От переводчика

Автор этой книги И. Лакатос, профессор Лондонского экономического училища, является одним из видных деятелей в области математической логики — части математики, особенно быстро развивающейся в наше время. На первой странице английского издания Лакатоса есть посвящение: «К 75-летию Георга Полья и 60-летию Карла Поппера». Первый из этих двух ученых хорошо известен в нашей математической литературе книгой «Задачи и теоремы из анализа», составленной им совместно с Г. Сеге и переведенной в 30-е годы на русский язык профессором Б. А. Райковым.

Книга И. Лакатоса является как бы продолжением другой книги Г. Полья — «Математика и допустимые рассуждения» (Лондон, 1954). Разобрав вопросы, касающиеся возникновения догадки и ее проверки, Полья в своей книге остановился на фазе доказательства; исследованию этой фазы и посвящена предлагаемая вниманию читателей книга Лакатоса. Конечно, автор преследовал и другие цели, о которых он говорит во введении, но широкому кругу читателей интересно не столько введение, имеющее существенное значение для специалистов, сколько основной текст, понимание которого доступно даже школьникам старших классов. Берется простая стереометрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и разбираются ее возможные доказательства. Изложение ведется в двух планах: один из них — это рассказ о разговорах, возникших среди учеников в связи с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств, другой план составляют подстрочные примечания, дающие действительную историю этих доказательств и вскрывающие ошибки, которые делались при этом математиками XIX в. Диалоги учеников — это по существу и есть наглядное отражение этой истории. Таким образом, читатель вводится в рабочую мастерскую математиков, знакомится с созданием доказательств, а не только с окончательными результатами, излагаемыми в учебниках.

Карл Поппер — один из видных представителей неопозитивизма, примыкавший в 30-е годы к «венскому кружку» (Карнап, Рейхенбах и др.). В послевоенные годы он осел в Англии. Поппер если и эволюционировал, то в сторону скептицизма, а в вопросах обоснования математики — в сторону конвенционализма, т. е. утверждения чисто условного характера научных положений. Влияние Поппера на И. Лакатоса несомненно. Однако наш читатель не сделает тех скептических выводов, к которым пытается подвести его автор, а найдет в этом насыщенном историческим материалом произведении немало ярких доказательств того, что математика в познании действительности идет по тому же диалектическому пути, что и другие науки.

Нужно отметить особый характер ссылок: цитируемые книги обозначены именем автора и временем издания; по этим данным в библиографии, помещенной в конце книги, читатель может найти точное название источника.

Написанная легко и остроумно, книга И. Лакатоса доставила переводчику много удовольствия во время работы над ней. Он желает, чтобы такое же удовольствие испытали и ее читатели.

8 сентября 1966 г.

Профессор И. Н. Веселовский

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как все остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения— «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны» *.

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной * логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абст-

¹ См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 76—77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1910—1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (1657—1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.

* Ситуационная логика — принадлежащий, по-видимому, Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.— Пр им. пер.

ракцией (а философию математики — с метаматематикой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937)². Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки., но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой.

Формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует. Любой формалист целиком будет согласен с замечанием Рассела, высказанным «романтически», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой когда-либо написанной по математике»³. Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дпрак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсолютной необходимости для каждого математика, кото-

• Подробности и аналогичные ссылки см. в библиографическом списке в конце статьи.
• Б. Рассел (В. Russel, 1901). Эта работа была перепечатана как 5-я глава труда Рассела (1918) под заглавием «Математика

рый заботится об интеллектуальной честности (разрядка моя.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

«Формализм» представляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологической», ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она — чистый вздор⁴. Догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики.

Целью этих статей является подход к некоторым проблемам методологии математики. Я употребляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристике» ⁵ Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуационной логике» Поппера⁶. Недавняя экспроприация термина «методология математики» для использования в качестве синонима «метаматематики» имеет несомненно

и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».

• Согласно Тюркетту (Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определенно являются догадками, которые с точки зрения догмати- ста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.
• Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.

* Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвертом издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.

