ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО

Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние на развитие математических наук вплоть до настояще го времени. Его проникновенная интуиция, его творческая мощь и неповторимая оригинальность математического мышления, широта и разносторонность интересов сделали его первооткрывателем во многих областях математики. Это была единственная в своем роде личность, глубоко погруженная в свою работу и полностью преданная науке, учитель и руководитель самого высокого класса, вдохновляющий и крайне великодушный, не знающий усталости и настойчивый во всех своих устремлениях.

Мне, одному из немногих оставшихся в живых среди тех, кто составлял круг самых близких к Гильберту людей, всегда казалось очень желательным, чтобы была опубликована его биография. Однако, принимая во внимание огромную научную широту работ Гильберта, я считал практически невозможным, чтобы одному биографу удалось воздать должное всем сторонам жизни Гильберта как ученого и неотразимому воздействию его яркой личности. Поэтому, когда я узнал о планах миссис Рид относительно настоящей книги, я вначале был настроен скептически, сомневаясь в возможности кого-либо, не очень хорошо знакомого с математикой, написать приемлемую книгу. Тем не менее при чтении рукописи мой скептицизм исчез и меня стало охватывать все большее и большее восхищение успехом автора. Я верю, что эта книга очарует не только математиков, но и всех тех, кого интересует тайна происхождения великих ученых в нашем обществе.

Нью-Рошель, 23 ноября 1969 Рихард Курант

ПРЕДИСЛОВИЕ

В большей своей части эта книга написана по воспоминаниям.

Мне оказали большую дружескую помощь мужчины и женщины, получившие докторскую степень у Гильберта: Вера Лебедева-Миллер (1906)¹), Роберт Кёниг (1907), Андреас Шпайзер (1909), Рихард Курант (1910), Гуго Штейнгауз (1911), Пауль Функ (1911), Людвиг Фёппль (1912), Хельмут Кнезер (1921), Хаскел Карри (1930), Арнольд Шмидт (1932), Курт Шютте (1934).

Записанные воспоминания других бывших учеников Гильберта, которых уже нет в живых, также оказали большую помощь. Я хотела бы отметить здесь свою особую признательность Отто Блюменталю (1898), автору биографических очерков для собрания трудов Гильберта и специального номера журнала Naturwis- senschajten, посвященного шестидесятилетию Гильберта, а также Герману Вейлю (1908) за некролог для Королевского общества и статью «Давид Гильберт и его математические труды», воспроизведенную в этой книге.

Быть может, самую большую помощь мне оказали Рихард Курант и Пауль Бернайс, которые находились в самой продолжительной и наиболее тесной связи с Гильбертом: первый из них был его коллегой с 1919 по 1933 год, в основном как глава Математического института, а второй сотрудничал с ним в области логики и оснований математики и был его помощником с 1917 по 1934 год.

²) В скобках указан год получения докторской степени.—» Прим. ред.

Из бывших помощников Гильберта по физике Альф* ред Ланде, Пауль Эвальд, Адольф Кратцер и Лотар Нордхайм наиболее щедро делились со мной своими знаниями и своим временем. Я хотела бы особенно поблагодарить профессора Эвальда за предложение о литературном описании жизни Гильберта.

Кроме того, мне удалось получить большую информацию о Гильберте в личных беседах с людьми, хотя и не являвшимися его учениками, но в разное время близкими к гёттингенскому кружку. К ним относятся Ганс Леви, Александр Островский, Дьёрдь Пойа, Бригитта Реллих, Карл Людвиг Зигель, Габор Сегё, Ольга Таусски-Тодд, Ян ван дер Корпут, Б. Л. ван дер Варден, Эллен Вейль-Бэр. Письма Курта и Элизабет Рей- демейстер и Хельмута Хассе дали возможность описать последние годы жизни Гильберта. Альфред Тарский, Курт Гёдель, а также профессор Бернайс ответили на мои вопросы о работе Гильберта по логике и основаниям математики.

Я благодарна Лили Рюденберг и Рут Бушке за то, что они любезно позволили мне цитировать письма их отца, Германа Минковского, переписывавшегося с Гильбертом в течение многих лет их близкой дружбы. К сожалению, половины писем Гильберта, возвращенных госпожой Минковской госпоже Гильберт в 1933 году, насколько мне удалось установить, больше не существует. Те немногие цитаты из писем Гильберта к Минковскому, которые все-таки приведены в этой книге, взяты из очерка Блюменталя, имевшего возможность прочесть письма Гильберта перед тем, как написать биографический очерк для собрания его трудов.

