П. Сапунов — Вывод общих правил для быстрого письменного перемножения и возведения в квадрат многозначных чисел. 77

В. Матышук — Анализ и синтез в преподавании элементарной математики. 87

Проф. Мордухай-Болтовской — О школьном геометрическом доказательстве . 96

Я. Перельман — Единое правило для приближенных вычислений 100

И. Чарнецкий — Геометрическое доказательство тригонометрических формул сложения и вычитания дуг. 102

М. Горнштейн — О выводе формулы Cos (« ± £) = Cos я . Cos ft ±,Sin я Sin 0 104

ИЗ ШКОЛЬНОЙ И ЛАБОРАТОРНОЙ ПРАКТИКИ

К. Лукашевич — Простые опыты по физике. 106

Е. Брумберг — Диффузия газов. 108

Г. Захарьин — Один из способов осуществления вольтовой дуги 108

А. Пригон — Меры площадей и объемов 109

Е. Б. — Показать способность избирательного поглощения 115

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ПУТЕВОДИТЕЛЬ

Л Кандауров — Подвижная карта звездного неба для первоначального знакомства с созвездиями и движением небесной сферы по системе Л. В. Кандаурова. 116

ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК 119

«Мы вступаем в третий год пятилетки. Это решающий год. «Наступающий 1931 г. является решающим годом в деле осуществления лозунга «пятилетка в четыре года». На безусловном выполнении намеченного плана во всех его частях и особенно на качественных его показателях (снижение себестоимости промышленной продукции, снижение стоимости строительства, повышение производительности труда, повышение урожайности, улучшение показателей работы транспорта, улучшение качества продукции и т. д.) должны быть сосредоточены максимум внимания, максимум энергии» (из резолюции пленума ЦК и ЦКК, декабрь 1930 г.).

Наступивший год должен быть переломным и решающим и для нашего педагогического дела. Мы должны в 1931 г. не только ликвидировать отставание темпов культурной работы от темпов народнохозяйственного строительства, но непрерывно усиливать наши темпы, не допуская разрыва с общим ходом развития.

А мы отстали сильно.

Можно ли считать достаточными темпы политехнизации школы? Можно ли считать, что воспитание марксистско- ленинского мировоззрения поставлено в нашей школе на прочные рельсы? Можно ли считать, что школа прочно связалась с жизнью, что она развернула во всю ширь на своем культурном участке решительное социалистическое наступление, решительную борьбу с классовым врагом и его проявлениями?—Нет, этого в полной мере еще нельзя утверждать.

Для выполнения пятилетки в четыре года важнейшим звеном являются людские кадры. В подготовке кадров работа нашей школы имеет исключительное значение. Политехнизация школы с большевистской настойчивостью и большевистскими темпами—за это звено надо нам ухватиться, чтобы вытащить всю цепь.

А в деле политехнизации школы наши дисциплины — физика, химия, математика, техника, играют решающую роль. Этой роли мы еще не выполняем в достаточной степени.

Программы Наркомпроса делают лишь первые шаги в деле политехнизации. Эти программы надо было не только выполнить, но идти дальше, продвигаться смелее вперед к производству, к технике. Между тем можно утверждать, что значительное число преподавателей наших дисциплин проявляют в этом направлении весьма мало активности. Можно даже сказать, что они робеют, что они боятся подойти поближе к производству. Это— результат отчасти недостаточной подготовленности в этом отношении наших кадров. Можно ли признать эту «объективную» причину уважительной? — Ни в какой мере. Как раз наоборот: такое положение дела, казалось, обязывало бы с настойчивой энергией взяться за изучение техники, за ознакомление с производством, теоретически и практически, дабы преодолеть эту трудность. Но что-то не слышно о широком и мощном движении физиков, химиков, математиков к технике, на производство. Правда, кое-где организуются курсы и семинары по ознакомлению учительства с производством, но это движение далеко еще не массовое и главное — дело это поставлено недостаточно серьезно: несколько лекций, в лучшем случае 10—20 дней практики на производстве— этим дело и ограничивается.

Между тем необходимо подчеркнуть, что повышение производственно-технической квалификации учительства — необходимейшее условие для успешной политехнизации школы. Оно особенно важно для преподавателей наших дисциплин, так как к ним естественно предъявляется требование играть ведущую роль в деле политехнизации школы. Нашим дисциплинам приходится больше, чем всяким другим, решать задачу увязки обучения с трудом, им приходится ставить производственную практику на предприятии, именно им отводится первая роль пропагандистов и агитаторов, борцов за политехнизм. А эта важнейшая задача, которую правильно подчеркивал т. Бубнов в своих «двенадцати вопросах». Пропаганда политехнизма, борьба за политехнизм, особенно среди инженеров, хозяйственников, техников, квалифицированных рабочих, крепче свяжет школу с производством и притянет к ней свежие педагогические силы, идущие из производства.