формалистский привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия⁷. Если верить форма-

• Это можно иллюстрировать работами Тарского (1930а) и (1930 Ь). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктивные науки» явно как стенографическим выражением для «формализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метаматематики примерно в том же смысле, как пространственные сущности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придается занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют предмет геометрии, а животные — зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, например, такие, которые не опираются на определенный логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных п неточных терминах разговорного языка — одним словом, те, которые не формализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулировке устанавливается, что предметом метаматематики являются формализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализованным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что неформализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполагает, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к некоторым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совершенно так же, как некоторые проблемы относительно человеческих существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не многие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследования сводятся к изучению мертвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлен, если бы какой-нибудь энтузиаст — ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные методы диссекции, отождествил биологию с анализом мертвых тел.

В предисловии к работе (1941) Тарский подчеркивает свое отрицание возможности какой-нибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических наук. должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том,[8] листам, то математика будет тождественна формализованной математике. Но что можно открыть в формализованной теории? Два ряда вещей. Во-первых, можно открыть решение задач, которые машина Тюринга при подходящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказательство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым процедурами такого решения. Во-вторых, можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

Так вот, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую⁸. Исследование неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалистской философии.

История математики и логика математического открытия, т. е. филогенез и онтогенез ⁹ математической мысли, что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с некоторыми правилами» (там же), то эмпирические науки не являются науками.

• Одно из наиболее опасных заблуждений сторонников формалистской философии заключается в том, что (1) они стараются установить что-нибудь (вполне правильно) относительно формальных систем; (2) затем сказать, что это применимо и к «математике» — это будет опять правильно, если мы примем отождествление математики с формальными системами; (3) наконец, со скрытым изменением смысла, использовать термин «математика» в обычном смысле. Так, Куайн говорит (1951, стр. 87), что «это отражает характерную для математики ситуацию; математик наталкивается на свое доказательство при помощи неуправляемой интуиции и „счастья**, а затем другие математики могут проверить его „доказательство*'». Но проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы напасть на «ошибку», требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы натолкнуться на доказательство; открытие «ошибок» в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий.
• Пуанкаре и Полья предлагают «основной биологический закон» Геккеля относительно онтогенеза, повторяющего филогенез, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве только при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли. В этом большом споре, в котором время от времени аргументы осовременивались, математика была гордой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математический догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и настоящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непогрешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматистской теории познания ¹⁰. Бросить этому вызов — давно уже стало необходимым.

Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Поскольку, однако, метамате применять также и к умственному развитию, в частности, к математическому умственному развитию [Пуанкаре (1908), стр. 135 и Полья (1962b)]. Цитируем Пуанкаре: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного повторяет всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же происходит и в развитии ума. По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем».

По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу (1962).

матика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов современному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собственном поле описанные здесь образцы.

Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рационально реконструированную или «дистиллированную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, большая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.

1. Задача и догадка.

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотношение между числом V вершин, числом Е ребер и, наконец, числом F граней многогранника — в частности, правильного многогранника — аналогично тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольников, а именно: что существует столько же сторон, сколько и вершин: V = Е1 Последнее соотношение позволяет классифицировать многоугольники по числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификации многогранников.

После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V — Е + F = 2\

• Впервые замечено Эйлером (1750). Первоначальной его задачей было дать классификацию многогранников. На трудность этого было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники (figurae rectilineae) легко могут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников (corpora hedris planis inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эйлером результату было как раз введение понятий вершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной стороны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого «latus» (сторона), так как «latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было ввести понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он все же удержал термин «а п g u 1 и s solidus» (телесный угол) для подобных точке вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (ок. 1639), скопированная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675—1676 гг. и снова открытая и опубликованная Foucher de Careil в 1860 г. Однако приоритет Декарту отдать нельзя. Верно, что Декарт устанавливает, что число плоских углов равно 2ф-|-2а—4, где <р обоз-

Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными способами — она выдерживает хорошо. Этот результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент — после стадий постановки задачи и догадок — мы входим в классную комнату². Учитель как раз готовится дать доказательство.

пачает у него число граней, а а — число телесных углов. Также верно то, что он устанавливает, что плоских углов вдвое больше, чем ребер (latera). Простое соединение двух этих положений, конечно, даст формулу Эйлера. Но Декарт не видел надобности сделать это, так как он все же мыслил в терминах углов (плоских и телесных) и граней и не сделал сознательного революционного изменения, а именно: не ввел понятия нуль-мерных вершин, одномерных ребер и двумерных граней в качестве необходимого и достаточного основания для полной топологической характеристики многогранников.

• Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.

Фазы догадки и испытания в случае V—E+F⁼2 разобраны Полья (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 35—41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.