Хорст Гильберт, сын двоюродного брата Гильберта, сообщил мне много подробностей о семье Гильбертов. Ф. Шрёдер из Geheimes Staatsarchiv der Stif tung Preupischer Kulturbesitz снабдил меня важными статистическими данными. Кин-я Хонда перевел для меня на английский язык свой биографический очерк о Гильберте. Г. Фогт, директор Niedersachsische Sta- ats-und Universitatsbibliothek, помог мне получить доступ к письмам Гильберта из архивов Клейна и Гурвица. Мартин Кнезер, нынешний директор Математического института, обеспечил мне место для работы и доступ к архиву Гильберта. Большую помощь

оказала Урсула Древс, секретарь института. Госпожа Нейман, чья мать была любимой экономкой Гильбертов в течение многих лет, поделилась со мной семейными фотографиями.

Я особенно благодарна моей сестре Юлии Робинсон, которая никогда не отказывала мне в помощи, советах и поддержке; Фолькеру Штрассену, который познакомил меня с Гёттингеном и его математическими традициями; Урсуле Лоренц, Христе Штрассен и Эдит Фрид, которые помогли мне ближе узнать Германию и ее обычаи.

Мне доставляет большую радость, что эта книга публикуется издательством Шпрингера, которое имело близкую связь с Гильбертом и Гёттингеном и, взяв на себя риск публикаций, внесло существенный вклад в возрождение немецкой науки после первой мировой войны.

На разных стадиях рукопись читалась Паулем Бернайсом, Рихардом Курантом, Паулем Эвальдом, Лотаром Нордхаймом, Юлией Робинсон, Р. М. Робинсоном, Фолькером Штрассеном, Габором Сегё, Джоном Аддисоном (мл.) и Максом Борном.

После всей этой великодушной помощи за любую оставшуюся ошибку, безусловно, отвечаю я.

Сан-Франциско, Калифорния, 3 августа 1969

Констанс Рид

для K(s, i) с собственным значением %. Вскоре после этого под влиянием идей Гильберта Э. Фишер и Ф. Рисе доказали свою хорошо известную теорему о том, что пространство всех функций x(s) с интегрируемым по Лебегу квадратом удовлетворяет всем свойствам полноты гильбертова пространства и, тем самым, с помощью полной ортонормированной системы u_n(s) эти пространства изоморфно отображаются друг на друга. Я упоминаю эти подробности ввиду того, что историческая последовательность событий может быть забыта многими из более молодых математиков, для которых гильбертово пространство представляет то абстрактное понятие, которое не различает эти свои две реализации — пространство интегрируемых с квадратом функций x(s) и пространство последовательностей с суммируемым квадратом (х_и я₂, . . .). Я думаю, что Гильберт вполне разумно придерживался рамок непрерывных функций там, где не было настоящей потребности вводить общие понятия Лебега.

Быть может, самым великим достижением Гильберта в области интегральных уравнений является его обобщение теории спектрального разложения с вполне непрерывных на так называемые ограниченные квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр будет содержать точки накопления и, кроме того, будет присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт использует непосредственный переход к пределу, увеличивая число переменных ad infinitum И как прежде, вскоре после этого были найдены простые доказательства его результатов.

Расширяя таким образом границы этой общей теории, он не упускает из виду обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, которые дали ей начало. Одновременно с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий мост между дифференциальными и интегральными уравнениями. Для заданного эллиптического дифференциального оператора второго порядка А* параметрикс K(s, t) представляет собой нечто вроде качественного приближения к функции Грина, как и последняя,

^х) До бесконечности (лат.).

23 К. Рид 353

завися от значений аргумента $ и параметра t. Предполагается, что он обладает регулярной особенностью при s = t, так что неоднородное уравнение Д*и = / для

и — Ар, и (s) = J К (s, t) р (t) dt

сводится к интегральному уравнению р + Lp = / относительно функции плотности р с ядром L(s, t) = = Д*Х($, t), достаточно регулярным при s = t, чтобы к нему была применима теория Фредгольма. Здесь важно отбросить предположение, что функция К удовлетворяет уравнению Д*# = 0, так как в общем случае неизвестно фундаментальное решение для данного дифференциального оператора Д*. Чтобы не заботиться о граничных условиях, Гильберт предполагает, что область интегрирования представляет собой компактное многообразие типа сферической поверхности. В этом случае он показывает, что его метод применим, если параметрикс не только имеет регулярную особенность, но и является симметричным относительно аргумента и параметра.

Сказанного вполне достаточно, чтобы стало ясным, что на территории анализа была открыта золотая жила,, которая сравнительно легко поддавалась разработке и которая не скоро доля на была истощиться. Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных явились предметом дальнейших исследований (Э. Шмидт, Ф. Рисе, О. Теплиц, Э. Хеллингер и другие); непрерывный спектр и его появление в интегральных уравнениях с «особыми» ядрами требовали более тщательного анализа (Э. Хеллингер, Т. Карлеман); на обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка с регулярными и особыми граничными условиями также обратили должное внимание (А. Кнезер, Э. Хильб, Дж. Д. Биркгоф, М. Бохер, Я. Д. Тамаркин и многие другие) *). Стало возможным установить асимптотические законы распределения собственных значений, что было важно для вопросов тер-

*) По поводу более поздних работ, затрагивающих также системы дифференциальных уравнений, см. Ш у р (Axel Schur), Math, Ann. 82 (1921), 213—239; Блисс (G. A. Bliss), Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926), 561-584; Рид (W. T. Rei d), там же 44 (1938), 508—521.