Программы Наркомпроса строятся еще по предметному принципу. Это пока так на данном этапе. Но цикл программ наших дисциплин весьма прочно связан между собой и с программой политехнического труда общностью многих тем производственно-технического характера. Совместная методическая разработка их и совместное их проведение сделают наш цикл политехническим и осуществят идею комплексности в разрезе связи теории с практикой. Осуществляется ли это наделе? — Почти нет. Это не только способствует отрыву наших дисциплин от практики, от производства, - это держит труд в школе в русле ремесленничества. Совместная методическая работа, притягивание к ней преподавателя труда, особенно нуждающегося в методической подмоге, помощь совместной работой наших предметов и труда в осмысливании ребятами производственных процессов—необходимейшее требование политехнизма.

Но это только часть задачи. Второе партийное совещание по народному образованию подчеркнуло, что политехнизм есть органическая часть коммунистического воспитания. Забвение этого выхолостит из политехнизма его сущность, сведет его к узкому техницизму Изучение научных принципов современного производства — не самоцель, а средство лучше подготовить к непосредственному

участию в строительстве социалистического производства. Нельзя оторвать политехнического изучения производства от непосредственного участия в этом производстве, в социалистическом его переустройстве, в преодолении трудностей строительства, в сломлении сопротивления классово-враждебных нам сил. Только через непосредственное участие в борьбе и строительстве, подкрепленное знанием марксистско-ленинской теории, можно воспитать нужные нам кадры. Отсюда вытекает необходимость тесной связи школы с производством. Предприятия последовательно-социалистического типа являются «опорными пунктами социализма» по выражению т. Бубнова. Эта связь идет по линии включения школы в борьбу за выполнение промфинплана. Эта мысль выражена в постановлении коллегии НКП от 10 апреля 1930 г. о ФЗС: «Практика общественно-полезной работы ФЗС показывает, что ФЗС может сыграть значительную роль в осуществлении промфинплана производства. Все школы ФЗС должны объявить себя мобилизованными в помощь пролетарским организациям за выполнение промфинплана».

«Политехнизм,—говорит М С. Эпштейн в предисловии к постановлению коллегии НКП, — не может быть сведен к одному лишь пересмотру программного материала или даже к одной лишь тренировке в целях приобретения трудовых навыков. Он должен дать направление общественно-полезной работе школы с тем, чтобы советские и хозяйственные организации могли в своей деятельности по социалистическому переустройству народного хозяйства опереться на школу. Вот почему перед ФЗС, как основное содержание всей ее общественно-полезной деятельности, ставится задача борьбы за промфинплан, за сокращение прогулов и брака, за поднятие производительности и качества труда, за развитие ударности на производстве, против недобросовестного, небрежного отношения к машинам и материалу».

Связь с производством идет через эти ворота. Приведенная в начале статьи выдержка из последнего декабрьского постановления ЦК и ЦКК в полной мере касается и школы и в частности того

участка, который призваны обслуживать наши дисциплины. Вся наша работа должна пойти под лозунгом постановлений XVI съезда партии и последних постановлений ЦК. Политехнизация школы есть часть программы, которая гласит: «пятилетка в четыре года».

Отсюда в области методики вытекает еще одно. Выше мы говорили о тесной совместной связи наших дисциплин и политехнического труда с участием в производстве. Обществоведческие дисциплины не только наши «соседи» по расписанию: они включаются вместе с нами в общую работу в борьбе за промфинплан. Здесь рождается проект как важнейший метод работы.

Под этим углом зрения получает новое и более широкое освещение требование изучения производства педагогом школы. «Наркомпрос считает обязательным для всех школьных работников ФЗС систематическое изучение производства, прохождение практики в течение 1930 —1932 гг., практическое участие в производственных совещаниях и во всех мероприятиях заводских организаций в борьбе за промфинплан» (постановление коллегии от 10 апреля 1930 г.). Не изучение только техники производства, а включение себя в общественную работу на предприятии— таковы пути изучения производства педагогом. Это, как ясно из вышесказанного, в частности и в особенности относится к нашим дисциплинам.

По отношению к нашим дисциплинам необходимо особенно подчеркнуть значение связи с производством не только в технической, но и в широкой общественно-политической плоскости. Еще не изжито кое у кого мнение, что «наша хата с краю», мы, мол, физики, химики, математики, только «спецы», мы далеки от политики, она «не касается» квадратных уравнений, камерного способа получения серной кислоты или механического эквивалента теплоты. Эта «нейтральная», «лояльная» позиция должна быть отвергнута. Нет и не может быть места «нейтральности» вообще в советском строительстве и особенно в деле воспитания кадров. Разве не ясно, что «нейтральность» есть питательная среда для вредительства? Разве процесс «Промпартии» не показал со всей очевидностью, что «нейтральность» может служить завесой контрреволюционному вредительству? Не является ли «нейтральность» прямой подмогой вредительству? Разве не показал этот процесс, что и наука, «чистая» наука, как будто «далекая» от политики, может быть поставлена на службу классовому врагу? Разве не яснее ясного стала вся глубина и правильность ленинского взгляда на партийность философии и науки? Не имеют ли наши дисциплины отношения к правому уклону и к «левым» загибам?— Безусловно имеют. Задача наша—борьба за марксистско-ленинскую теорию в наших дисциплинах, за раскрытие классовых задач пролетариата в наших науках, против правых и «левых» уклонов.

