ПРЕДИСЛОВИЕ

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15—20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков. Между тем, о том, кто дал имя неопределенному анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных ученых античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределенным уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы. Подробнее об этих оценках Диофанта мы скажем в § 4.

Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил проблему решения неопределенных уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Надо при этом иметь в виду, что в античной математике общие методы никогда не излагались «в чистом виде», отдельно от решаемых задач. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объемы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Ученым XVI—XVII вв. приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т. е. в то же время, когда был разгадан и Архимед. В своих исследованиях мы пойдем вслед за Виетом и Ферма,

т. е. будем анализировать решение конкретных задач, чтобы понять примененные там общие методы.

Заметим еще, что если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Поэтому-то история диофантова анализа особенно интересна.

Разумеется, мы не сможем рассказать здесь о всем творчестве Диофанта, еще того менее,— о всем диофантовом анализе и его истории. Как мы уже говорили, мы будем следить в основном за той областью, которая получила название арифметики алгебраических кривых и которая состоит в нахождении рациональных точек алгебраической кривой (или рациональных решений одного алгебраического уравнения от двух переменных) и в изучении структуры этого множества. Поэтому читатель не найдет здесь истории проблемы решения неопределенных уравнений в целых числах, которой занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр и которой продолжают заниматься и теперь. Мы не будем также касаться трудного и тонкого вопроса о существовании рационального (или целого) решения у неопределенного уравнения с целыми рациональными коэффициентами, поскольку этот вопрос выходит за пределы круга проблем, непосредственно идущих от Диофанта. Наконец, мы не будем касаться и истории десятой проблемы Гильберта, в которой требуется найти общий метод (или доказать, что такового не существует), «следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет» ^х).

Настоящая книга рассчитана на широкий круг читателей: ее смогут прочесть преподаватели математики высших учебных заведений и школ, студенты физико-математических факультетов университетов и пединститутов, инженеры и школьники старших классов специализированных школ (с математическим уклоном). Строго говоря, для понимания книги достаточно знания аналитической геометрии и элементов дифференциального и интегрального исчисления, поэтому школьникам не все разделы будут доступны в равной степени. Чтобы облегчить пользование книгой, мы даем здесь «указатель», в котором расскажем, как книга построена и какие параграфы можно опустить без ущерба для понимания целого. В § 1 рассказывается о самом Диофанте, в § 2 — о системе чисел и символов, которые он вводит, в § 3 приводятся сведения из диофантовых уравнений и алгебраической геометрии, необходимые для понимания дальнейшего. Следующий, § 4, посвящен оценкам методов Диофанта историками математики. В § 5 и § 6 излагаются задачи Диофанта и исследуется, какими методами он решал неопределенные уравнения второго и третьего порядков. Здесь же рассказывается об однородных или проективных координатах. В § 7 приводятся некоторые задачи Диофанта, которые потребовали теоретико-числового исследования. Эти задачи позволяют судить об объеме знаний античных математиков по теории чисел. Все дальнейшее, т. е. §§ 8—13, посвящено истории методов Диофанта от исследований Виета и Ферма до двадцатых годов нынешнего века. В § 10 рассказывается о теореме сложения эллиптических интегралов Эйлера и о ее применении для отыскания рациональных точек кривой третьего порядка у Якоби. Чтобы понять этот параграф, читатель должен быть знаком с понятием несобственного интеграла. Это место школьники могут пропустить. Чтение §11 они тогда должны начинать со слов «Теперь мы можем придать операции сложения точек.». В §§ 12— 13, где говорится о работах А. Пуанкаре и некоторых последующих результатах, многие вопросы изложены схематично, другие, требующие введения новых сложных понятий, опущены. Все же я надеюсь, что читатель получит некоторое представление о творчестве Диофанта и об истории арифметики алгебраических кривых, а может быть, и заинтересуется этой прекрасной областью математики.

В заключение я приношу глубокую благодарность А. И. Лапину и И. Р. Шафаревичу, которым я обязана многими ценными замечаниями и указаниями.

Многие усовершенствования и поправки были внесены в рукопись редактором Н. Н. Гендрихсоном, которому я также приношу глубокую благодарность.

В конце книги помещен список наиболее доступных изданий «Арифметики» Диофанта и сочинений о ней.

Пуанкаре называет точки А₉, из которых можно получить все остальные путем рациональных операции» фундаментальной системой рациональных точек. Он за мечает, что фундаментальную систему можно выбрать бесконечным числом способов. Будем выбирать фундаментальные точки так, чтобы число их было наименьшим возможным.

Наименьшее число рациональных точек г, из которых все остальные получаются по формуле (**♦), Пуанкаре называет рангом кривой Г ^х).

Можно показать, что ранг является инвариантом при бирациональных преобразованиях, т. е. что это одно из важных внутренних свойств кривой.

Относительно ранга Пуанкаре ставит следующий вопрос: «какие значения может принимать целое число, которое мы назвали рангом рациональной кубики?»

Этот вопрос был воспринят последующими математиками как утверждение, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, т. е. что группа ее рациональных точек имеет конечное число образующих. Эго утверждение получило название гипотезы Пуанкаре. Оно было доказано только в 1922 г. английским математиком Л. Дж. Морделлом. Это был самый выдающийся результат со времен Пуанкаре. Теорему о том, что ранг кривой рода 1 над полем рациональных чисел всегда конечен, он получил при помощи метода спуска Ферма.

После рассмотрения кубик Пуанкаре переходит к другим кривым рода 1. Он доказывает следующую о с- новную теорему:

Пусть f(x, у) = 0 — кривая рода 1 и порядка т. Если на ней лежит хотя бы одна рациональная точка, то она бирационально эквивалентна кривой третьего порядка.

