбах сообщил Эйлеру, что рискует высказать следующее предположение: «любое число, большее пяти, представляет собой сумму трех простых». Эйлер ответил, что считает безусловно верной теоремой утверждение, что каждое четное число есть сумма двух простых. Отсюда, как простое следствие, получается утверждение Гольдбаха (почему?). Впрочем, и Эйлер доказательства не дал.

Итак, поставлена следующая задача (ее называют «проблемой Гольдбах а»): требуется доказать или опровергнуть предложение: «всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел». Ни современники Гольдбаха и Эйлера, ни даже математики прошлого — XIX — столетия почти ничего не смогли сделать для решения этой задачи. Правда, Г. Кантор, один из оригинальнейших математиков прошлого века, терпеливо перепробовал все четные числа от 2 до 1000, а Обри — от 1000 до 2000; они убедились, что в этих пределах любое четное число является суммой двух простых. В 1911 г. Е. Меле показал, что подавляющее число четных чисел от 4 до 9 000 000 являются суммами двух простых; исключений может быть не больше четырнадцати (т. е. для 4 499 986 четных чисел утверждение Гольдбаха наверняка справедливо). Наконец, на рубеже XX века появляется ряд работ, пытающихся наметить пути решения этой проблемы или связать ее с другими задачами математики. Но для строгого ее доказательства ничего сделать не

удалось, и в 1912 г. крупнейший знаток теории чисел Э. Ландау высказал на международном конгрессе математиков предположение, что эта задача средствами современной математики вообще неразрешима!

В 1923 г. двум английским математикам — Гарди и Литтлвуду, о которых мы уже говорили, — удалось добиться некоторого сдвига в попытках найти решение гольдбаховской задачи. Им удалось связать проблему Гольдбаха с одной из труднейших и интереснейших задач специальной главы высшей математики, называемой теорией аналитических функций. Эта задача тоже до конца не решена, но установленная связь между двумя, казалось бы, разнородными ветвями науки оказалась плодотворной и привела к ряду открытий.

Решительный перелом наступил в 1930 году. Советскому математику Льву Генриховичу Шнирельману (1905—1938 гг.), талантливому ученому, удалось так видоизменить задачу, что с помощью им же придуманных путей он сумел ее решить. Именно, видя бесплодность попыток доказать утверждение Гольдбаха в его первоначальном виде, Шнирельман поставил родственную задачу, на вид более сложную, но по существу значительно более простую. Он, как говорят математики, «ослабил» требования задачи Гольдбаха. Гольдбах требует, чтобы каждое натуральное число являлось суммой не более трех простых. Можно потребовать, чтобы каждое натуральное число было суммою не более четырех, пяти, ., ста простых. Эти требования, очевидно, слабее гольдбаховских: число, разложимое в сумму ста, может не разлагаться в сумму трех простых.

Наконец, можно, что и сделал Шнирельман, поставить вопрос так: существует ли какое-то вполне определенное, но нам неизвестное целое число (обозначим его буквою С), такое, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем С простых слагаемых?

Иными словами, каково бы ни было натуральное число N, всегда можно написать

N—Pt ~F A ~F А + • • • + An где pt, p^ ., p_n — простые числа, a n наверное меньше (или в крайнем случае равно) С. Если удастся доказать, что С=3, то утверждение Гольдбаха будет доказано. Эту «ослабленную» теорему Гольдбаха Шниретьману удалось доказать полностью. Само, пока неизвестное, число С с тех пор 156

называют «числом Шнирельмана» или «константой Шнирельмана» (слово constanta — константа — значит по-латыни «постоянная»). Значит, утверждение Гольдбаха можно сформулировать и так: «константа Шнирельмана равна трем». Но этого мало. Самый точный анализ метода Шнирельмана, сделанный разными математиками (Романов, Ландау, Хейльборн, Риччи), позволил получить оценку константы Шнирельмана; будучи очень большой, она постепенно была уменьшена до 67.

Отсюда до гольдбаховской тройки, конечно, очень далеко! Но важно то, что это доказано для любых чисел, сколь бы велики они ни были. Относительно какого-нибудь числа вроде

835 042 000 000 000 000 000 000 000

или нашего знакомца 9^е9, для записи которого нужно 30 томов, тоже можно утверждать, что 67 простых слагаемых достаточно для их представления. Даже скьюзовский гигант lO¹*¹⁰³⁴ можно на основании доказательства Шнирельмана представить в виде суммы не более 67 простых слагаемых (некоторые из этих слагаемых сами неизмеримо велики: гораздо больше числа д*⁹). Значит, результат Шнирельмана является огромным достижением; а главное — проложены новые пути, найдены новые способы подхода к решению старой задачи. Значит, можно ждать и новых результатов. Так оно и получилось.

В 1937 г. академик Иван Матвеевич Виноградов, ныне Герой Социалистического Труда и лауреат Сталинской премии, тогда уже известный всему ученому миру своими работами по аддитивной теории чисел, почти полностью решил проблему Гольдбаха, еще так недавно считавшуюся недоступной.

Результат, полученный И. М. Виноградовым, можно сформулировать так: для всех достаточно больших нечетных чисел проблема Гольдбаха решена полностью; или так: константа Шнирельмана для достаточно больших нечетных чисел не превосходит трех.

Почему же решение И. М. Виноградова нельзя считать полным, окончательным решением проблемы Гольдбаха; откуда взялось то злополучное «почти», о котором упоминалось выше? Дело в том, что Эйлер и Гольдбах утверждали,— и это для сравнительно небольших чисел подтвердилось на опыте, — что любое четное число является суммой двух простых. Отсюда уже, как следствие, вытекало, что любое нечетное есть сумма не более чем трех простых. Виноградов же

доказал именно последнее утверждение о нечетных числах; отсюда непосредственно следует, что для любого четного достаточно четырех простых слагаемых; но достаточно ли двух, — этот вопрос остается открытым. Кроме того, по Виноградову, утверждение Гольдбаха справедливо для всех достаточно больших нечетных чисел, иными словами, начиная с некоторого большого числа, которое некоторое время оставалось неизвестным.

В 1939 г. оно было вычислено молодым советским математиком К. Г. Бороздкиным. Это большое число может быть записано так:

_е4’. 96

где число е есть основание натуральных логарифмов: е=2,7182. Остается значительно снизить найденное К. Г. Бороздкиным число и тогда непосредственно проверить все меньшие числа, — работа, которой занимались Кантор и Обри в пределах первых двух тысяч.

Мы задержались на проблеме Гольдбаха не только потому, что она очень интересна с разных точек зрения, но и потому еще, что ею смело может гордиться русская наука. Эта проблема была поставлена в Петербурге — нынешнем Ленинграде; первый сдвиг в ее решении сделал Л. Г. Шнирельман, и решил ее академик — И. М. Виноградов.