Как раз на нашем участке, который как будто «далек» от борьбы, идущей сейчас на фронте науки и философии, опасность весьма велика. Больше чем где-либо здесь именно есть опасность сползти к узкому делячеству, к рецептуре, к ползучему эмпиризму. Представители наших дисциплин слабее всего вооружены марксистско-ленинской теорией вообще и в своей специальности в частности. Если в области обществоведения абсолютная необходимость опоры на марксизм-ленинизм само собой очевидна, если в области естествознания она стала понятной в последние годы благодаря развернутой борьбе с витализмом и с механистицизмом, а в области методики—в процессе борьбы передового слоя естественников с райковщиной, то в области наших дисциплин (особенно в методическом разрезе) сделано пока мало. Это усиливает опасность деляческих подходов, пренебрежения к теории в марксистско-ленинском духе. На этот участок фронта нашему журналу и нашим читателям необходимо обратить особое внимание.

Борьба за теорию, борьба за мировоззрение — важнейшая наша задача. Надо однако предостеречь от другой опасности— от опасности подмены марксистско-ленинской теории революционного действия формально-словесной «теорией» старой школы. В эту щелку пытается пролезть старая битая школа. Это надо видеть и дать этому надлежащий отпор.

Отметая, с одной стороны, узкий практицизм, под прикрытием которого

буржуазия «популяризировала» научно- технические знания для рабочих, с другой стороны — «теоретическую» схоластику старой школы, необходимо бороться с правым и «левым» уклоном в наших дисциплинах в их методическом преломлении — с механистицизмом и формализмом.

Это требует большой и углубленной работы работников наших дисциплин над проблемами марксистско-ленинской методологии и методики в этой области.

Эта работа тесно связана со сказанным выше о включении нашего преподавателя в общественную работу на производстве. Только таким путем можно ощутить марксизм - ленинизм как теорию революционного действия, как «теорию, которая делается силой, когда ею овладевают массы».

Все эти задачи тесно связаны с рядом более частных и отсюда вытекающих задач методического порядка, направленных на разрешение одной общей задачи: повышения качества политехнической подготовки молодых кадров. Из них мы выдвигаем три важнейших, а именно: активизацию методов работы, в частности переход от словесно-мелового к лабораторному типу работы, учебное пособие (оборудование) и учебную книгу. Здесь решающее значение имеет разработка в политехническом разрезе методики эксперимента, наблюдения, исследования, разработка типов пособий и оборудования. Мы отметаем «объектив- ные» причины, что «у нас, мол, в школе ничего нет». Мы знаем бедность оборудования нашей школы, но мы считаем, что далеко не все пути использованы для преодоления этой трудности. Мы мало используем множество имеющихся под рукой возможностей поставить наши дисциплины на экспериментальный тип работы. Мы не используем для этого в достаточной мере связи с производством, заводскую лабораторию, средства, которые школы начинают получать от производства.

Надо отметить, что и имеющееся оборудование страдает серьезнейшими недостатками. Мы все еще сидим на демонстрационных приборах дореволюционного типа. Создание новых видов оборудования лабораторного типа, при

способленного для задач политехнической школы,— важнейшая задача дня. Здесь мы сильно запаздываем; м ы не можем даже для нынешних ограниченных возможностей в области производства учебных пособий дать проверенные на практике новые типы пособий.

Учебник, рабочая книга далеко еще не удовлетворяют требованиям политехнической школы ни по содержанию, ни по изложению, ни по методической разработке, ни по заостренности на важнейших задачах, выдвигаемых социалистическим строительством.

Надо критически пересмотреть имеющиеся учебники, подойти к ним с точки зрения тех задач, о которых мы выше говорили, и при содействии школы, опираясь на ее опыт, помочь создать новые, лучшие типы для политехнической школы.

Наш журнал расширяет поле своей деятельности. От обслуживания наших дисциплин в общеобразовательной школе-семилетке он переходит к их обслуживанию во всей системе средней школы, включая ФЗУ, техникум, различные виды рабочего образования в объеме средней школы. То, что выше сказано относительно работников ФЗС (и ШКМ), относится в весьма значительной, если не в полной мере, и к работникам по нашим дисциплинам в школах иных типов. Расширение поля работы журнала естественно ставит еще и другие задачи, вытекающие из специфических задач и условий работы этих школ. Но основа— одна: борьба за политехнизм, борьба за количество и качество подготовляемых для социалистического с г роительства кадров. Эти задачи тем ответственнее, что мы вступили в период социализма.

Выдвигая здесь перед нашими читателями ряд общих и частных задач, журнал ставит себя на службу их выполнения, опираясь на опыт школы, борясь с уклонами как правым, наиболее опасным и в нашей области, так и «левацким» в их выражении в нашем деле, помогая изживанию остатков старой школы и вскрывая их враждебную социализму классовую подоплеку.