модипамики излучения (Г. Вейль, Р. Курант). Разложения по ортогональным функциям изучались независимо от их применений к дифференциальным и интегральным уравнениям. По-новому были освещены непрерывные дроби Стилтьеса и проблема моментов. Самые настойчивые приступили к атаке на нелинейные интегральные уравнения. Вокруг Гильберта организовалась большая международная школа математиков, а интегральные уравнения вошли в моду не только в Германии, но и во Франции, где им уделяли внимание такие великие мастера, как Э. Пикар и Гурса, в Италии и по другую сторону Атлантического океана. Было написано много как хороших, так и посредственных работ. Общим результатом всей этой деятельности стало значительное изменение во взглядах на анализ.

Замечательны приложения интегральных уравнений вне тех областей, для которых они были изобретены. Среди них я упомяну следующие три: (1) Проблема Римана определения п аналитических функций ^(z), . . ., /_n(z), регулярных всюду, за исключением некоторого конечного множества точек, и изменяющихся при аналитическом продолжении вокруг этих точек согласно заданным линейным преобразованиям. Эта проблема была решена самим Гильбертом, а затем более простое и полное решение было дано Племелем. (Очень специальный случай этой проблемы дает существование алгебраических функций на римановой поверхности, заданной в виде накрытия комплексной z-плоскости.) В этом же направлении лежали и исследования Дж. Д. Биркгофа о матрицах из аналитических функций. (2) Доказательство полноты неприводимых представлений компактной непрерывной группы. Оно является необходимым средством для подхода к общей теории инвариантов на основе метода усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода играет важную роль в современных теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г. Бором теорию почти периодических функций *). Таким

*) Вейль, Петер (Н. Weyl, F. Peter), Math. Ann. 97 (1927), 737—755; X a a p (A. Haar), Ann. Math. 34 (1933), 147—169; фон Нейман (J. von Neumann), Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 445—492. [См. также Л. С. Понтрягин, Непрерывные группы, 3-е изд., «Наука», М., 1973.1 23* 355

образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом Гильберта — теорией инвариантов. (3) Совсем недавно гильбертов метод параметрикса помог установить центральную теорему существования в разработанной У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на компактных римановых пространствах *).

Рассказ получился бы достаточно драматичным, даже если бы мы остановились на этом месте. Однако спустя некоторое время произошло удивительное событие: спектральная теория в гильбертовом пространстве оказалась подходящим математическим аппаратом для новой квантовой физики, начало которой было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925 году. Это последнее развитие привело к пересмотру всего предмета в целом при помощи более тонких средств (Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К. Фридрихе). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником Гильберта в период окончания той эпохи, когда его интересы делились между квантовой физикой и основаниями, историческая связь с собственными достижениями Гильберта не прекращается даже в этой последней фазе развития. Обзор того, что стало с теорией абстрактных пространств и линейных операторов в наше время, лежит вне рамок настоящей статьи.

Картина «аналитического периода» Гильберта будет неполной, если мы не упомянем второй мотив, вариационное исчисление, который пересекся с его доминирующим интересом — интегральными уравнениями. «Теорема о независимости», которой он окончил свой парижский обзор математических проблем (1900), внесла важный вклад в формальный аппарат этого исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый и решительный подход к проблемам функциональных максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный аппарат вариационного исчисления здесь был сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил строить минимизирующую функцию как предел последовательности функций, для которых значение рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму.

*) Ходж (W. V. D. Hodge), The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge, 1941: Вейль (H. Weyl), Ann. Math. 44 (1943), 1—6_C 356

Классический пример дает интеграл Дирихле в двумерной области

G

Допустимыми здесь являются все функции и с непрерывными производными, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Пусть d — нижняя грань значений D[и] для допустимых щ тогда можно найти последовательность допустимых функций и_п такую, что D [^мп1 d ^ПР^И Нельзя ожидать, что сама

последовательность и_п будет сходиться, однако можно попытаться ее изменить с помощью подходящего процесса интегрального сглаживания, чтобы она начала сходиться. Так как предельная функция должна быть гармонической, а значение таких функций для любой точки Р совпадает со средним значением ее на любой окружности К с центром в Р, то естественнее всего заменить и_п(Р) на ее среднее значение в К. При этом мы надеемся, что это среднее значение будет стремиться к числу и(Р), которое не зависит от выбранной окружности, а его зависимость от точки Р даст решение проблемы минимума. Кроме интегрирования Гильберт использует до перехода к пределу некоторый процесс выделения подходящей подпоследовательности из и_п. Благодаря простому неравенству

{D [и_т -u„]}^,/2 < {D [ц_и] - d}'¹² + {D [u_n] - d}^1/2,

открытому С. Зарембой, последнего можно и не делать.