Этим полностью решается вопрос о кривых рода 1: на такой кривой либо нет ни одной рациональной точки либо кривая эквивалентна кубике, а тогда множество ее рациональных точек имеет ту же структуру, что и у кривой (*).

Мемуар Пуанкаре содержит еще и другие интересные идеи и «программы изучения», однако мы не можем здесь

¹) Теперь рангом г эллиптической кривой Г называют такое наименьшее число рациональных точек A_v., А_г, что любая рациональная точка А кривой имеет вид

А = miAi -|- m_rA_r + Р, где Р — некоторая точка конечного порядка.

на них останавливаться. Отметим только один факт, интересный с точки зрения истории математики: Пуанкаре, по-видимому, ничего не знал о работах своих предшественников по арифметике алгебраических кривых. Процедуры Диофанта и их связь с теоремой сложения Эйлера были ему известны из общей теории алгебраических кривых. (Ведь складывать можно не только рациональные точки! Да геометрически рациональные точки ничем особым и не выделяются.) Но мысль применить известные факты и методы для изучения арифметических свойств кривых возникла у Пуанкаре независимо. Таким образом, эта мысль возникала по крайней мере трижды: в середине III в. н. э. у Диофанта, в 30-х годах прошлого века у Якоби и, наконец, в начале нынешнего века у Анри Пуанкаре. Это — не единичный факт в истории математики: так, трижды открывалась проективная геометрия — один раз в античности, второй — в работах Дезарга и Паскаля (XVII век), наконец, «в последний раз» — в начале XIX в. в работах Понселе и других. «В последний» в том смысле, что с этого времени и до наших дней преемственность и традиция в этих исследованиях уже не прерывается. То же относится и к арифметике алгебраических кривых после Пуанкаре.

• 13. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Остановимся теперь на некоторых обобщениях, результатах и гипотезах, относящихся к арифметике алгебраических кривых.

Одно из обобщений было намечено уже в мемуаре Пуанкаре. От Диофанта и до Пуанкаре арифметические свойства кривых рассматривали над полем рациональных чисел, т. е. коэффициенты уравнения

/(х, у) = 0

кривой Г, всех бирациональных преобразований и координаты искомых точек должны были принадлежать полю рациональных чисел Q. Пуанкаре предложил провести подобные рассмотрения над полями алгебраических чисел, например, над квадратичным полем Q (]/*D). В этом случае точка называется рациональной, если ее координаты принадлежат рассматриваемому полщ,

Но можно строить арифметику кривых и над совершенно произвольным полем к, например, полем рациональных функций от одного переменного или над конечным полем (полем вычетов по модулю р).

В 1929 г. французский математик Андре Вейль при помощи метода спуска Ферма доказал гипотезу Пуанкаре о конечности ранга эллиптической кривой над произвольным полем к.

Другое обобщение, начатое также Пуанкаре, относится к арифметике алгебраических кривых рода р > 1. В этом случае сложение точек определить уже нельзя, но можно определить «сложение» для групп из р точек, где р — род кривой. Такое «сложение» было намечено еще в работе Якоби, о которой мы говорили, о нем же писал в последнем параграфе своего мемуара Пуанкаре. А. Вейль в той же работе 1929 г. показал, что гипотеза о конечности ранга верна и для алгебраических кривых любого рода и над любым полем к.

Параллельно с этим рассматривался вопрос о целых точках (т. е. точках с целыми координатами) на алгебраической кривой. Еще в 1923 г. Л. Дж. Морд ел л показал, что уравнение

Еу² = Ах³ 4- Вх² + Сх + D имеет только конечное число целых рациональных решений. Наиболее общий результат тут был получен немецким математиком К. Л. Зигелем, который, применив методы А. Туэ и методы Морделла — Вейля, показал, что число целых точек кривой

/(*, У) = О

над полем к алгебраических чисел, если род кривой р >» О, всегда конечно.

Что касается рациональных точек на кривой родар >1, то согласно гипотезе Морделла таких точек существует лишь конечное число. Эта гипотеза до сих пор не доказана. Здесь можно отметить только результат советского математика Ю. И. Манина, который рассмотрел кривые не над полем рациональных чисел (как того требует гипотеза Морделла), а над полем К алгебраических функций, и показал, что все кривые рода р >» 1, кроме некоторого простого специального класса таких кривых, имеют в поле К конечное число рациональных точек.

Отметим, что все теоремы, доказанные относительно Системы образующих группы рациональных точек эллиптической кривой, являются чистыми теоремами существования: неизвестно никакого эффективного приема для нахождения образующих. Остается открытым вопрос Пуанкаре о том, какие значения может принимать число, которое он назвал рангом эллиптической кривой. До сих пор неизвестно, существуют ли кривые, ранг которых был бы > И, но и не доказано, что ранг не может принимать сколь угодно больших значений. Единственный результат здесь получен советским математиком А. И. Лапиным, который доказал, что над полем рациональных функций существуют кривые сколь угодно большого ранга.

Глубокие результаты, относящиеся к установлению существования рациональных точек на эллиптической кривой, принадлежат советскому математику И. Р. Шафаревичу и американскому математику Дж. Тэйту. Однако здесь мы не только не можем привести доказательства, но и формулировки результатов, так как для этого требуются более обширные сведения из современной алгебры и алгебраической геометрии, чем мы имеем право предполагать в этой брошюре. К тому же мы от истории вопроса перешли к современности и читатель сможет, если захочет, более подробно познакомиться с нынешним состоянием диофантовых уравнений по обзорным статьям. Укажем, например, на статью Дж. Касселса «Диофантовы уравнения со специальным рассмотрением эллиптических кривых», опубликованную в журнале «Математика» (№ 1 и № 2 за 1968 г.).