Руководящими в нашей работе должны явиться задачи третьего, решающего, года пятилетки. И мы должны твердо помнить сказанное последним пленумом

ЦК и ЦКК нашей партии: это непосредственно относится и к нашей работе:

«Народное хозяйство нашего Союза стоит на пороге завершения грандиозного плана работ по строительству социализма—пятилетнего плана. Перспектива решающей победы не может не вызвать нового взрыва энтузиазма и нового трудового подъема среди рабочих и крестьян. Но она не может также не усилить ненависти и злобы наших классовых врагов. Именно поэтому так отчаянно сопротивляются остатки капитализма внутри Советского Союза (сопротивление кулаков, вредительство и т. д.). Именно поэтому так лихорадочно готовится международный капитализм к вооруженной интервенции против Советского Союза. В этих условиях обостренной классовой борьбы требуется максимальная мобилизация творческих сил рабочего класса, колхозников и всех трудящихся на преодоление трудностей, стоящих на пути социалистического строительства, на пути осуществлении я лозунга «пятилетка в четыре года». Именно в этих условиях требуется от нас максимальное напряжение сил для дальнейшего развертывания индустриализации страны и социалистического строительства, для усиления обороноспособности страны».

ДИАЛЕКТИКА И ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ *

Доклад, прочитанный 18 августа 1930 г. на курсах по переподготовке учителей школ II ступени Бауманского района в Москве.

1. Закон единства противоположностей. Закон единства и взаимного проникновения противоположностей является, вне всякого сомнения, основным и важнейшим законом диалектики. Вот что говорит Ленин (XII Ленинский сборник, стр. 323): «Раздвоение единого и познание противоречивых частей есть суть (одна из «сущностей», одна из основных, если не основная, особенностей или черт) диалектики. Тождество противоположностей (единство их, может быть вернее сказать, хотя различие терминов тождество и единство здесь не особенно существенно; в известном смысле оба верны) есть признание (открытие) противоречивых, взаимно исключающих, противоположных тенденций во всех явлениях и процессах природы (и духа и общества в том числе). Условие познания всех процессов мира в их «самодвижении*, в их спонтанном развитии, в их живой жизни есть познание их, как единства противоположностей».

¹ Статья помещается в дискуссионном порядке.

Редакция просит присылать как критические замечания к печатаемой статье, так и собственные соображения по актуальному и совершенно неразработанному вопросу «диалектики в школьной математике».

В области математики Ленин указывает в виде примера единства противоположностей положительное и отрицательное числа (а также дифференциал и интеграл). И действительно (если говорить о первом примере Ленина): положительное число и отрицательное представляют раздвоение единого, именно направленного числа; они обусловливают друг друга, немыслимы одно без другого. Сказавши «плюс», мы этим самым сказали и «минус», ибо бессмысленно говорить о положительном направлении числовой прямой, не имея в виду отрицательного. Утверждая существование отрицательного значения какой-нибудь величины, мы тем самым утверждаем и существование положительного значения, и обратно, отрицая одно, мы одновременно отрицаем и другое. Об этом, к сожалению, обычно забывают при изучении математики в школе. Так, если решают при помощи составления квадратного уравнения задачу, в которой искомым является число рабочих на заводе, и если уравнение дало 2 корня (например-|-20*00 и — 300), то говорят: отрицательный корень не может служить ответом на вопрос задачи, и потому мы его отбрасываем, оставляем лишь положительный корень, и, значит, на заводе было -р 2 000 или просто 2 000 рабочих.

Тут все перепутано: действительно, если отрицательный корень не может служить ответом, то это значит в первую очередь, что искомое задачи не есть направленная величина и потому оно не может выражаться ни отрицательным, ни положительным числом. Ликвидация отрицательного корня влечет за собой (по существу) и ликвидацию положительного корня; это—отказ от направленного числа, переход к ненаправленному арифметическому числу, подобно тому как (если говорить об общественной форме движения) окончательная ликвидация буржуазии как класса означает и ликвидацию пролетариата как класса, означает переход к внеклассовому обществу. На заводе не могло быть (—300) рабочих, но на нем не было и (4-2 000) рабочих; на заводе было просто 2 000 рабочих.

Решая уравнение х^{1 2}— 1700х— — 600 000 — 0, давшее корни+ 2 000 и — 300, мы, пользуясь современной математической техникой, в формуле х = 850 42^8502 + 60 0 0 00 поставили перед знаком корня двойной знак±- Но по существу, учитывая заранее характер искомой величины, учитывая, числом какого качества является х (т. е. принимая во внимание «меру», если пользоваться терминами диалектики), мы не имели в данном случае права ставить перед корнем двойного знака и должны были поставить лишь знак 4- (т. е. принять во внимание лишь арифметическое значение корня).

Тем не менее математическая техника права, применяя двойной знак4г, так как она имеет как раз в виду направленность числа.

Положительное и отрицательное числа представляют единство противоположностей, раздвоение единого (направленного числа), подобно положительному и отрицательному электричествам. В связи с этим интересно отметить, что современные физические теории (Джинс, Эддингтон), говорящие об «уничтожении» материи, имеют в виду одновременное уничтожение и протона и электрона, а не уничтожение лишь протона или лишь электрона.