Метод Гильберта еще лучше приспособлен для задач, в которых граница области не имеет столь большого значения, как в краевой задаче. После небольшого видоизменения его можно применять к случаю точечных особенностей, и таким образом Гильберт решает фундаментальную проблему для потоков на римановых поверхностях. Это позволяет получить необходимую основу для подхода самого Римана к теории абелевых интегралов, а также показывает, что таким же образом можно получить фундаментальные теоремы Пуанкаре и Кёбе об униформизации. Насколько бы далеко мы продвинулись в теории чисел, если бы располагали

столь же мощными методами для конструкции абелевых и произвольных расширений Галуа полей алгебраических чисел, какими оказались трансцендентные методы Римана — Гильберта в применении к аналогичным проблемам в полях алгебраических функций! Широкие их. приложения к теории конформных отображений и минимальных поверхностей были открыты работами Рихарда Куранта — человека, много лет являвшегося главным сотрудником Гильберта во всех математических делах в Гёттингене *). Также значительным, но не таким непосредственным является влияние идей Гильберта на целое направление в современном развитии вариационного исчисления; в Европе среди многих других можно упомянуть имена Кара- теодори, Лебега, Тонелли, в Америке цепочка тянется от О. Больца до совсем недавней работы М. Морса.

ФИЗИКА

Еще до смерти Минковского, в 1909 году, Гильберт начал систематическое изучение теоретической физики в тесном сотрудничестве со своим старым другом, который всегда находился в курсе достижений соседней науки. Работа Минковского по теории относительности стала первым плодом этих совместных занятий. Гильберт продолжал их в течение многих лет и в период между 1910 и 1930 годами часто читал лекции и вел семинары на физические темы. Он с большой радостью расширял свой кругозор и свой контакт с физиками, с которыми он мог встречаться на их собственной территории. Тем не менее урожай, собранный им на этой почве, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которые приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес

*) R. Courant, Dirichlet’s principle, conformal mapping, and minimal surfaces, Interscience Publishers Inc., New York, 1950 (русский перевод: P. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, М., 1953).

слишком изменчивы чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе достаточно твердую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях нашей физической науки. Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору, в темноте прокладывают свой путь к своим концепциям об общей теории относительности или структуре атома, руководствуясь опытом и воображением, отличными от тех, которыми пользуются математики, хотя, без сомнения, и для них математика играет важную роль. В результате, обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.

Однако применение им интегральных уравнений к кинетической, теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения Максвелла — Больцмана в кинетической теории газов, интегрального уравнения второго порядка, четко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. Более подробно это решение было рассмотрено физиками, которые применили его к ряду конкретных проблем. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой единой теории поля Г. Ми. Более трезвый подход Эйнштейна, не связанный с весьма спекулятивной программой Ми, оказался более полезным. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма. Однако в гамильтониане Гильберта остается еще слишком много произвольности; последующие попытки избавиться от нее (Вейль, Эддингтон, сам Эйнштейн и другие) не достигли окончательной цели.

В то время в кружке Гильберта царило очень радужное настроение; мечта о некотором универсальном законе, управляющем как космосом в целом, так и всеми атомными ядрами, казалась почти воплощенной. Однако проблема создания единой теории поля остается нерешенной и поныне; почти наверняка, помимо гравитации и электромагнетизма, удовлетворительное решение должно будет включать и материальные волны (функцию Шрёдингера — Дирака для электрона

и аналогичные характеристики поля для других ядер- ных частиц), а математическое оформление теории не ограничится простым обобщением ставшей уже классической теории гравитации Эйнштейна.

Гильберт был не только великим ученым, но и великим учителем. Свидетелями этого являются его многочисленные ученики и ассистенты, которых он учил математическому ремеслу, вовлекая их в свою собственную работу, в изобилии делясь своими идеями, а также с помощью своих лекций, многие записи которых нашли свою дорогу из Гёттингена в публичные и личные математические библиотеки. Эти лекции охватывают чрезвычайно разнообразные разделы математики. Опубликованная в соавторстве с С. Кон-Фоссеном Наглядная геометрия выросла из его педагогической деятельности. Просматривая впечатляющий список его работ, помещенный в Собрании трудов (т. 3, стр. 430), поражаешься значительному числу курсов на такие общие темы, как «Знание и мышление», «О бесконечном», «Природа и математика». В целом его лекции были точным отражением его личности: непосредственные, яркие; как могли они не быть вдохновляющими?