Вполне правильно называют в математике положительное и отрицательное числа относительными числами; ведь

они существуют лишь взаимно, относительно, имеют лишь взаимно-относительный смысл. Но с диалектической точки зрения следует считать относительными числами и такие пары чисел, как 1) целое и дробное, 2) рациональное и иррациональное, 3) вещественное и мнимое. До того (например) как математика (в процессе своего развития) не наткнулась на невозможность извлечения квадратного корня из 2 (вспомним знаменитую задачу Пифагора о вычислении диагонали квадрата), такие 3

числа, как 3 или 15, или-^-, не были рациональными ^х, они стали таковыми лишь после ознакомления математики с иррациональным числом. Понятие рационального числа возникло лишь одновременно с понятием иррационального числа. Одно из них бессмысленно без другого; сказавши «рациональное число», мы этим самым указали на иррациональное число. Это — также относительные числа, они представляют раздвоение единого (расширенного понятия числа). Это же справедливо и для целого и дробного, также вещественного и мнимого чисел. В этом смысле всякое расширение понятия о числе представляет раздвоение единого на взаимно проникающие друг друга противоположности, тождественные и в то же время исключающие друг друга: плюс (как знак числа) резко отличается от минуса, но они и тождественны (едины), так как оба предполагают друг друга и означают направленность числа.

Закон единства противоположностей указывает на неразрывную связь тождества и различия. Нет двух абсолютно тождественных вещей, и если мы даже утверждаем их равенство, то этим самым утверждается и их различие: так, если мы пишем формулу (а4-6)³=Д^а4- 4-2а& + &², то наряду с тождественностью мы имеем здесь и различие, хотя бы потому, что (а + &)² — одночлен, а а² -\-2ab + & — есть многочлен. Даже в самом простом равенстве 4- = 0,25 мы также имеем дело 4

¹ Следует иметь в виду, что рациональные и иррациональные числа не существуют в при

роде независимо от человека. Они появляются лишь как результат и средство взаимоотношения природы и человека.

с единством тождества и различия (т. е. с так называемым конкретным тождеством) *, именно, с одной стороны, 4- = 0,25 тождественно с 0,25; но,

* 4

с другой стороны, -j- есть обыкновенная дробь, а 0,25, — десятичная, и, значит, у них есть свои специфические особенности. Это справедливо для любых математических равенств.

2, Положение математики как учебного школьного предмета.

С этой же диалектической точки зрения мы должны подходить и к самой математике как учебному предмету в школе. Различные учебные предметы в школе представляют, с одной стороны, нечто тождественное, так как каждый учебный предмет есть та же учёба с одинаковой целевой установкой, определяемой задачами школы; поэтому приемы и содержание работы педагогов различных специальностей в школе имеют много общего друг с другом. Но в то же время каждый учебный предмет имеет и свои специфические особенности, которые необходимо учитывать: математика отлична от русского языка или географии и т. д. Каждый учебный предмет представляет определенное качество, в каждом имеется определенное самодвижение, т. е. свои внутренние законы развития, игнорирование которых недопустимо в деле просвещения. Конечно, всякая школа должна иметь свой единый разработанный учебный план (и программы), в которых отдельные учебные предметы выступают как одно согласованное целое. Но это целое не должно быть механической суммой отдельных учебных предметов: это целое должно быть единством противоположностей, и таким образом отдельные учебные предметы должны представлять относительно друг друга противоположности, т. е. существенные тождество и различие в одном и том же отношении \

1 Само собой разумеется, что математика как учебный предмет, входящий в состав определенного учебного плана,—далеко не то, что математика как нечто самодовлеющее. Математика—учебный предмет - есть в сравнении с самодовлеющей математикой особое качество, определяемое не только внутренней сущностью математики, но и тем целым, ча-

Это общее положение определяет методы увязки отдельных учебных предметов с практикой, с современностью, у нас—с социалистическим строительством. Наша школа должна быть политехнической, и наши учащиеся должны изучать отдельные учебные предметы, занимаясь (по мере практической возможности) производительным трудом. Но способы пронизывания учёбы производственной практикой должны быть для каждого учебного школьного предмета специфичны. Имея в виду математику, мы скажем, что математика как наука существует давным-давно, что она развивалась, с одной стороны, под прямым или косвенным воздействием человеческой практики (хозяйственной деятельности), но, с другой стороны, математика, являющаяся, как в всякая другая наука, надстройкой над экономической базой, в то же время имела и имеет свои внутренние, имманентные законы развития, свое самодвижение. Кроме того, она подвергалась влиянию других факторов, как-то: других наук (механики, физики и т. д.), философских взглядов данной эпохи, тоже впрочем являющихся надстройками. И в процессе развития математики экономический базис не заново создавал математику как науку, а влиял на сложившуюся уже перед тем математическую науку. А это и значит, что влияние хозяйственной действительности на математику было не непосредственным, а опосредствованным. Подобно этому, географические условия влияют на человечество не непосредственно, а опосредственно через хозяйственную деятельность человека, которая неизбежно активна, и потому человек не является таким рабом своего географического окружения, как это имеет место в случае животных и растений.

Поэтому, руководя учёбой по математике в школе, преподаватель должен избегать грубого механистического подхода к делу и твердо помнить, что в этой учёбе должны органически снястью которого этот учебный предмет является, именно учебным планом школы, а значит, в конечном итоге,-задачами современности, современного социалистического строительства.

тезироваться (как диалектические противоположности) внутренние запросы и особенности математики как науки с практическими задачами современности; эти последние должны быть приведены в гармоническое соответствие с самодвижением математики. Тут должно получиться единство противоположностей—науки и человеческой практики, человеческого познавания и действительности. Тут получится, что, с одной стороны, потребности практики должны определить место математики в учебном плане школы и выбор (из богатой сокровищницы математических знаний) математического материала, подлежащего разработке в школе; с другой стороны, внутренние (с математической точки зрения) потребности математики должны определить выбор того практического материала (из всего богатства человеческой практики: промфинпланы, колхозное строительство, пятилетка и т. д.), который наилучшим образом подойдет для математической обработки в школе, для разработки математических понятий и приемов математической работы.

К этому вопросу мы еще вернемся ближе к концу статьи.

Здесь же мы еще заметим лишь следующее: необходимо добиваться этого единства математической теории и человеческой практики, избегая впадения в абстрактную, и потому лживую, односторонность. Удовлетворяя односторонне лишь самодвижению математики, мы оторвемся от конкретной действительности, а благодаря этому сильно пострадает и самое изучение математики. Слишком же односторонне (механистически), удовлетворяя лишь запросам практики и не учитывая самодвижения математики, ее имманентной стороны, мы впадем в узкий и односторонний эмпиризм, ударимся в хвостизм перед практикой, а в итоге пострадает математика как наука: от учащегося ускользнет сущность математического мышления, для него будет утеряна математическая культура, и в конце концов от этого пострадает и практика, ибо без хорошей теории нет и хорошей практики. Практика человеческая должна быть при изучении математики в школе тем объективно случайным

(с точки зрения математики) моментом, раскрывая внутреннюю математическую сущность которого, мы должны научить учащегося математически мыслить и действовать в органической увязке с практикой, воздействовать математически на жизнь.

3. Полярность, человеческого мышления и бытия.

Рассмотрим теперь, как мы должны проводить диалектику при самом преподавании математики в школе, при усвоении понятий математики и приемов ее работы учащимися. Прежде всего отметим, что при изучении математики, как и всякого другого учебного предмета, должна давать себя знать полярность человеческого мышления и бытия. Мышление человека и изучаемое им бытие представляют противоположности; мышление, с одной стороны, тождественно бытию, ибо оно отображает бытие; но, с другой стороны, это отображение всегда неполное, и развитие научного знания состоит именно в том, что наше мышление все полнее отображает бытие, все ближе подходит к объективной истине. Научная истина—движение вперед, и в этом процессе движения все время дают себя знать противоречия между мышлением и бытием, возникающие вследствие неполного соответствия мышления бытию. Преодолевание этих противоречий ведет к поднятию человеческого знания на более высокую ступень, еще больше приближает нас к более полному отображению природы в нашей голове. Рассмотрим некоторые примеры из области математики. 1) Пифагор думал, что число есть мера всех вещей, что, пользуясь числом, можно изображать длины каких угодно отрезков. Но конкретная задача о выражении длины диагонали квадрата, сторона которого дана, привела к противоречию: число оказалось не в состоянии выразить эту длину. И это противоречие было снято лишь благодаря состоявшемуся впоследствии расширению понятия о числе, благодаря введению несоизмеримого числа. 2) Решение различных вопросов математики все чаще стало приводить к вычитанию большего числа из меньшего, к случаям так называемого невозможного вычитания. Это противоречие, заставлявшее первоначально

математиков тщательно обходит такие случаи, привело в конечном итоге к преодолению противоречия: вычитание стало всегда возможным действием благодаря введению относительных чисел в XVI и XVII веках, что было вызвано развитием механики в эту эпоху торгового капитализма; именно механике приходилось иметь дело с рядом направленных величин (со скоростью и т. д.). 3) Заострившееся в том же XVII веке противоречие между числовым аппаратом математических расчетов и потребностями бытия (человеческой практики) привело, в порядке преодолевания этого противоречия, к изобретению логарифмов, этого качественно нового метода расчетов; переходъ этого нового качества в количество (т. е. ускорение и упрощение вычислений) был настолько мощный, что, например, впоследствии Лаплас любил говорить, что изобретение логарифмов удлинило жизнь математиков по крайней мере вдвое. 4) Противоречие между аппаратом математических записей и необходимостью на практике все чаще применять записи в роде а 4- а а -(- а или а.а.а. а привело, в процессе преодоления этого противоречия, к введению коэффициента и показателя степени. И всякий раз в таких случаях (а они достаточно многочисленны) движение математики вперед представляло резкий качественный скачок, поднятие математического знания на более высокую ступень, сопровождавшееся мощным дальнейшим прогрессом, т. е. переходом качества в количество.

4. Движение вперед математической учёбы через противоречия.

Такие моменты движения вперед через противоречия, в которых особенно ярко обнаруживается полярность нашего мышления и бытия, необходимо практически осуществлять и при школьном изучении математики, ибо это дает учащимся настоящее знание математики; учащиеся из внешних математиков превращаются в исследовательских участников ее самодвижения. Заставьте учащихся «на своей шее» испытать все неудобства таких записей, как, например, aabbb 4- aabbb -f- aabbb, и тогда они, преодолевая

противоречие, сами, что очень возможно, догадаются ввести сокращенное обозначение при помощи коэффициента и показателя степени, а если и не догадаются, то во всяком случае достаточно оценят преимущество таких сокращенных записей и в итоге хороша их усвоят. Это гораздо лучше, чем сразу преподносить учащимся «готовенькое» и сразу знакомить учащихся с коэффициентом и показателем степени, когда учащиеся еще не успели испытать потребности в них. Возбудить в учащихся потребность в новом математическом понятии или в новом приеме математической работы — это и значит ввести их вперед диалектически через преодоление противоречия между мышлением и бытием.

С этой точки зрения вполне правилен такой подход к изучению логарифмов (противоречащий обычно принятому у нас в школьной учёбе): надо, например, предложить вниманию учащихся решение практических задач на сложные проценты (хотя бы расчет населения города через определенное число лет при определенном проценте роста). Учащиеся сразу придут в некоторое замешательство от вычислительных трудностей и живо почувствуют то противоречие, которое было выше отмечено, противоречие между практикой и состоянием математического вычислительного аппарата. После этого пойдет знакомство учащихся с новым методом математических расчетов — логарифмическим, и этот метод при таком диалектическом подходе будет хорошо усвоен и оценен учащимися.

На первый взгляд может показаться странным предлагать учащимся решать задачи на сложные проценты, когда учащиеся еще не подготовлены к этому технически, не знают логарифмов. Кажется, что это лишь потеря времени, что лучше подводить к решению практических задач лишь технически (в смысле математики) подготовленных учащихся. Но это лишь кажется! Техника, математических расчетов должна вырастать из практики диалектически, через преодоление противоречий, как только что было отмечено; лишь такой подход обеспечивает и максимум усвояемости,

а значит, в конечном итоге, и сбережение времени.

Не нужно вообще бояться противоречий при проработке математики в школе, не нужно их избегать; наоборот, их следует максимально использовать. Эти противоречия, их возникновение и нарастание, а в конце концов необходимость их преодолевания все равно неизбежны. Так, жизнь неразрывно, по своей внутренней сущности, связана со своей противоположностью—смертью, бытие — с небытием, и действительно лишь их диалектическое единство—становление, движение вперед, при относительной устойчивости. Истина связана неизбежно с ложью, правильный шаг— с ошибкой. Всякий прием математической работы содержит в себе, как бы он ни был хорош, возможность его неприменимости, и выход из этого лишь в том, чтобы научить учащихся подходить диалектически к делу, не шаблонизировать методов математической работы, не фетишизировать их, а в каждом конкретном случае применять наиболее подходящий метод. Это наилучшим путем приведет учащихся к осознанию конкретности (относительности) истины.

Приведу некоторые примеры.

Учащийся изучает общее правило нахождения нескольких процентов от числа (деление числа на 100 и умножение частного на число процентов). Необходимо ознакомить учащихся с такими случаями нахождения, нескольких процентов от числа, когда этот в общем хороший прием в частности может стать практически очень плохим. Предложите найти, например, 25°/₀ от 84, и учащийся должен понять, что в этом частном случае нужно поступать, говоря практически, иначе, именно просто делить 84 на 4, и что было бы просто смешно сначала делить 84 на 100 и затем 0,84 множить на 25.

Другой пример: учащийся, изучая десятичные дроби, узнает, что в целях упрощения дела необходимо отчеркивать нулевые десятичные знаки в конце десятичной дроби. Так, складывая 3,275 и 1,725, он записывает результат в виде 5,000 = 5. Но учащегося непременно надо привести к осознанию того, что этот прием может в известной обстановке

привести к плачевным результатам, а именно: снизить показанную точность результата. Например, в «Контрольных цифрах народного хозяйства СССР» мы находим указание, что в 1926/27 г. выработка чугуна на душу населения составляла 0,020 т\ нуль в конце не подлежит зачеркиванию, так как этот нуль нужен для обозначения того, что здесь имеется в виду точность до 0,001 т.

Словом, учащегося нужно приучать усматривать в истинном его должную сторону, усматривать противоречивые тенденции в математической работе, и этим самым стать настоящим хозяином дела в математике. Ведь только тот овладел приемами математической работы, кто в каждом данном случае умеет, исходя из учета обстановки, применять именно тот способ решения вопроса, который наиболее подходящ для данного случая.

5. Диалектическое преодолевание ошибок учащихся. Но и в ложном надо уметь находить его истинную сторону.

С этой точки зрения преподаватель должен, например, подходить к ошибкам, допускаемым учащимися при их математической работе. «Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает»,—любил говорить Ленин. Ничего не делающий действительно гарантирован от ошибок, а делающий неизбежно, рано или поздно, впадет в ту или иную более или менее крупную ошибку. Но ошибку можно (и должно) диалектически превратить в истину, тогда как из ничегонеделания во всяком случае истины не получится. Здесь невольно вспоминается то, что Гегель говорит о невинности, пороке и добродетели: невинность, по Гегелю, не имеет никакого отношения ни к пороку, ни к добродетели: лишь порок и добродетель диалектически едины, составляя единство противоположностей.

Эти соображения определяют отношение преподавателя к ошибкам учащихся. Не «ворчать» надо на учащихся за их ошибки и не нервничать или унывать по поводу этих ошибок, а наоборот, использовать эти ошибки для лучшего выяснения истины. Часто бывает (и это с точки зрения диалектической вполне понятно и закономерно), что учащийся особенно хорошо усваивает какой-ни

будь прием математической работы именно потому, что он в этом направлении допускал ошибки, впоследствии им осознанные и исправленные.

Приведу для пояснения этой мысли пример. Допустим, учащийся делит 3162 на 15 и делает такую запись деления: 3162 15

Здесь учащийся допустил обычную для начинающих ошибку, именно не написал после цифры 1 в частном нуля и потому получил слишком маленькое частное 21 (вместо 210). Что должен сделать в этом случае преподаватель? Просто исправить ошибку и сказать учащемуся, чтобы он написал забытую им цифру нуль? Ни в коем случае! Здесь нужно сделать большее: превратить поражение учащегося в победу. А именно: во-первых, надо спросить учащегося, не кажется ли ему странным, что при делении такого большого числа, как 3162 на 15, получилось такое маленькое число, как 21, и согласился бы он, например, с тем, что при распределении 3162 рублей между 15 получателями поровну каждый получил бы лишь по 21 рублю. Таким вопросом нетрудно будет привести учащегося к осознанию того, что, когда производишь какое-нибудь математическое действие над числами, то надо хотя бы приближенно представлять себе порядок ожидаемого результата, чем и пользоваться для проверки правильности действительно полученного результата. Во-вторых, надо использовать допущенный учащимся пропуск нуля для тем более резкого подчеркивания того, что если при делении снесена к остатку новая цифра, то это неизбежно влечет за собой появление новой цифры в частном, хотя бы эта цифра и была нуль.

Словом, истина допущенной учащимся ошибки (при определенной математической операции) в том, что допущение ошибки есть уже действование в этой области математики и этим самым прокладывается уже путь к овладению истиной (учиться на ошибках!). Ошибка таким образом диалектически связана с истиной, и потому не плохо бывает в практике преподавания нарочно так ставить дело, чтобы учащий

ся впал в ошибку (своеобразное провоцирование ошибки) с тем, чтобы на допущенной ошибке тем прочнее поставить истину. Здесь не должно быть «нежности»¹ (выражаясь по-гегелевски, - см. «Малая логика» Гегеля, стр. 96) к учащимся, не должно быть заботливого оберегания учащихся от ошибок, от впадения в противоречие. Так (возвращаясь к только что приведенному примеру) хорошо будет, не давая никаких предварительных разъяснений, предложить учащимся разделить 3162 на 15 (исходя из какой-нибудь конкретной задачи например), даже в том случае, когда преподаватель ожидает, что большинство учащихся ошибется. Именно хорошо, если учащиеся ошибутся, ибо на этом тем лучше будет разъяснено правильное. Между прочим такой «риск ошибиться» неразрывно связан с исследовательским методом, и это как раз одна из хороших сторон этого метода.

6. Борьба с механистическими тенденциями учащихся.

Не следует бояться не только ошибок учащихся, но и тех противоречий, которые неизбежно возникают в процессе школьной математической учёбы. Важное значение противоречий уже было отмечено; здесь уместно будет указать еще на следующее. Подымаясь при изучении математики в качественно новую область, например, переходя от изучения целых чисел к изучению дробей или от арифметических чисел к относительным и т. д., учащиеся обычно как-то болезненно переживают то, что им нужно отрешиться от старых привычных взглядов, от старого «здравого смысла» их и пе-

1 Систематические учебники математики типа старого Киселева были так «нежны» к учащимся, что все преподносилось учащимся в готовом виде и даже «впрок», т. е. на будущее употребление. Учащиеся заучивали массу готовых математических положений, совсем не зная, из-за чего и для чего. Вся забота в таких учебниках была о том, чтобы максимально удовлетворить формальной логике, избежать каких бы то ни было даже намеков на противоречие («нежность» к учащимся). От этой «нежности* формальной логики учащимся приходилось весьма туго и жутко, ибо они просто почти ничего не понимали, и понятно почему: ведь бытие, свободное от противоречий, не есть бытие, это лишь лживый суррогат бытия, мертвая абстракция вместо кипучей, раздваивающейся на противоположности, жизни.